一元函數定積分的數學表示為

在被積函數f(x)理論上不可積時，即無法求出該積分的解析解，所以往往要采用數值方法來求解。求解定積分的數值方法是多種多樣的，如簡單的梯形法、Simpson 法、Romberg 法等算法都是數值分析課程中經常介紹的方法。它們的基本思想都是將整個積分空間[a, b]分割成若干個子空間。

,其中 ,這樣整個積分問題就分解為下面的求和形式。

粗區間劃分

細區間劃分% 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:36 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- a= 0; b = pi; n =50; x = linspace(a,b,n); y = x.^2; plot(x,y,'r-') hold on for i = 1:length(x)-1plot([x(i) x(i) x(i+1)],[0 y(i) y(i)],'b-')hold on end title('y=x^2,n=50')

梯形求積

而在每一個小的子空間上都可以近似地求解出來，當然最簡單的求每-一個小的子空間的積分方法是采用梯形近似的方法。梯形方法還可以應用于已知數據樣本點的數值積分問題求解。假設在實驗中測得一組數據(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ... (xN,yN),且x為嚴格單調遞增的數值，直接求取這些點對應曲線的數值積分最直觀的方法就是用梯形方法.

matlab積分實現

%例: 試用梯形法求出x∈(0,π)區間內，函數sin x的定積分值。x = linspace(0,pi,1000); y= sin(x); S= sum((2*y(1:end-1)+diff(y)).*(diff(x)))/2

辛普森算法求積

單變量函數的數值積分還可以采用一般數值分析中介紹的其他算法進行求解。例如，可以采用下面給出的Simpson方法求解出

上的積分的近似值為

y = quad(fun,a,b)

其中，Fun為描述被積函數的字符串變量，可以是一個Fun.m函數文件名，該函數的一般格式為y=Fun(x)，還可以用inline()函數和匿名函數直接定義。a, b分別為定積分的上限和下限.

多重積分

使用MATLAB提供的dblquad()函數就可以直接求出上述雙重定積分的數值解。該函數的調用格式為

y=db1quad (Fun ,Xm,IM , Ym ,YM)%矩形區域的雙重積分 y=dblquad(Fun,xm,TM,Ym,YM,E) % 限定精度的雙重積分

注意，本函數不能返回被積函數調用次數，故用戶可以自已在被積函數中設置一個計數器，從而測出調用次數。

蒙特卡洛積分

Monte Carlo法是通過大量實驗來求取隨機變量近似值的一種常用的方法，在現代科學研究中經常用來求解一些建模困難的問題。

考慮圖3中給出的示意圖。假設正方形的邊長為1，可見，四分之一圓的面積是π/4,其面積和正方形面積的比是

，換句話說，如果產生一個均勻分布的隨機數，它落到四分之一圓的概率為 。生成N組隨機數x和y，使其均為區間[0,1]內均勻分布的隨機數。這樣記滿足 概率為Ni，則對大量的實驗數據，有Ni/N≈π/4,.如果N足夠大，則可以通過下面的式子近似求出π的值。% 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:51 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- N=1e5; x= rand(N,1); y = rand(N,1); i = (x.^2+y.^2)<1; p = sum(i)/N*4 p =3.1387 >>

echo on % 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:51 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- N=1e3; x= rand(N,1); y = rand(N,1); i = (x.^2+y.^2)<1; j = (x.^2+y.^2)>=1; p = sum(i)/N*4 p =3.0440 r =1; theta=0:0.01:pi/2; x1 = r*cos(theta); y1 =r*sin(theta); plot(x1,y1,'r-','linewidth',2) axis equal axis([0 1 0 1]) box on grid on hold on scatter(x(i),y(i),'b')scatter(x(j),y(j),'g') >>

總結

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