黎曼猜想的一個(gè)小小命題里就蘊(yùn)含著如此巨大的能量，自此以后，數(shù)學(xué)家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻堅(jiān)上來。

于是，1900年的巴黎，希爾伯特(Hilbert)代表數(shù)學(xué)界提出了23個(gè)影響深遠(yuǎn)的問題，黎曼猜想作為第8個(gè)問題的一部分而被世人所知。百年輪回，時(shí)至今日，23個(gè)問題中已經(jīng)有19個(gè)確定解決，還有3個(gè)部分解決。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人類的智力巔峰之上。

鑒于黎曼猜想的巨大難度，人們無法一步征服如此雄偉的山峰，只能在山腳和山腰尋找攀登的線索。一批數(shù)學(xué)家另辟蹊徑，不再駐足于尋求黎曼猜想的證明上，而是去計(jì)算黎曼猜想的零點(diǎn)。如果一旦發(fā)現(xiàn)某一個(gè)零點(diǎn)并不位于實(shí)部是0.5的直線上，這就等價(jià)于找到一個(gè)反例，從而證實(shí)黎曼猜想并不成立。

1903年，丹麥數(shù)學(xué)家第一次算出了前15個(gè)非平凡零點(diǎn)的具體數(shù)值。在黎曼猜想公布44年后，人們終于看到了零點(diǎn)的模樣。毫無意外的是，這些零點(diǎn)的實(shí)部全部都是0.5。

1925年，李特爾伍德(Littlewood)和哈代(Hardy)改進(jìn)了計(jì)算方法，算出前138個(gè)零點(diǎn)，這基本達(dá)到了人類計(jì)算能力的極限。

過于龐大的計(jì)算量，讓后人放棄了繼續(xù)尋找零點(diǎn)的努力。而為了選擇更多的非平凡零點(diǎn)，人們還在黑暗中苦苦摸索。沒想到，這一次，曙光來自于黎曼的遺稿。

手稿里的智慧遺產(chǎn)

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計(jì)算零點(diǎn)的可能也趨于渺茫，數(shù)學(xué)家陷入了漫長的痛苦期，以至于他們終于開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而并沒有實(shí)際的計(jì)算證據(jù)。

黎曼時(shí)代的數(shù)學(xué)家喜歡發(fā)表他們認(rèn)為已經(jīng)成熟的學(xué)術(shù)成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數(shù)學(xué)家公開發(fā)表的成果只是他們做研究極小一部分，許多價(jià)值連城的遠(yuǎn)見并沒對外公布。

這方面，高斯(Gauss)是一個(gè)典型。在1898年公布的高斯科學(xué)日記里，人們才發(fā)現(xiàn)，他的很多思想和成果已經(jīng)遙遙領(lǐng)先那個(gè)時(shí)代，但是卻因?yàn)闆]有發(fā)表而讓后世的數(shù)學(xué)家走了很多彎路。

比如，橢圓函數(shù)雙周期性理論的結(jié)果直到100年后才被后人重新發(fā)現(xiàn)。同時(shí)，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學(xué)巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數(shù)學(xué)家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世后被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進(jìn)行科學(xué)思考和創(chuàng)作的機(jī)會(huì)，也讓他卓絕非凡的智慧結(jié)晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，并把它贈(zèng)送給了黎曼生前的好友戴德金。后來，她擔(dān)心手稿里可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最后經(jīng)由戴德金獻(xiàn)給了哥廷根大學(xué)圖書館。這也成了黎曼留給后人的珍貴遺產(chǎn)。

很多慕名前去的數(shù)學(xué)家希望從黎曼的手稿里得到啟發(fā)，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步于此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字里行間所展示出的才能。一代數(shù)學(xué)大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護(hù)著秘密。

零點(diǎn)計(jì)算的推進(jìn)

1932年，德國數(shù)學(xué)家西格爾(Siegel)終于在歷經(jīng)兩年的苦苦鉆研后，從黎曼的手稿里找到了關(guān)鍵的證據(jù)。正是這一證據(jù)表明，黎曼對他提出的三個(gè)命題有過極其深刻的思考和計(jì)算。

西格爾在手稿里發(fā)現(xiàn)了黎曼當(dāng)年隨手寫下的公式，這個(gè)公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因?yàn)樽尷杪墓街噩F(xiàn)天日而最終獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

有些數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為：如果不是西格爾發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，時(shí)至今日，它會(huì)像埋入沙漠深處的寶藏，再難被后人重新發(fā)現(xiàn)。西格爾寫下這個(gè)公式的那天，距離黎曼在手稿里留下這份遺產(chǎn)已經(jīng)過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發(fā)揮了其巨大的威力，基于這一公式，人們可以很輕松地繼續(xù)推進(jìn)零點(diǎn)的計(jì)算。

哈代(Hardy)的學(xué)生利用西格爾公式把非平凡零點(diǎn)的個(gè)數(shù)計(jì)算到了1041個(gè)，人工智能之父圖靈推進(jìn)到了1104個(gè)。此后的幾十年，在計(jì)算機(jī)的輔助下，人們繼續(xù)了零點(diǎn)計(jì)算的接力賽。

1966年，非平凡零點(diǎn)已經(jīng)驗(yàn)證到了350萬個(gè)。20年后，計(jì)算機(jī)已經(jīng)能夠算出Zeta函數(shù)前15億個(gè)非平凡零點(diǎn)，這些零點(diǎn)無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達(dá)到了8500億。最新的成果是法國團(tuán)隊(duì)用改進(jìn)的算法，將黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算出了前10萬億個(gè)，仍然沒有發(fā)現(xiàn)反例。

十萬億個(gè)飽含著激情和努力的證據(jù)再次堅(jiān)定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數(shù)畢竟有無窮多個(gè)零點(diǎn)，十萬億和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪里，人們一片茫然，不得而知。與此同時(shí)，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

零點(diǎn)的臨界線

圖3 數(shù)學(xué)家哈代(Hardy，1877年-1947年)，他證明了黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)的臨界線，這是針對黎曼猜想重大突破

英國數(shù)學(xué)家哈代首先證明Zeta函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)都位于實(shí)部是0.5的直線上。這是一個(gè)無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否有限，而哈代的結(jié)果則是直接告訴人們，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不僅是無窮的，而且還有無窮多個(gè)零點(diǎn)都位于這條臨界線上。但是遺憾的是，人們并不知道臨界線外是否存在非平凡零點(diǎn)。

隨后，挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格(Selberg)證明了臨界線上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)占全部非平凡零點(diǎn)個(gè)數(shù)的比例大于零，這意味著臨界線上的零點(diǎn)在全部零點(diǎn)的分布中舉足輕重。

