為什么需要平滑？

某個物品CTR(click-Through-Rate)定義為“物品被點擊的概率”。CTR是某個物品在其他條件保持不變下自身的屬性。但是概率我們不好確定，能確定的是頻率。根據大數定理，隨著實驗次數的增加，頻率會逐漸穩定到概率附近。所以我們用一般物品被點擊的頻率

來表示它的CTR，即

(公式1)

我們當然希望CTR越大越好，由上面的公式我們可知CTR的大小實際上由兩部分決定。首先是展示的次數，英文里用了impression，直譯為給人留下的印象，我們可以理解為曝光并且被用戶看到，是有效的曝光。其次是被點擊的次數。如果有一件物品a 曝光了1次，并且被點了，那它的CTR就是100%。而另外一件物品b曝光了1000次，被點擊了100次，它的CTR就是10%。那我們能說物品a的CTR比物品b的CTR更高嗎？顯然不能，一次被曝光并且被點擊，這其中包含了很大的不確定性。根據大數定律，在實驗次數不斷增加下，頻率才會穩定在概率附近。顯示CTR等于100%這個數據，只是在一次實驗中得到，它偏離真實CTR的可能性非常高。

那么怎么能獲得更可靠的結論呢？一種顯然的想法是提高物品a的曝光，增大實驗次數，讓頻率更接近概率。但是大多數時候曝光不是你想增加，增加就能增加的。

指數平滑

另外一種樸素的想法是我們假定物品的CTR在一定時間內是不變的，我們可以利用歷史的數據來修正今天的CTR。今天的CTR實際上CTR的觀測值。根據這個思路我們首先想到了指數平滑

(公式2)

可以看出來隨著時間的推移，歷史的信息在很快的衰減。

為什么利用beta分布得到的結果是

beta分布是在0-1之間beta分布的概率密度函數

我們假設某件物品的CTR服從參數為

的beta分布，即有

(公式3)

那么每次曝光可以看成從服從

和

的beta分布里的一次隨機抽樣。顯然被點擊的次數服從參數為

和r的n重伯努利分布，其中

和r都是已知條件

(公式4)

曝光

和點擊率是獨立的，

(公式5)

明確我們的目標是要求在已知曝光

和點擊

下點擊率

的估計，根據貝葉斯公式

(公式6)

其中B表示Beta函數，可見新的點擊率也服從Beta分布，當我們得到

之后，就可以確定點擊率的分布了。

對于參數為

的Beta分布的它的眾數是

,它的平均數是

。所以我們可以拿

或者

來作為平滑之后的CTR.

如何計算

？

假設我們擁有的是時間序列格式的數據,每天點擊數獨立同分布，所以有如下的概率密度函數，根據極大似然估計的原理。我們使下式取到最大值

(公式7)

上式對

求導有

其中

對

迭代求解

import scipy.special as special

def update(clicks,imps,init_alpha,init_beta,epoches,epsilon):

assert len(clicks) == len(imps), print("length not equal")

alpha, beta = init_alpha, init_beta

last_alpha = last_beta = 0

for i in range(epoches):

normalization = sum([special.digamma(imps[i]+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta) for i in range(len(clicks))])

alpha = alpha * (1/normalization) * sum([special.digamma(clicks[i] + alpha)-special.digamma(alpha) for i in range(len(clicks))])

beta = beta * (1/normalization) * sum([special.digamma(imps[i]-clicks[i]+beta)-special.digamma(beta) for i in range(len(clicks))])

if abs(last_alpha - alpha)

break

last_alpha = alpha

last_beta = beta

return alpha,beta

寫在最后

計算

時用到的極大似然函數也可以用我們在推導平滑CTR用到的公式6，最后對

的迭代求求我也沒太搞清楚，有興趣的朋友可以看下第一個參考文獻。

參考文獻

Environmental I S . Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising[J]. Online Multimedia Advertising Techniques & Technologies, 2011.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ctr 平滑_CTR平滑的原理，包懂！！！附代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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