DCT變換

DCT又稱離散余弦變換，是一種塊變換方式，只使用余弦函數來表達信號，與傅里葉變換緊密相關。常用于圖像數據的壓縮，通過將圖像分成大小相等（一般為8*8）的塊，利用DCT對其進行變換，得到更加簡潔的數據。因為圖像像素間存在較大的空間相關性，DCT可以大大減小這些相關性，使圖像能量集中在左上角區域，從而利于數據壓縮。變換后得到的數據稱為DCT系數。這一過程是無損的。

二維DCT變換

這里來看看二維DCT變換的公式：

c(u)和c(v)為添加的系數，主要作用為使DCT變換矩陣為正交矩陣。F(u,v)即為DCT變換系數，可以通過矩陣形式來表示：

A即為正交矩陣，通過F和A逆變換即可恢復圖像數據。

下面通過一個例子來說明：

clear; clc; I = [12,23,53,16;42,16,68,45;34,62,73,26;72,15,34,28]; %數據塊 A = zeros(4); %變換矩陣A,也可以通過函數dctmtx(n)求得 for i = 0:3for j = 0:3if i == 0a = sqrt(1/4);elsea = sqrt(2/4);endA(i+1,j+1) = a*cos((j+0.5)*pi*i/4)end end D = A*I*A'; %DCT變換 D1 = dct2(I); %matlab DCT函數進行DCT變換 D2 = A'*D*A; %DCT逆變換

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由結果可以看出，D，D1方式得到的DCT系數相同，說明矩陣形式的DCT變換公式是正確的，D2的數據與原數據I相同，實現了數據恢復。

另外通過運行函數dctmtx(4)可以發現得到的變換矩陣與A完全相同。

Matlab 函數實現

matlab實現離散余弦變換有兩種方法：

一種為函數dct2( ), 使用函數dct2，該函數用一個基于FFT的算法來提高當輸入較大的方陣時的計算速度。

另一種為函數dctmtx( ), 使用由dctmtx函數返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較小的輸入方陣（例如8×8或16×16）。

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1. 函數：dct2( )

實現圖像的二維離散余弦變換。調用格式為：?
B = dct2(A)?
B = dct2(A,[M N])?
B = dct2(A,M,N)?
式中A表示要變換的圖像，M和N是可選參數，表示填充后的圖像矩陣大小，B表示變換后得到的圖像矩陣。其逆變換函數為idct2( );?
代碼如下：

I = imread('1_1.jpg');%輸入灰度圖像 D = dct2(I); %DCT變換 D1 = idct2(D); %逆變換 subplot(1,2,1);imshow(I); subplot(1,2,2);imshow(uint8(D1));

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在這里可以通過函數colormap查看變換系數D。利用不同灰度值，可以發現D中主要數據都分布在左上角。

imshow(log(abs(D)),[]); colormap(gray(8));colorbar;

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2. 函數：dctmtx( )

D = dctmtx(N)?
式中D是返回N×N的DCT變換矩陣，如果矩陣A是N×N方陣，則A的DCT變換可用D×A×D’來計算。這在有時比dct2計算快，特別是對于A很大的情況。上面有提到過。

對于圖像的DCT變換，這里還需用到一個函數blkproc( ),其功能為對圖像分塊進行DCT變換。?
blkproc( )定義如下：?
B = blkproc(A,[M N],Fun) ，A為輸入圖像，M*N為塊大小，Fun為處理函數?
常用的方式為：?
B = blkproc(A,[8,8],’P1*x*P2’,T,T’); T為變換矩陣，P1和P2為參數，代表T*x*T’ 。

下面為應用例子：

I = imread('1_1.jpg'); %輸入灰度圖像 I = im2double(I); D = dctmtx(8); C = blkproc(I,[8,8],'P1*x*P2',D,D'); %D'為D的轉置 mask1=[1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; mask2=[1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; mask3=[1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];X = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask1); %保留15個系數 I1 = blkproc(X,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構圖像 X2 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask2); %保留10個系數 I2 = blkproc(X2,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構圖像 X3 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask3); %保留3個系數 I3 = blkproc(X3,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構圖像 subplot(2,4,1);imshow(I); subplot(2,4,2);imshow(I1); subplot(2,4,3);imshow(I2); subplot(2,4,4);imshow(I3);

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上面代碼中，通過求得圖像DCT系數，利用mask等矩陣對其進行量化，保留左上角主要的系數值，對于右下角的值由于其為非常小的高頻系數，量化去除后對于圖像的質量影響不大，可以利用這一性質對圖像進行壓縮處理。

保留系數越多則圖像壓縮質量越好，下面比較幾幅圖像質量，從左到右分別為原圖，mask1，mask2，mask3；

可以看到系數保留越少，則圖像質量越差。

總結

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