進(jìn)一步，美國數(shù)學(xué)家萊文森(Levinson)引入了獨(dú)特的方法，證明臨界線的零點(diǎn)占全部零點(diǎn)的比例達(dá)到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國數(shù)學(xué)家康瑞(Conrey)在1989年把比例推進(jìn)到了40%，這也是迄今為止得到的最好結(jié)果。

物理世界的奇遇

在理論和計(jì)算的突破猛進(jìn)下，人們開始關(guān)注零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。數(shù)學(xué)家蒙哥馬利(Montgomery)發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)分布的規(guī)律竟然和孿生質(zhì)數(shù)對在數(shù)軸上的分布規(guī)律類似。受此啟發(fā)，他寫下了一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)來描述這種規(guī)律。令人驚奇的是，該函數(shù)描述的理論結(jié)果和實(shí)際計(jì)算結(jié)果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背后隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學(xué)家戴森(Dyson)。由于彼此研究領(lǐng)域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點(diǎn)驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利云里霧里的關(guān)聯(lián)函數(shù)正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機(jī)厄密矩陣本征值的對關(guān)聯(lián)函數(shù)。這是一個(gè)描述多粒子系統(tǒng)在相互作用下，能級分布規(guī)律的函數(shù)。

一邊是純數(shù)學(xué)的黎曼猜想，它關(guān)乎的僅僅是一個(gè)Zeta函數(shù)非零點(diǎn)分布這樣最純碎的數(shù)學(xué)性質(zhì)，揭示的是質(zhì)數(shù)在自然數(shù)序列里優(yōu)雅的舞姿和節(jié)奏。另一邊，卻是最現(xiàn)實(shí)的物理世界，它連接著量子體系、無序介質(zhì)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等經(jīng)典的混沌系統(tǒng)。

理論和現(xiàn)實(shí)在這里交匯，在封閉的世界里獨(dú)自發(fā)展了兩千多年后，作為數(shù)學(xué)最主要的分支——數(shù)論終于將觸角探及真實(shí)的時(shí)空。時(shí)至今日，人們對此呈現(xiàn)出的種種不可思議的關(guān)聯(lián)仍然感到匪夷所思。

數(shù)學(xué)理論照進(jìn)現(xiàn)實(shí)

進(jìn)入二十一世紀(jì)，越來越多的數(shù)學(xué)理論成果開枝散葉，很多早期被認(rèn)為無用之用的分支，今日早已經(jīng)成為現(xiàn)代科技最強(qiáng)有力的工具，為現(xiàn)代科技的發(fā)展推波助瀾。

曾經(jīng)被人們束之高閣而偏安一隅的數(shù)學(xué)研究正化作人們手中的利器，在探索物質(zhì)世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動(dòng)力和創(chuàng)造的源泉。

微積分的誕生開啟了牛頓機(jī)械宇宙觀的宏偉時(shí)代。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)：普天之下，莫非王土，原來物理世界并不神秘，也并無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律都臣服在人類制定的法則之下。自此之后，牛頓力學(xué)開始大放異彩，基于其原理所發(fā)明的蒸汽機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)更是直接點(diǎn)燃了第一次工業(yè)革命的烈火。

我們今日所享受的信息時(shí)代的文明，諸如電腦芯片和萬維網(wǎng)都深深地受益于量子力學(xué)的發(fā)展。這門徹底改變?nèi)藗兩畹目茖W(xué)，卻源自于很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的饋贈(zèng)，從線性代數(shù)、矩陣分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)起，到數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q五次方程求解問題而發(fā)明的群論等等。

基于廣義相對論，人們發(fā)明了突破地球引力約束的衛(wèi)星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導(dǎo)航打下了基礎(chǔ)。人們?nèi)找骖l繁的出行，基于地理位置的GPS導(dǎo)航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數(shù)學(xué)原理正是非歐幾何(特別是黎曼幾何)和張量分析的應(yīng)用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨(dú)秀的弦論，因?yàn)槠浯竽懞颓靶l(wèi)的想法，深受彼時(shí)科學(xué)家的青睞。這個(gè)有望解決相對論和量子力學(xué)的大一統(tǒng)理論，已經(jīng)逐漸在主流科學(xué)界激起千層巨浪。弦論蓬勃發(fā)展的道路上，我們不難看到微分幾何堅(jiān)定的背影。

2016年，三位物理學(xué)家分享了最高的榮譽(yù)——諾貝爾獎(jiǎng)。他們因發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)拓?fù)湎嗪驮谕負(fù)湎嘧兝碚撋系耐怀鲐暙I(xiàn)而獲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)上艱深抽象的拓?fù)淅碚摰谝淮我舱业搅擞梦渲亍?/p>

物理學(xué)家用這個(gè)工具在理論上預(yù)測了一種特殊材質(zhì)的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應(yīng)。基于該效應(yīng)發(fā)現(xiàn)的材料，能夠在常溫下、無需超強(qiáng)磁場的協(xié)助就能自發(fā)在某個(gè)方向上呈現(xiàn)電阻為零的特性。這讓計(jì)算機(jī)芯片的發(fā)展有了無限廣袤的空間，從此量子計(jì)算機(jī)和微型超級計(jì)算機(jī)的夢想距離我們又近了一大步。

數(shù)論：待開墾之地

數(shù)學(xué)的各大分支都在默默地為前沿科學(xué)提供精妙絕倫的應(yīng)用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國里孤芳自賞。作為數(shù)學(xué)家們最悠久和最忠實(shí)的伙伴，不離不棄，它就是數(shù)論。

這個(gè)數(shù)學(xué)中最大的分支已經(jīng)積累了無數(shù)深邃的理論成就，當(dāng)今科技能受益于數(shù)論的成果不過就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當(dāng)冰山融化時(shí)，數(shù)論的碩果能惠及每一個(gè)后世子孫。破冰的希望，很可能就是處于群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數(shù)論研究里萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現(xiàn)實(shí)世界那讓人千絲萬縷的關(guān)聯(lián)中，能找到打開果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實(shí)的芬芳。

黃逸文(中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院)來源：科學(xué)大院

B黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋(上下)(12222字)

黎曼猜想，及其解釋(上)

文|J?rgen Veisdal 2013年本科畢業(yè)論文，OlingCat笨貓一只譯于2018-03-31，數(shù)據(jù)簡化DataSimp20180921Fri

獻(xiàn)給約翰·納什

素?cái)?shù)

你還記得素?cái)?shù)，對吧？它們無法被其他自然數(shù)整除？OK。于是我們有了一個(gè)3000多年的問題：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p。p是多少？31。下一個(gè)p呢？是37。之后的p呢？41。接著呢？43。但是……你怎么知道下一個(gè)p是什么？

若你能提出一個(gè)論點(diǎn)或公式(甚至僅在任何給定的數(shù)列中)能預(yù)測到下一個(gè)素?cái)?shù)是什么，你的名字就會(huì)與人類思想中最偉大的成就之一永遠(yuǎn)聯(lián)系在一起，與牛頓、愛因斯坦和哥德爾比肩。如果能解決素?cái)?shù)為何表現(xiàn)出如此的性質(zhì)，你就永遠(yuǎn)不用再做任何事情了，永遠(yuǎn)。

