? 我剛開始學傅氏變換也有這樣的疑問！ 首先回答問題一：為什么一個實信號經過傅氏變換后，再反變換回來得到的是一個復數。 這是由于matlab計算引起的，你在計算傅氏反變換后引入了復數，最后反變換的結果肯定也是復數。 問題二：傅氏變換后的實部和虛部有啥意義？ 傅氏變換的思想就來自于高等數學里面的三角級數展開，高等數學里面的級數展開理論是：對于有限區間上的有限信號，都可以展開成以一系列不同正弦和余弦函數的疊加（就是用不同頻率的正余弦信號分量疊加就得到了該原始信號）。傅氏變換后得到的復數，實部就代表該頻率下的余弦信號分量，虛部就代表該頻率下的正弦信號分量。 問題三：復數的模和相位有啥意義？ 傅氏變換后得到的復數的模就是該頻率下對應的正弦信號的振幅和余弦信號的振幅的絕對值的平方在開根。相位的意義就是該模乘以這個相位角的余弦值就得到了該頻率下的余弦信號的振幅，乘以正弦值就得到了該頻率下的正弦信號的振幅。

說到頻譜，必須提到一個概念

傅里葉變換：很通俗的理解這個概念是怎么理解呢？傅里葉變換是將時域信號轉變為頻域信號。

什么是時域信號？
時域信號：通俗的理解為 隨時間變化的量，注意變量是時間。

什么是頻域信號？
頻域信號：相對于時域信號的理解，那就是可以很簡單的認為變量是 隨頻率變化的量，注意是頻率。

好像我沒怎么解釋清楚。看關鍵看關鍵，傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換。重要的就是傅里葉變換

式中f(t)代表的是隨時間變化的函數，t代表的是時間，w代表的是頻率，看到頻率了吧，是不是t->w了（時間到頻率了），是不是代表了時域信號到頻域信號。

好，現在知道傅里葉變換的效果了吧。

我們再來看看時域信號和頻域信號之間的關系：

時域—>頻域
連續—>非周期
離散—>周期
周期—>離散
非周期—>連續

即時域連續信號，頻域是非周期信號；時域離散信號，頻域就是周期信號；時域周期信號，頻域就是離散信號；時域是非周期信號，頻域就是連續信號。

至于為什么?我相信很多人也不怎么清楚，只是把上面的結果給記下來了而已吧。如果想理解深透的話，建議可以去看 信號與系統 這本書，我還在總結中。

接下來我想簡單聊聊我近期對于復數的相關理解。

復數：復數的產生肯定是因為實數信號不足以處理我們碰到的問題才產生的。加入了復數有什么好處呢？ a+bi 就這么簡單的式子說明了什么？看上面的傅里葉變換中的j,上面的j和這里的i是相對應的。想到了什么？對，就是歐拉公式

將這里的θ可以變成我們想要的任何參數，如w，是不是就都可以變換了。

相信大家在學傅里葉變換的時候，都知道頻譜吧，頻譜是由幅度譜和相位譜構成的。在這里，大家可以看看復數，a+bi ，既包含了幅度又包含了相位信息。所以很多時候，我們對信號運算時大多都是復數信號，特別是MATLAB中。

如果錯誤，望指出，謝謝。
?

本章所有的濾波都是通過傅里葉變換在頻率域中實現的，傅里葉變換在諸如圖像增強、圖像復原、圖像數據壓縮等方面起著很重要的作用

傅里葉變換是實現從空域或時域到頻域的轉換工具

粗淺理解：
上一章的空間濾波是在空域中操作的可以對圖像直接進行操作，而這章的頻率濾波需要在頻域中操作，因此需要借助傅里葉變換得到相應圖像的傅里葉變換，然后使用頻域濾波對其傅里葉變換進行操作，最后借助卷積定理得到濾波的圖像

傅里葉譜：

相角定義：

功率譜：

DFT（Discrete Fourier Transform）：離散傅里葉變換

FFT（Fast Fourier Transformation）:離散傅氏變換（DFT）的快速算法

頻譜：頻域圖像

頻率域原點處變換的值[如 F(0,0)]稱為傅里葉變換的直流分量

具體傅里葉變換的過程理解過程可參考：
[1] https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html
[2] https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html
?

下面是一段采樣頻率為44100Hz的離散語音信號.

橫坐標是時間， 縱坐標是振幅（音量）.

?

時域可以直觀的看出音量關于時間的變化，各個頻率（音調）音量的分量看不出來.
這個時候就可以用傅立葉變換把時域信號轉化到頻域

對于一個很小的時間區間（語音幀）, 音調近似看作不變.

?

傅立葉變換, 將時域信號分解為不同的頻率, 振幅的三角函數.

離散公式表示：

?

這里的就是虛數, 其中一個是該頻率下sin的分量, 另一個是cos的分量.

?

假設只有一個數的話:
一定過原點，級數也一定過原點，這樣的級數就只能描述指定相位的周期函數, 不具有普適性(只能表示頻率而丟失了相位的信息).
, 可以表示頻率, 也可以表示相位, 這種級數就可以描述任意周期函數.

（一般沒有采用這種表示形式的原因是不便于設計算法進行求解。）

虛數列包含了該語音幀各個頻率正弦波的振幅和相位.

頻率(音調):

振幅(音量):

相位:

某個語音幀的頻譜圖如下x軸為頻率y軸為振幅：

?

所有諧波震蕩中頻率最小者稱為基本頻率(基頻)，而基頻高低決定了樂器彈奏此音符的音高。幾乎所有樂器除了可發出基頻音以外亦會伴隨著較高頻的聲音，稱為泛音。
理論上，泛音的頻率分別為基頻的2、3、4、5、6、…等倍。

所有語音幀找到基頻，轉化為音調，如下圖：

?????頻域中關于頻率的四種表示方法
?
1、序號表示方法，根據時域中信號的樣本數取0 ~ N/2，用這種方法在程序中使用起來可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因為頻率值跟數組的序號是一一對應的: X[k]，取值范圍是0 ~ N/2；
2、分數表示方法，根據時域中信號的樣本數的比例值取0 ~ 0.5: X[?]，? = k/N，取值范圍是0 ~ 1/2；
3、用弧度值來表示，把?乘以一個2π得到一個弧度值，這種表示方法叫做自然頻率(natural frequency)：X[ω]，ω = 2π? = 2πk/N，取值范圍是0 ~ π；
4、以赫茲(Hz)為單位來表示，這個一般是應用于一些特殊應用，如取樣率為10 kHz表示每秒有10,000個樣本數：取值范圍是0到取樣率的一半。

傅里葉變換后，包含實部和虛部。當輸入信號是純實數，按照傅里葉變換的奇偶對稱性質，有：輸入信號中的偶對稱分量變換為實部，奇對稱分量變換為虛部。

?

?

?

?

?

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一维傅里叶变换后的复数怎样理解？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。