一維搜索方法

本文將介紹一維搜索方法，即尋找一元單值函數的極小點問題。其中包括黃金分割法、斐波那契數列法等，還將介紹在多維搜索算法中一維搜索方法所發揮的作用。

一維問題也就是指目標函數為一元單值函數$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$的優化問題，一維問題的求解方法統稱為一維搜索方法，也稱為線性搜索方法。一維搜索方法的重要性體現在以下兩個方面：

• 一維搜索方法是多變量問題求解方法的特例
• 一維搜索方法是多變量問題求解算法的一部分

在通過當前迭代點${\mathbf{x}}^{(k)}$和目標函數$f$來構建下一個迭代點${\mathbf{x}}^{(k+1)}$的過程中，有些算法可能要利用當前迭代點處的函數值$f$，有些算法可能要用到當前迭代點處的一階導數$f^{\prime }$，有些可能要用到二階導數$f^{\prime \prime }$。

接下來將介紹以下一維搜索方法：

• 黃金分割法（使用$f$）
• 斐波那契數列方法（使用$f$）
• 二分法（使用$f’$）
• 割線法（使用$f’$）
• 牛頓法（使用$f’$和$f^{\prime }’$）

1. 黃金分割法

黃金分割法用于求解一元單值函數在閉區間$[a_0,b_0]$上的極小點，后面所講的斐波那契數列方法和二分法也是針對這一問題，該問題的唯一前提是目標函數在區間內是單峰的，即存在唯一極小點。

該方法的基本思想是挑選區間$[a_0,b_0]$中的點，通過不斷縮小極小點所在的區間，直到達到足夠的精度水平。

如上圖中，極小點為$x^{?}$，令區間長度為$l$，則新產生的點為：

$a_1=a_0+\rho ?l$

$b_1=b_0?\rho ?l$

其中$\rho <\frac{1}{2}$，接著比較$f(a_1)$和$f(b_1)$的大小：

• 如果$f(a_1)<f(b_1)$，則極小點位于區間$[a_0,b_1]$之間
• 如果$f(a_1)\ge f(b_1)$，則極小點位于區間$[a_1,b_0]$之間

然后在新的區間中不斷進行壓縮區間，就可以不斷逼近極小點。為了減少計算次數，如上圖例子中所示，下一次的時候不計算$b_2$，而是直接把上一次的$a_1$當做$b_2$，下一次迭代只需計算相應的函數值就好了。

為了不失一般性，假設區間長度為1，則前兩次的迭代過程如下圖所示：

首先，a0到b0的長度為1，a0到b1的區間長度為$1?\rho$?？s小區間至$[a_0,b_1]$。

然后，a1=b2，b2到b1的區間長度為$1?2\rho$。

在a0到b1區間上又滿足，b1減去 $\rho$倍的區間長度為b2，所以：

$\rho (1?\rho )=1?2\rho$

所以解得：

${\rho }_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},{\rho }_2=\frac{3?\sqrt{5}}{2}$

又因為$\rho <\frac{1}{2}$，所以$\rho =\frac{3?\sqrt{5}}{2}=0.382$

同時滿足$\frac{\rho }{1?\rho }=\frac{1?p}{1}$，即能夠是短區間與長區間的長度之比等于長區間與整個區間之比，這意味著就符合黃金分割法則。

利用黃金分割法開展區間壓縮，區間按照$1?\rho \approx 0.61803$的比例逐漸壓縮，壓縮N次之后，新的區間長度將是原來區間長度的$(1?\rho {)}^N\approx (0.61803{)}^N$。

2. 斐波那契數列法

在黃金分割法中，參數$\rho$始終保持不變。如果動態的改變參數$\rho$則會產生一種新的搜索算法。假設第k次的參數為${\rho }_k$，第k+1次的參數為${\rho }_{k+1}$，則參數之間也滿足兩次迭代之間的關系式：

${\rho }_{k+1}(1?{\rho }_k)=1?2{\rho }_k$

整理后可得：

${\rho }_{k+1}=1?\frac{{\rho }_k}{1?{\rho }_k}$

在壓縮過程中，經過N次迭代之后，可以將極小點所在的區間長度壓縮到初始區間長度的：

$(1?{\rho }_1)(1?{\rho }_2)?(1?{\rho }_N)$

采用不同的參數序列，所得到的壓縮比也會不同，總壓縮比是越小越好。

可以將斐波那契數列將參數的設置結合，對于斐波那契數列$F_1,F_2,F_3,?$，按照常規做法，令$F_{?1}=0,F_0=1$，對$k\ge 0$，有：

$F_{k+1}=F_k+F_{k?1}$

由此可知斐波那契數列的前8項為：

采用斐波那契數列參數為：

此時總壓縮比為：

$(1?{\rho }_1)(1?{\rho }_2)?(1?{\rho }_N)=\frac{F_N}{F_{N+1}}\frac{F_{N?1}}{F_N}?\frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{F_{N+1}}$

但會發現${\rho }_N=1?\frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{2}$，那么此時會選擇中點作為新的點，那么就無法再進行壓縮了，所以需要調整一下：