引言

歷史上曾有多位數(shù)學(xué)巨匠研究過素?cái)?shù)的性質(zhì)。從歐幾里得對素?cái)?shù)無限性的第一個(gè)證明，到歐拉將素?cái)?shù)與zeta函數(shù)聯(lián)系起來的乘積公式；從高斯與勒讓德提出的素?cái)?shù)定理公式，到它被阿達(dá)馬和德拉瓦萊普森證明；依舊占據(jù)主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼則獨(dú)立為素?cái)?shù)理論做出了最大的突破。他對素?cái)?shù)的分布做出了新的，前無古人的發(fā)現(xiàn)，所有這些都包含在一篇1859年出版的8頁論文里，它至今仍是數(shù)論中最重要的論文之一。

自該論文出版以來，黎曼的論文一直是素?cái)?shù)理論的中心，它確實(shí)是素?cái)?shù)定理在1896年被證明的主要原因。自此之后，數(shù)學(xué)家們又找到了幾個(gè)新的證明，包括塞爾伯格和埃爾多斯的基本證明。然而黎曼關(guān)于zeta函數(shù)根的猜想依舊成謎。

素?cái)?shù)有多少？

先來點(diǎn)兒簡單的。我們都知道(除0和1外)一個(gè)數(shù)字不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。所有合數(shù)都由素?cái)?shù)構(gòu)成，且可被因數(shù)分解為一些素?cái)?shù)的乘積。素?cái)?shù)則是該構(gòu)建過程中的“積木”或“基本元素”。歐幾里得在公元前300年證明了素?cái)?shù)有無限個(gè)。

歐幾里得定理

設(shè)素?cái)?shù)集有限。建立一個(gè)所有素?cái)?shù)的列表。令P為該列表中所有素?cái)?shù)的積(將列表中的所有素?cái)?shù)相乘)。將結(jié)果數(shù)字加一，Q = P + 1。同所有數(shù)字一樣，數(shù)字Q不是素?cái)?shù)就是合數(shù)：

l 若Q為素?cái)?shù)，你就找到了一個(gè)不在“所有素?cái)?shù)的列表”中的素?cái)?shù)。

l 若Q非素?cái)?shù)，則為合數(shù)，即在列出的所有素?cái)?shù)中，存在素?cái)?shù)p可整除Q(因?yàn)樗泻蠑?shù)都是一些素?cái)?shù)的乘積)。每個(gè)構(gòu)成P的素?cái)?shù)p顯然整除P。若p能同時(shí)整除P和Q，那么它應(yīng)當(dāng)也能整除二者之差，即1。然而沒有素?cái)?shù)能夠整除1，因此p必定不在該素?cái)?shù)列表中，這與該列表包含所有素?cái)?shù)矛盾。

總存在另一個(gè)能整除Q的素?cái)?shù)p不在該列表中，因此素?cái)?shù)必有無限個(gè)。

為何素?cái)?shù)如此難以理解？

任何初學(xué)者都能理解我前面提出的問題，僅此一點(diǎn)就足以說明它有多么困難。甚至在進(jìn)行過大量研究后，我們對素?cái)?shù)的代數(shù)性質(zhì)仍然知之甚少。科學(xué)界十分確信我們?nèi)狈斫馑財(cái)?shù)行為的能力，大數(shù)的因式分解(即找出一個(gè)數(shù)是由哪兩個(gè)素?cái)?shù)相乘所得)便是加密理論的基礎(chǔ)之一。下面就是一種尋找它們的方法：

我們已經(jīng)很好地理解了合數(shù)，即所有的非素?cái)?shù)。它們由素?cái)?shù)構(gòu)成，你很容易就能寫下一個(gè)式子來預(yù)測和/或生成合數(shù)。這樣的“合數(shù)過濾器”稱作一個(gè)數(shù)篩，最有名的例子便是約公元前200年的“埃拉托斯特尼篩法”。它所做的就是簡單地在一個(gè)有限集中標(biāo)記出每個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)。所以，先取素?cái)?shù) 2，并標(biāo)記出4,6,8,10等，接著取素?cái)?shù)3，然后標(biāo)出6,9,12,15等等，最后就只剩素?cái)?shù)了。雖然很好理解，但正如你所料，埃拉托斯特尼篩法并不高效。

函數(shù)6n ± 1能顯著簡化此工作，這個(gè)簡單的函數(shù)會(huì)產(chǎn)生除2和3之外的所有素?cái)?shù)，并移除所有3的倍數(shù)和所有偶數(shù)。將n = 1,2,3,4,5,6,7代入會(huì)產(chǎn)生結(jié)果：5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43。該函數(shù)生成的非素?cái)?shù)只有25和35，它們分別可被分解為5×5和5×7。如你所料，之后的非素?cái)?shù)為49 = 7×7、55 = 5×11等等。挺的簡單吧？

為了從視覺上展示它，我使用了自己稱為“合數(shù)梯”的東西，它能直觀地展現(xiàn)出該函數(shù)生成的合數(shù)相對于每個(gè)素?cái)?shù)的布局和組合。在下圖的前三列中，你可以清晰地看到素?cái)?shù)5, 7, 11與它們各自的合數(shù)梯一直到91。第四列的混亂則展示了此篩子如何移除素?cái)?shù)以外的所有的數(shù)字，它清楚地展現(xiàn)了為何素?cái)?shù)如此難以理解。

合數(shù)梯子

基礎(chǔ)資源

所以這一切都與你可能聽說過的“黎曼猜想”有關(guān)？嗯…簡單來說，為了更好地理解素?cái)?shù)，數(shù)學(xué)家們在19世紀(jì)便不再嘗試預(yù)測素?cái)?shù)的精確位置，轉(zhuǎn)而將素?cái)?shù)的現(xiàn)象視為一個(gè)整體。這種分析的方法就是黎曼所擅長的，他著名的猜想也由此得出。不過在解釋它之前，我們有必要先熟悉一些基礎(chǔ)資源。

調(diào)和級數(shù)

調(diào)和級數(shù)是個(gè)無限級數(shù)，它首先由尼科爾·奧雷斯姆在14世紀(jì)研究。其名字與音樂中諧波的概念有關(guān)，即高于基音基本頻率的泛音。該級數(shù)如下：

無限調(diào)和級數(shù)的第一項(xiàng)

該和式被奧雷斯姆證明是不收斂的(即不存在極限，不接近/趨向于任何特定的數(shù)字，而是一直增長到無窮大)。

Zeta 函數(shù)

調(diào)和級數(shù)是一個(gè)更一般形式的，被稱為zeta函數(shù)ζ(s)的一個(gè)特列。zeta函數(shù)的實(shí)際值由給定的r和n兩個(gè)實(shí)數(shù)決定：

zeta函數(shù)

