很多人都不了解圖像（二維）頻譜中的每一點究竟代表了什么，有什么意義?

一句話解釋為： 二維頻譜中的每一個點都是一個與之一 一對應(yīng)的二維正弦/余弦波。

視覺的優(yōu)勢永遠大于其他器官對人的作用，所以對標眼睛的圖像處理起到了非常重要的作用。

相比于時域分析圖像的艱難，在頻域分析圖像就變得無比輕松，但是由于頻域比較抽象，理解起來比較吃力，所以很多人并不能一下子就明白其原理。

在此選用了著名的Cameraman的圖像，這幅照片向我們表達的信息是顯而易見的，一位優(yōu)秀的攝影師，黑色的風衣，瀟灑的發(fā)型，很有質(zhì)感的皮手套，灰色的褲子，一臺照相機，一個三腳架，草坪，藍天，背景是MIT。而他的頻譜圖則并沒有像一維的頻譜圖那樣，有助于我們理解圖像自身以外的或者是隱藏在圖像背后的信息。比如說，中間的那條白線是什么，如果你沒看我之前寫的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。這也就是我為什么說，圖像的傅里葉變換有些多此一舉，反而把一個簡單的問題弄得很復雜，弄巧成拙了。

言歸正傳，說了這么多，搞圖像的哪有不和二維傅里葉變換打交道的呢?，F(xiàn)在我就盡力說明一下圖像二維傅里葉變換的一些屬性（這里主講二維頻譜的特性，一維里面的共有特性就不細講了）。

1、周期性
DFT的周期性：時時刻刻都要記住，對于DFT而言，他的空域和頻域始終都是沿著X和Y方向無限周期拓展的。

如果只取其中的一個周期，則我們會得到如下的結(jié)果（即，頻譜未中心化）。

為了便于頻域的濾波和頻譜的分析，常常在變換之前進行頻譜的中心化。

頻譜的中心化
從數(shù)學上說是在變換之前用指數(shù)項乘以原始函數(shù)，又因為e^jπ = 1，所以往往我們在寫程序的時候?qū)嶋H上是把原始矩陣乘以（-1）^(x+y)達到頻譜居中的目的。如下圖所示：1<----->3 對調(diào)，2<----->4 對調(diào)，matlab中的fftshit命令就是這么干的。

變換后對調(diào)頻譜的四個象限（swap quadrant）

經(jīng)過中心化后的頻譜

截取了其中的一個周期，作為圖像的頻譜

2、高低頻率的分布
除了周期性之外，還應(yīng)該知道的就是哪里是高頻哪里是低頻。在經(jīng)過頻譜居中后的頻譜中，中間最亮的點是最低頻率，屬于直流分量（DC分量）。越往邊外走，頻率越高。所以，頻譜圖中的四個角和X,Y軸的盡頭都是高頻。

沒有經(jīng)過頻譜居中處理的頻譜圖則正好相反，中間區(qū)域是高頻，而四個角則是DC低頻分量。

這里我再用一個正弦波的例子來展示頻譜圖的高低頻的分布，見下圖。

頻譜中心化以后，正弦波的頻點靠中心越近，頻率越低，離中心越遠，頻率越高。

3、頻譜圖的能量分布
這里我順便提一下頻譜中的能級分布，則如下圖所示。明顯，DC分量所占能量最大最多，不論是二維還是一維都應(yīng)該是這樣。頻率越高的部分，能量越少。如下圖所示，圖示畫的不好，勉強能夠理解就好。中間最小的那個圓圈內(nèi)包含了大約85%的能量，中間那個圈包含了大約93%的能量，而最外面那個圈則包含了幾乎99%的能量。

4、縱橫“交錯”性
在二維傅里葉變換中，空間域中橫向的周期變化會反應(yīng)在頻譜圖中的Y軸上，而空間域中縱向的周期變化會反應(yīng)在頻譜圖中的X軸上?？臻g域中東南方向的周期變化會反應(yīng)在頻譜圖中的東北方向，反之亦然。說明見下圖。

?

最后再附加一個例子。

5、方向性（direction）
在二維頻譜圖中的任意“一對亮點”（注意：頻譜的對稱性），都在相應(yīng)的空間域有一個與之相對應(yīng)的二維正弦波。亮點在二維頻譜中的位置決定了與之對應(yīng)的正弦波的頻率和方向。

在空域圖中的任意一條正弦線上，作該正弦線的法線。同時，把頻譜圖中的一對白色頻點和坐標原點（DC中點）用一條直線連接起來。則，空域圖中的法線正好和頻譜圖中的連線是完全平行的，一致的。

上圖是一個45度傾斜的正弦波圖像。

注意空間域中的任意一條法線和頻譜圖中頻點和頻譜圖原點（DC）連線都是平行的，同時，空間域中的任意一條正弦線和頻譜圖中的連線是剛好正交的/垂直的。

上圖為相同方向，較低頻率正弦圖的頻譜。注意圖中我用白色箭頭所畫的空間域（左圖）的法線和頻譜圖中（右圖）一對頻點和DC的連線延長線，是平行的。

上圖為相同方向，較高頻率正弦圖的頻譜。注意圖中我用白色箭頭所畫的空間域（左圖）的法線和頻譜圖中（右圖）一對頻點和DC的連線延長線，是平行的。

下面我們來驗證一下其他角度的情況，這一法則是否適用。

上面所有的例子中的頻譜圖都是頻譜中心化的，那么針對沒有經(jīng)過頻譜中心化的圖呢？

這些實驗還說明了一個非常重要的問題，那就是：頻譜圖中的任意一對對稱的兩點，或者說是頻點，經(jīng)過傅里葉反變換之后，就是空間域中的一個與之對應(yīng)的正弦波（即，相應(yīng)的頻率和方向）。如下圖所示。

6、平移和旋轉(zhuǎn)
圖像的平移并不會影響圖像的頻譜，同時，圖像的相位會隨著圖像的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。

Part I 平移和旋轉(zhuǎn)對頻譜的影響
下面我用矩形的頻譜圖來說明圖像中矩形的平移并不會對頻譜有絲毫的影響。

再比如

再來看看頻譜隨著矩形的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)相同的角度。

Part II 平移和旋轉(zhuǎn)對相位的影響
先用一個簡單的例子來說明圖像相位的作用（所用圖像為cameraman），在圖像的頻域分析和濾波中，相位是常常被忽略的。雖然相位分量的貢獻很不直觀，但是它恰恰很重要。相位是頻譜中各正弦分量關(guān)于原點的位移的度量。

上面的小實驗充分說明了，看似無用的，且常常被忽略的相位，在DFT的頻域中起到了多么重要的作用（注意區(qū)分實部和虛部（直角坐標系）VS 頻譜和相位（極坐標系）！）。

接下來我們再來看看圖像在空間域中的移位和旋轉(zhuǎn)對相位有什么影響。下圖中，左邊一列是圖像，中間一列是頻譜，右邊一列是相位圖。你必須意識到，通過肉眼，你很難從相位圖中得到什么有用的信息。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的理解图像傅里叶变换的频谱图的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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