令${\rho }_N=1/2??$，$?$為一個很小的正數，那么在最后一次迭代過程中，極小點所在的區間壓縮比可能是：

$1?{\rho }_N=\frac{1}{2}$或$1?({\rho }_N??)=\frac{1}{2}+?=\frac{1+2?}{2}$

兩個壓縮比能夠產生兩個不同的新點，分別計算對應的目標函數值，保留目標函數值更小的點。這意味著，在最壞的情況下，波那契數列法的總壓縮比為:

$\frac{1+2?}{F_{N+1}}$

3.二分法

同前面的方法一樣，仍然要求函數$f$在區間$[a_0,b_0]$上位單峰函數。另外，二分法還要求函數為連續可微的，因為要使用到一階導數$f^{\prime }$。

求解的過程為：

1）確定初始區間的中點$x^{(0)}=(a_0+b_0)/2$。

2）計算函數在$x^{(0)}$處的一階導數$f^{\prime }(x^{(0)})$

• 如果$f^{\prime }(x^{(0)})>0$，說明極小點在$x^{(0)}$左側，區間壓縮為$[a_0,x^{(0)}]$

• 如果$f^{\prime }(x^{(0)})<0$，說明極小點在$x^{(0)}$右側，區間壓縮為$[x^{(0)},b_0]$

• 如果$f^{\prime }(x^{(0)})=0$，說明極小點為$x^{(0)}$

按照如上的方式，在第k次迭代過程中計算相應的一階導數并判斷極小點可能在的區間。

4.牛頓法

牛頓法需要函數連續二階可微，即在$x^{(k)}$處的$f(x^{(k)}),f^{\prime }(x^{(k)}),f^{\prime \prime }(x^{(k)})$均可求得。此時就可以使用泰勒公式的展開來近似原函數：

$q(x)=f(x^{(k)})+f^{\prime }(x^{(k)})(x?x^{(k)})+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x^{(k)})(x?x^{(k)}{)}^2$

其中q(x)為原函數f(x)的近似，所以函數f的極小點可近似于求解q的極小點，函數q的極小點需要滿足一階必要條件：

$0=q^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^{(k)})+f^{\prime \prime }(x^{(k)})(x?x^{(k)})$

令$x=x^{(k+1)}$，解得：

$x^{(k+1)}=x^{(k)}?\frac{f^{\prime }}{f^{\prime \prime }}$

當$f^{\prime \prime }>0$在區間內成立，則牛頓法可以正常運行，如下左圖所示；否則若$f^{\prime \prime }>0$牛頓法可能會收斂到極大點。

牛頓法是通過不斷破事目標函數f的一階導數趨于0所得到的，因此也稱為牛頓切線法。令$g(x)=f^{\prime }(x)$，則求解過程就是不斷趨近函數g(x)的零點。

即在$x^{(k)}$處切線與x軸的交點就是$x^{(k+1)}$，但與此同時初始點的選擇就比較重要，如下圖所示為會使牛頓法失效的例子。

5.割線法

從迭代公式可以看出牛頓法需要用到二階導數：

$x^{(k+1)}=x^{(k)}?\frac{f^{\prime }}{f^{\prime \prime }}$

如果二階導數不存在，可以使用不同點處的一階導數對其近似得到，比如可以利用下式計算$f^{\prime \prime }$：

$\frac{f^{\prime }(x^{(k)})?f^{\prime }(x^{(k?1)})}{x^{(k)}?x^{(k?1)}}$

所以可以得到一個新的迭代公式：

$x^{(k+1)}=x^{(k)}?\frac{x^{(k)}?x^{(k?1)}}{f^{\prime }(x^{(k)})?f^{\prime }(x^{(k?1)})}{f}^{\prime }(x^{(k)})$

該公式對應的方法為割線法，這個方法需要兩個初始點。

不同于牛頓法使用g的斜率來確定下一個迭代點，割線法使用的是第k-1個和第k個選代點之間的割線確定第k+1個迭代點。

6.劃界法

前面所討論的方法中，都有一個前提，即初始區間是已經知道的。二劃界法就是尋找初始區間的一種方法。

劃界法的基本思想是找出3個點a<c<b，是的函數值滿足f?<f(a)，f?<f(b)。其計算過程大致如下：

任選3個點$x_0<x_1<x_2$，

• 若$f(x_1)<f(x_0)$且$f(x_1)<f(x_2)$，則區間為[x0,x2]

• 若$f(x_0)>f(x_1)>f(x_2)$，則另取一個點$x_3>x_2$，繼續檢查函數值，如下圖所示：

7. 多維優化問題中的一維搜索

在多維優化問題的求解過程中，通常每次迭代的過程中都包括一維搜索過程。

令目標函數$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$，求其極小點的迭代算法中的迭代公式為：

${\mathbf{x}}^{(k+1)}={\mathbf{x}}^{(k)}+{\alpha }_k{\mathbf{d}}^{(k)}$

其中${\alpha }_k\ge 0$為步長，其確定方式使函數${?}_k(\alpha )=f({\mathbf{x}}^{(k)}+{\alpha }_k{\mathbf{d}}^{(k)})$達到最小；

向量${\mathbf{d}}^{(k)}$為搜索方向，例如梯度方向。

上述的一維搜索方法可以用來求解${?}_k(\alpha )=f({\mathbf{x}}^{(k)}+{\alpha }_k{\mathbf{d}}^{(k)})$的極小點，其中參數為$\alpha$，符合一維情況。

如上圖為一個在多維優化問題中的一維搜索應用示例。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【最优化导论】一维搜索方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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