若將n = 1代入，就會(huì)得到調(diào)和級數(shù)，它是發(fā)散的。然而對于n> 1的所有值, 該級數(shù)是收斂的，這意味著當(dāng)r遞增時(shí)，其和趨向于某些數(shù)，即它不會(huì)增長到無窮大。

歐拉乘積公式

zeta函數(shù)和素?cái)?shù)間的第一個(gè)聯(lián)系是由歐拉發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)他發(fā)現(xiàn)了n和p兩個(gè)自然數(shù)(大于零的整數(shù))之間的關(guān)系，其中p為素?cái)?shù)：

歐拉乘積公式，其中n，p均為大于零的數(shù)字且p為素?cái)?shù)

該表達(dá)式首先出現(xiàn)在1737年一篇題為Variae observationescirca series infinitas(無窮級數(shù)的各種觀察)的論文中。該表達(dá)式陳述了zeta函數(shù)的求和等于一減去素?cái)?shù)的-s次方的倒數(shù)的求積。這種驚人的聯(lián)系奠定了現(xiàn)代素?cái)?shù)理論的基礎(chǔ)，即使用zeta函數(shù)ζ(s)作為研究素?cái)?shù)的方法。

此公式的證明是我最喜歡的證明之一，因此我在這里收錄了它，即便它對我們的目的而言并非嚴(yán)格必須的(它太優(yōu)雅了！)：

歐拉乘積公式的證明

歐拉從一般的zeta函數(shù)開始

zeta函數(shù)

首先，他將等式兩邊同時(shí)乘以第二項(xiàng)：

zeta 函數(shù)乘以1/(2s)

接著他從zeta函數(shù)中減去結(jié)果表達(dá)式：

zeta函數(shù)減去1/(2s)乘以zeta函數(shù)

他重復(fù)這個(gè)過程，緊接著在兩邊同時(shí)乘以第三項(xiàng)：

zeta函數(shù)減去1/(2s)乘以zeta函數(shù)，再乘以1/(3s)

接著從zeta函數(shù)中減去結(jié)果表達(dá)式：

zeta函數(shù)減去1/(2s)乘以zeta函數(shù)，減去1/(3)再乘以zeta函數(shù)

無限重復(fù)此過程，最后會(huì)留下表達(dá)式：

1減去所有素?cái)?shù)的倒數(shù)，乘以zeta函數(shù)

如果你覺得這個(gè)過程很眼熟，那是因?yàn)闅W拉實(shí)際上構(gòu)造了一個(gè)篩子，它和埃拉托斯特尼篩法很像。它將非素?cái)?shù)從 zeta 函數(shù)中篩了出去。接著，將該表達(dá)式除以所有素?cái)?shù)的倒數(shù)項(xiàng)，就得到了：

zeta函數(shù)與素?cái)?shù)的函數(shù)關(guān)系，對于前五個(gè)素?cái)?shù)2,3,5,7和11

簡化后，就是：

歐拉乘積公式，該恒等式展示了素?cái)?shù)與zeta函數(shù)間的聯(lián)系

是不是非常漂亮？將s = 1代入，就得到了無限調(diào)和級數(shù)，再次證明了素?cái)?shù)的無限。

莫比烏斯函數(shù)

奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯之后重寫了歐拉乘積公式，創(chuàng)造了一個(gè)新的求和。除了包含素?cái)?shù)的倒數(shù)外，莫比烏斯函數(shù)也包含了所有可分解為奇數(shù)或偶數(shù)個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積的自然數(shù)。他的數(shù)中留下的的數(shù)字可以被某些素?cái)?shù)的平方整除。和式用μ(n)表示如下：

莫比烏斯函數(shù)，歐拉乘積公式的一個(gè)修改版，在所有的自然數(shù)上定義

該和式包含了以下數(shù)的倒數(shù)：

1.所有素?cái)?shù)；

2.所有可寫為奇數(shù)個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積的自然數(shù)，前綴一個(gè)負(fù)號；以及

3.所有可寫為偶數(shù)個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積的自然數(shù)，前綴一個(gè)正號。

以下為第一項(xiàng)：

1除以zeta函數(shù)ζ(s)的級數(shù)/求和

此和式不包含能夠被某些素?cái)?shù)的平方(如 4,8,9 等等)整除的倒數(shù)。莫比烏斯函數(shù) μ(n) 的值只有三種可能，除了前綴(1 或 -1)外，就是從該和式中移除項(xiàng)(0)：

莫比烏斯函數(shù)μ(n)三個(gè)可能的取值

盡管莫比烏斯給出了第一個(gè)形式化定義，然而這個(gè)詭異的和式來自于比它早30多年的高斯的一個(gè)旁注，他認(rèn)為這很不尋常，他寫道：

“該和式(對于一個(gè)素?cái)?shù)p)的所有原根要么≡ 0(當(dāng)p-1可被一個(gè)平方數(shù)整除時(shí))，要么≡ ±1 (mod p)(當(dāng)p-1為不相等的素?cái)?shù)的乘積時(shí))；若它們的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，其符號為正；若它們的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則符號為負(fù)。”

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

我們回到素?cái)?shù)的問題上。為了理解隨著數(shù)值的升高素?cái)?shù)是如何分布的，我們無需知道它們在哪，只需知道到一個(gè)具體的數(shù)字為止它們的數(shù)量。

高斯引入的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)就是做這件事的，它會(huì)給出小于或等于一個(gè)給定實(shí)數(shù)的素?cái)?shù)的數(shù)量。鑒于目前沒有已知的尋找素?cái)?shù)的公式，我們只能通過圖像或每當(dāng)x為素?cái)?shù)時(shí)階躍函數(shù)加1的方式來了解素?cái)?shù)計(jì)數(shù)公式。下圖顯示了x = 200時(shí)的函數(shù)。

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)，其中x = 200

素?cái)?shù)定理

素?cái)?shù)定理也由高斯(和勒讓德獨(dú)立地)闡述：

素?cái)?shù)定理

在漢語(原文英語)中，它被陳述為：“當(dāng)x增長到無窮大時(shí)，素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)會(huì)近似于x/ln(x)函數(shù)。換句話說，若你的計(jì)數(shù)足夠大，且將素?cái)?shù)數(shù)量的圖繪制到一個(gè)非常大的數(shù)x，接著繪制x除以x的自然對數(shù)，二者會(huì)臨近相同的值。兩函數(shù)圖像如下，取x = 1000：

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)以及素?cái)?shù)定理的估計(jì)，繪制到x = 1000

從概率的角度來說，素?cái)?shù)定理說明若你隨機(jī)選擇一個(gè)自然數(shù)x，那么P(x)，即該數(shù)字為素?cái)?shù)的概率約為1/ln(x)。這意味著前x個(gè)整數(shù)中連續(xù)素?cái)?shù)之間的平均間隙約為ln(x)。

對數(shù)積分函數(shù)

函數(shù)Li(x) 在除了x = 1之外的所有正實(shí)數(shù)上定義。它以一個(gè)從2到x的積分定義：

對數(shù)積分函數(shù)的積分表示

將此函數(shù)與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)和素?cái)?shù)定理公式一起繪制，我們會(huì)看到其實(shí)Li(x)比x/ln(x)近似得更好：

對數(shù)積分函數(shù)Li(x)，素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)和x/ln(x)一起繪制

若我們做一個(gè)表格，其中包含足夠大的x值、到x為止的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)以及舊函數(shù)(素?cái)?shù)定理)與新函數(shù)(對數(shù)積分)之間的誤差，就能看出它近似得有多好：

到一個(gè)給定的10的冪的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)以及兩種估計(jì)對應(yīng)的誤差項(xiàng)

從這里可以很容易看出，對數(shù)積分函數(shù)的近似值遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于素?cái)?shù)定理函數(shù)，對于x = 10^14只“猜多了” 314,890個(gè)素?cái)?shù)。然而，這兩個(gè)函數(shù)都只能向素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)靠攏。Li(x)靠攏得更快，但隨著x增長到無窮大，素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)與Li(x)和x/ln(x)的比率趨向于1。如圖所示：

將兩個(gè)估計(jì)和素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的比率收斂到1，其中x = 10,000

Gamma函數(shù)

自丹尼爾·伯努利和克里斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究如何將階乘函數(shù)擴(kuò)展到非整數(shù)參數(shù)的問題以來，Gamma函數(shù)Γ(z)一直是一個(gè)重要的研究對象。它是階乘函數(shù)n!(1×2×3×4×5×…×n)延拓后向下移1：

Gamma函數(shù)，在z上定義

它的圖像非常古怪：

Gamma函數(shù)Γ(z)繪制在范圍-6 ≤ z ≤ 6內(nèi)

Gamma函數(shù)Γ(z)在所有實(shí)部大于零的復(fù)數(shù)z上定義。你可能知道，復(fù)數(shù)是帶虛部的一類數(shù)，寫作Re(z)+ Im(z)，其中Re(z)為實(shí)部(普通的實(shí)數(shù))，Im(z)為虛部，以字母i表示。一個(gè)復(fù)數(shù)通常寫成z= σ + it的形成，其中σ為實(shí)部，it為虛部。復(fù)數(shù)非常有用，因?yàn)樗鼈冊试S數(shù)學(xué)家和工程師求解和處理普通實(shí)數(shù)不允許的問題。視覺上，復(fù)數(shù)將傳統(tǒng)的一維“數(shù)軸”擴(kuò)展成二維“數(shù)平面”，稱之為復(fù)平面，其中復(fù)數(shù)的實(shí)部繪制在x軸上，虛部繪制在y軸上。為了能夠使用Gamma函數(shù)Γ(z)，通常將其形式重寫為

Gamma函數(shù)Γ(z)的函數(shù)關(guān)系

通過該恒等式可獲得實(shí)部小于等于零的z的值。然而它不會(huì)給出負(fù)整數(shù)的值，因?yàn)樗鼈儧]有定義(從技術(shù)上說它們是奇異點(diǎn)或簡單的極點(diǎn))。

Zeta與 Gamma

zeta函數(shù)與Gamma函數(shù)的聯(lián)系由以下積分給出：

黎曼猜想，及其解釋(下)

文|J?rgen Veisdal 2013年本科畢業(yè)論文，OlingCat笨貓一只譯于2018-03-31，數(shù)據(jù)簡化DataSimp20180921Fri

黎曼的工作

現(xiàn)在基礎(chǔ)資源已經(jīng)齊備，我們終于可以建立起素?cái)?shù)與黎曼猜想之間的聯(lián)系了。

德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼，1826年生于布列斯倫茨。師從高斯的黎曼發(fā)表了分析與幾何領(lǐng)域的工作。他最大的貢獻(xiàn)在微分幾何領(lǐng)域，為后來愛因斯坦在廣義相對論中使用的幾何語言奠定了基礎(chǔ)。

他在數(shù)論中唯一的成就，論文Ueber dieAnzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse，“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”被認(rèn)為是該領(lǐng)域中最重要的論文。他在短短四頁中概述了：

l 黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的定義，一個(gè)復(fù)值化的zeta函數(shù)；

l zeta函數(shù)對于所有復(fù)數(shù)s≠1的解析延拓；

l 黎曼xi函數(shù)ξ(s)的定義，一個(gè)通過Gamma函數(shù)與黎曼zeta函數(shù)建立起聯(lián)系的整函數(shù)；

l 黎曼zeta函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)方程的證明;

l 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)的定義，通過素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)和莫比烏斯函數(shù)定義；

l 通過黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)定義的黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)，給出了一個(gè)明確的公式來計(jì)算小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。

這是個(gè)令人難以置信的壯舉！這種工程性和創(chuàng)造力大概從來沒人見過。絕對驚人！

黎曼zeta函數(shù)

我們已經(jīng)看到了歐拉在它的乘積公式中展示的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)與zeta函數(shù)之間的緊密聯(lián)系。然而除了這種關(guān)聯(lián)外，我們對它們的關(guān)系知道得并不多，而復(fù)數(shù)的引入則明確地展示了這二者之間是如何相互聯(lián)系的。

黎曼是第一個(gè)對復(fù)變量s考慮zeta函數(shù)ζ(s)的人，其中s = σ + it。

黎曼zeta函數(shù)對于n，其中s = σ + it為復(fù)數(shù)，σ和t均為實(shí)數(shù)。

被稱為黎曼zeta函數(shù)的ζ(s)，是一個(gè)對所有實(shí)部大于1的復(fù)數(shù)(Re(s) > 1)解析(即有可定義的值)的無限級數(shù)，在這一區(qū)域內(nèi)，它絕對收斂。

為了分析規(guī)則收斂區(qū)域(即復(fù)變量s的實(shí)部大于1)以外的區(qū)域中的函數(shù)，該函數(shù)需要重新定義。黎曼通過對Re(s) > 0半平面中絕對收斂的函數(shù)進(jìn)行解析延拓，成功地做到了這一點(diǎn)。

黎曼zeta函數(shù)的重寫形式，其中{x} = x-∣x∣

zeta函數(shù)的新定義在除s = 1這一奇點(diǎn)/簡單極點(diǎn)外的Re(s) > 0半平面上解析。它在該定義域上叫做亞純函數(shù)，因?yàn)樗嗽诤唵螛O點(diǎn)s = 1處以外是全純的(此定義域中每一個(gè)點(diǎn)的領(lǐng)域均可微分)。它也是被稱為狄利克雷L-函數(shù)的一個(gè)很好的例子。

黎曼在他的論文中并未就此止步。它用Gamma函數(shù)Γ(z)繼續(xù)將他的zeta函數(shù)解析延拓到了整個(gè)復(fù)平面。為了保持本文的簡潔，我不會(huì)在這里展示它的計(jì)算過程，但我強(qiáng)烈推薦你自己讀一下，它展現(xiàn)了黎曼敏銳的直覺和高超的技術(shù)。它的方法利用了Gamma函數(shù)Γ(z)對復(fù)變量的積分形式和雅可比theta函數(shù)?(x)，它們一同重寫后會(huì)出現(xiàn)zeta函數(shù)。zeta函數(shù)的解析式為：

對于整個(gè)復(fù)平面的一個(gè)函數(shù)式zeta方程，除了s = 0和s = 1兩處奇點(diǎn)

在此形式中，可以看出ψ(s)項(xiàng)比x的任何次冪減少得更快，因此該積分對s的所有值收斂。甚至更進(jìn)一步，黎曼注意到如果用1-s代替s，那么大括號中的第一項(xiàng)是不變的。這樣做之后，黎曼就移除了s=0和s=1兩處極點(diǎn)，進(jìn)一步擴(kuò)展了此方程的用途，并定義了無奇點(diǎn)的黎曼xi函數(shù)：

黎曼xi函數(shù)ξ(s)

黎曼zeta函數(shù)的零點(diǎn)

zeta函數(shù)的根/零點(diǎn)(即當(dāng)ζ(s) = 0 時(shí))可被分為兩種類型，分別被稱作黎曼zeta函數(shù)的“平凡”和“非平凡”零點(diǎn)。

實(shí)部Re(s) < 0時(shí)存在的零點(diǎn)

平凡零點(diǎn)即容易找到和解釋的零點(diǎn)。它們在zeta函數(shù)的以下函數(shù)形式中最中意注意到：

黎曼的函數(shù)式zeta方程的一個(gè)變體

當(dāng)正弦項(xiàng)為零時(shí)，該乘積亦為零。kπ處均是如此。因此，例如對于負(fù)偶數(shù)s= -2n，zeta函數(shù)為零。然而對于正偶數(shù)s = 2n，零點(diǎn)會(huì)與Gamma函數(shù)Γ(z)的極點(diǎn)抵消。這在原始的函數(shù)形式中更容易看到，若你將s = 2n代入，那么該項(xiàng)的第一部分會(huì)是未定義的。

因此，黎曼zeta在每個(gè)負(fù)偶數(shù)s = -2n處都有零點(diǎn)。它們是平凡零點(diǎn)，可在以下函數(shù)圖像上看到：

標(biāo)出了s = -2, -4, -6等平凡零點(diǎn)的黎曼zeta函數(shù)ζ(s)

實(shí)部Re(s) > 1時(shí)存在的零點(diǎn)

從zeta的歐拉乘積表示中，我們立刻就會(huì)發(fā)現(xiàn)ζ(s)在s的實(shí)部大于1的區(qū)域內(nèi)不能為零，因?yàn)槿绻湟蜃又粸榱悖瑒t收斂的無窮大乘積只能為零，而素?cái)?shù)無窮性的證明否定了這一點(diǎn)。

歐拉乘積公式

實(shí)部0 ≤ Re(s) ≤ 1時(shí)存在的零點(diǎn)

現(xiàn)在我們在Re(s) < 0的負(fù)半平面上找到了zeta的平凡零點(diǎn)，并展示了在Re(s) > 1的區(qū)域上不可能存在任何零點(diǎn)。然而在這兩個(gè)區(qū)域之間，被稱為臨界帶的區(qū)域，幾百年來一直占據(jù)了分析數(shù)論的焦點(diǎn)。

黎曼zeta函數(shù)ζ(s)在區(qū)間-5 < Re < 2, 0 < Im < 60內(nèi)實(shí)部和虛部的圖像

在上圖中，我已經(jīng)將ζ(s)函數(shù)的實(shí)部繪制成紅色，虛部為藍(lán)色。我們看到當(dāng)s的實(shí)部為-2和-4時(shí)的兩個(gè)零點(diǎn)在左下方。在0和1之間，我已經(jīng)突出了臨界帶，并標(biāo)出了zeta函數(shù)ζ(s)的實(shí)部和虛部相交的地方。它們是黎曼函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。隨著數(shù)值的升高，我們會(huì)看到更多零點(diǎn)，這兩個(gè)看似隨機(jī)的函數(shù)也隨著s虛部的升高變得越來越稠密。

黎曼zeta函數(shù)ζ(s)在區(qū)間-5 <Re < 2, 0 < Im < 100內(nèi)實(shí)部和虛部的圖像

黎曼xi函數(shù)

我們已經(jīng)將黎曼xi函數(shù)ξ(s)(移除了奇點(diǎn)的函數(shù)方程版本，因此它在s的所有值上定義)定義為：

無奇點(diǎn)的黎曼xi函數(shù)

該函數(shù)滿足關(guān)系

黎曼xi函數(shù)正負(fù)值之間的對稱關(guān)系

這意味著該函數(shù)關(guān)于垂線Re(s) = 1/2對稱，使得ξ(1) =ξ(0)、ξ(2) = ξ(-1)等等。

此函數(shù)關(guān)系(s與1-s的對稱性)與歐拉乘積公式一同顯示了黎曼xi函數(shù)ξ(s)只在區(qū)間0 ≤ Re(s) ≤ 1內(nèi)有零點(diǎn)。換句話說，黎曼xi函數(shù)的零點(diǎn)對應(yīng)于黎曼zeta函數(shù)的零點(diǎn)。在某種意義上，黎曼zeta函數(shù)的臨界線R(s) = 1/2對應(yīng)于黎曼xi函數(shù)ξ(s)的實(shí)數(shù)線(Im(s) = 0)。

任何人只要一看上面這兩張圖表，立刻就能注意到黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的非平凡零點(diǎn)(即黎曼xi函數(shù)的零點(diǎn))的實(shí)部Re(s)都等于1/2。黎曼在他的論文中簡要地提到了這種現(xiàn)象，這一簡短的注解，最終將成為他最偉大的遺產(chǎn)之一。

黎曼猜想

黎曼zeta函數(shù)ζ(s)非平凡零點(diǎn)的實(shí)部Re(s) = 1/2。

這是黎曼在他著名的論文中提出的未證明的推測的現(xiàn)代表述。它指出zeta在臨界帶0 ≤ Re(s) ≤ 1中的零點(diǎn)，即ζ(s) = 0，均有實(shí)部Re(s) = 1/2。若果真如此，那么所有zeta的非平凡零點(diǎn)均有形式ζ(1/2 + it)。一個(gè)等價(jià)的表述(黎曼的原始表述)為黎曼xi函數(shù)ξ(s)的根均為實(shí)數(shù)。在下圖中，直線Re(s) = 1/2為橫軸。ζ(s)的實(shí)部Re(s)圖像為紅色，而虛部Im(s)圖像為藍(lán)色。非平凡零點(diǎn)為紅藍(lán)圖像在橫軸上的交點(diǎn)。

黎曼zeta函數(shù)在直線Re(s) =1/2上的第一個(gè)非平凡零點(diǎn)

若黎曼猜想證明為真，則該函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)，即兩圖像的交點(diǎn)均會(huì)出現(xiàn)在該直線上。

相信黎曼猜想的理由

我們有很多理由相信黎曼關(guān)于zeta函數(shù)零點(diǎn)的猜想為真。對數(shù)學(xué)家而言，也許最吸引人的原因是它對于素?cái)?shù)分布的意義。此猜想的數(shù)值驗(yàn)證到非常高的值時(shí)仍然為真。實(shí)際上，該猜想的數(shù)值證據(jù)已經(jīng)足夠強(qiáng)到在物理和化學(xué)這類領(lǐng)域中被視為經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了。然而，數(shù)學(xué)史上曾有幾個(gè)推測，從數(shù)值上顯示到非常高的值時(shí)為真，但仍然被證明是假的。德比夏爾(2004)講述了斯奎斯數(shù)的故事，它給出了一個(gè)非常非常大的數(shù)值上界，否定了高斯的一個(gè)推測，即對數(shù)積分Li(x)總是大于素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)。它被利特爾伍德不加反例地證否，然后表明它在非常非常大的斯奎斯數(shù)以上必定失效，該數(shù)為10的(10的(10的34次方)次方)次方(10^(10^(10^34)))，雖然高斯的猜想已經(jīng)被證明有誤，但要給出一個(gè)具體的例子仍遠(yuǎn)超現(xiàn)今的數(shù)值計(jì)算能力。對于黎曼猜想來說也是如此，它“只不過才”被驗(yàn)證了十的十二次方個(gè)非平凡零點(diǎn)而已。

黎曼zeta函數(shù)與素?cái)?shù)

以黎曼猜想為真作為起點(diǎn)，黎曼開始研究其意義。他在論文中寫道：“……很可能所有根都是實(shí)數(shù)。當(dāng)然我們希望對此有一個(gè)嚴(yán)格的證明；經(jīng)過一番短暫而徒勞的嘗試后，我將它暫時(shí)擱置，因?yàn)樗鼘ξ蚁碌囊粋€(gè)研究目標(biāo)來說并不是必須的。”而他的下一個(gè)目標(biāo)就是將zeta函數(shù)的零點(diǎn)與素?cái)?shù)聯(lián)系起來。回憶一下素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)，它表示包括一個(gè)實(shí)數(shù)x以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。黎曼用π(x)來定義他自己的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)，即黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)。它被定義為：

黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

首先注意到該函數(shù)并非無限。對于某些項(xiàng)，該計(jì)數(shù)函數(shù)將為零，因?yàn)樵趚 < 2時(shí)沒有素?cái)?shù)。以J(100)為例，該函數(shù)由七項(xiàng)構(gòu)成，因?yàn)榈诎隧?xiàng)對于100會(huì)包含一個(gè)根8，它約等于1.778279…，因此該素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)項(xiàng)為零，而其和為J(100) = 28.5333…。與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)一樣，黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)也是一個(gè)階躍函數(shù)，它按照以下規(guī)則增加：

黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)可能的值

為了將J(x)的值與到包括x以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)聯(lián)系起來，我們通過一個(gè)被稱作莫比烏斯反演的過程(我不會(huì)在這展示它)恢復(fù)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)。其結(jié)果表達(dá)式為

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)以及它與黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)和莫比烏斯函數(shù)μ(n)的關(guān)系

還記得莫比烏斯函數(shù)可能的值為

莫比烏斯函數(shù)μ(n)的三個(gè)可能的值

這意味著我們現(xiàn)在可以將素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)寫成一個(gè)關(guān)于黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)：

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)寫成關(guān)于黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)，對于前七個(gè)n值的圖像

這個(gè)新的表達(dá)式仍然是個(gè)有限求和，因?yàn)楫?dāng)x < 2時(shí)J(x)為零，畢竟沒有素?cái)?shù)小于2。若我們現(xiàn)在考察J(100)這個(gè)例子，會(huì)得到和式

素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)對于x = 100

我們得到的就是100以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。

歐拉乘積公式的變換

接下來，黎曼以歐拉乘積公式作為起點(diǎn)，推導(dǎo)出一種用微積分的微分語言來分析求解素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的方法。從歐拉乘積公式開始：

歐拉乘積公式對于前五個(gè)素?cái)?shù)的圖像

首先兩邊取對數(shù)，然后重寫括號中的分母，他推導(dǎo)出關(guān)系

歐拉乘積公式的對數(shù)重寫形式

然后，它用著名的麥克勞林-泰勒級數(shù)展開了右邊的每一個(gè)對數(shù)項(xiàng)，創(chuàng)造出一個(gè)無限和的無限和，其中每一個(gè)無限和都對應(yīng)于素?cái)?shù)級數(shù)中的每一項(xiàng)。

對數(shù)歐拉乘積公式前四項(xiàng)的泰勒展開

觀察其中一項(xiàng)，如：

1/3^s的麥克勞林展開的第二項(xiàng)

這一項(xiàng)，以及其它所有的項(xiàng)都可以用微積分表示成J(x)函數(shù)下區(qū)域的一部分。寫成積分形式：

1/3^s的麥克勞林展開的第二項(xiàng)的積分形式

換句話說，通過歐拉乘積公式，黎曼展示了可以將離散的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)表示成連續(xù)的積分求和。我們的示例項(xiàng)在下圖中展現(xiàn)為黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)下區(qū)域的一部分。

黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù) J(x) 繪制到 x = 50，兩個(gè)積分已標(biāo)出

因此，組成了歐拉乘積公式的素?cái)?shù)倒數(shù)級數(shù)的無限積中的每個(gè)表達(dá)式都可以表示為積分，以此來創(chuàng)建對應(yīng)于黎曼素計(jì)數(shù)函數(shù)下面積的積分的無窮和。對于素?cái)?shù) 3，這個(gè)積分的無限積為：

由整數(shù)3表示的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)下構(gòu)成的區(qū)域積分的無窮積

將所有這些無窮和集成一個(gè)積分，那么黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)下的積分可以簡寫為：

zeta的對數(shù)，表示為積分的無窮級數(shù)

或者，更受歡迎的形式：

現(xiàn)代等價(jià)的歐拉乘積公式，將zeta函數(shù)與黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來

黎曼用微積分的語言，通過這種方法將他的zeta 函數(shù)ζ(s) 與他的黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù) J(x) 連接在一個(gè)等價(jià)于歐拉乘積公式的恒等式中。

誤差項(xiàng)

在他得到歐拉乘積公式的分析版本后，黎曼接下來繼續(xù)創(chuàng)造他自己的素?cái)?shù)定理。他給出的明確形式是：

“黎曼素?cái)?shù)定理”猜測的在一給定數(shù)量x以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)

這就是黎曼的明確公式。它是對素?cái)?shù)定理的改進(jìn)，能更準(zhǔn)確地估計(jì)數(shù)字x及以內(nèi)存在多少個(gè)素?cái)?shù)。該公式有四個(gè)項(xiàng)：

第一項(xiàng)，或“主項(xiàng)”為對數(shù)積分Li(x)，它是根據(jù)素?cái)?shù)定理對素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)更好的估計(jì)。它是目前為止最大的項(xiàng)，并且像我們之前看到的那樣，它高估了多少包含給定值x以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。

第二項(xiàng)，或“周期項(xiàng)”為x的ρ次冪對ρ的對數(shù)積分求和(原圖誤為p，感謝@Idear指正)，它是zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。它用來調(diào)整主項(xiàng)高估的項(xiàng)。

第三項(xiàng)為常量-log(2) = -0.6993147…

第四項(xiàng)，即最后一項(xiàng)是在x < 2上為零的積分，因?yàn)闆]有素?cái)?shù)小于2。當(dāng)該積分約等于0.1400101… 時(shí)，它在2處有最大值。

當(dāng)該函數(shù)的值增大時(shí)，后兩項(xiàng)的貢獻(xiàn)是無窮小的。大數(shù)的主要“貢獻(xiàn)者”是對數(shù)積分與周期和。影響見下圖：

通過黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)的明確公式使用黎曼zeta函數(shù)的前35個(gè)非平凡零點(diǎn)ρ來近似素?cái)?shù)計(jì)步函數(shù)π(x)

在上圖中，我們通過黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)的明確公示近似了素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)，并對zeta函數(shù)ζ(s)的前35個(gè)非平凡零點(diǎn)求和。我們看到周期項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致該函數(shù)“諧振”并開始接近素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)的形狀。以下為使用了更多非平凡零點(diǎn)的同一圖像。

通過黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)的明確公式用黎曼zeta函數(shù)的前100個(gè)非平凡零點(diǎn)ρ來近似素?cái)?shù)計(jì)步函數(shù)π(x)

使用黎曼的顯式函數(shù)，可以將包括給定數(shù)值x以內(nèi)的素?cái)?shù)近似到非常高的精度。實(shí)際上，馮·柯赫在1901年證明，使用黎曼猜想的零點(diǎn)來校正對數(shù)積分函數(shù)，等價(jià)于素?cái)?shù)定理中誤差項(xiàng)的“最佳可能”邊界。

“……這些零點(diǎn)就像電線桿，而黎曼zeta函數(shù)的特殊性質(zhì)嚴(yán)格決定了電線必須串連在它們之間……”—Dan Rockmore

結(jié)語

自1866年黎曼39歲去世以來，他的突破性論文已經(jīng)成為素?cái)?shù)和分析數(shù)論領(lǐng)域的里程碑。到目前為止，盡管偉大的數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了數(shù)百年廣泛的研究，然而關(guān)于黎曼zeta函數(shù)非平凡零點(diǎn)的黎曼猜想仍未解決。每年都會(huì)出版與此猜想有關(guān)的許多新的結(jié)果和猜想，希望有一天它能夠確實(shí)地得到證明。

本文是J?rgenVeisdal 2013年本科畢業(yè)論文的重寫。論文中引用了很多參考文獻(xiàn)，我對此深表感謝，完整論文可從此處http://www.jorgenveisdal.com/files/jorgenveisdal-thesis13.pdf下載。

對于有興趣進(jìn)一步探索本主題的人，我特別推薦John Derbyshire的‘PrimeObsession’一書，網(wǎng)址https://www.amazon.com/Prime-Obsession-Bernhard-Greatest-Mathematics/dp/0452285259/。

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the GreatestUnsolved Problem in Mathematics Paperback – May 25, 2004 by John Derbyshire (Author), 4.6 out of 5 stars 180 customer reviews. Seeall 6 formats and editions: Hardcover $36.91, 33 Used from $5.08 21 New from$31.83, Paperback $15.84, 84 Used from $2.04 57 New from $11.61. The AmazonBook Review.

譯注

譯者本人非數(shù)學(xué)專業(yè)，英語剛蹭過四級，所以文中大概存在相當(dāng)多的翻譯和理解問題。若有發(fā)現(xiàn)此類問題，懇請斧正。(咱不翻譯文章，只是Google翻譯+詞典的搬運(yùn)工= =||)

本文已征得原作者J?rgenVeisdal (https://medium.com/@JorgenVeisdal/the-riemann-hypothesis-explained-fa01c1f75d3f)翻譯授權(quán)，譯文采用CC-BY-SA4.0方式(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)共享。

題圖來自Visualizingthe Riemann zeta function and analytic continuation (https://youtu.be/sD0NjbwqlYw)，一個(gè)非常棒的視頻，它以動(dòng)畫的方式講解了黎曼zeta函數(shù)及其解析延拓，強(qiáng)烈推薦！(另有官方中英雙語版)，不過國內(nèi)讀者需要翻墻。

編輯于2018-03-31，標(biāo)簽：數(shù)學(xué)、數(shù)論、黎曼猜想(Riemann Hypothesis)，文章被以下專欄收錄：霧雨魔法店，http://zhuanlan.zhihu.com/marisa/20419321。

數(shù)學(xué)家黎曼(Bernhard Riemann)是一位英年早逝的德國數(shù)學(xué)家，出生于1826年去世于1866年，享年還不到40歲。黎曼的一生雖然短暫，卻對數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都做出了極大貢獻(xiàn)。

如何證明哥德巴赫猜想？

哥德巴赫于1742年提出以下猜想：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。至今該理論未被完全證明。這個(gè)看似簡單的命題，讓很多人想證明他，卻感到無從下手。

貌似有一處無傷大雅的翻譯不當(dāng)，原文(page39)是very, very large numbernumber;

showing that even though Gauss’ idea had been provento be wrong, an example of exactly where is far beyond the reach of numericalcalculation even today.

應(yīng)該是雖然Gauss的猜想已經(jīng)被證明有誤，但要給出一個(gè)具體例子仍遠(yuǎn)超現(xiàn)今數(shù)值計(jì)算能力。

天啊！居然是本科論文，想想我本科在干什么，慚愧啊！

黎曼素?cái)?shù)定理那個(gè)公式，貌似是對\rho求和。我是根據(jù)原文理解的，樓主這里翻譯得有點(diǎn)亂。不過貌似原文里也把求和的\rho寫成了p。

日本史上最短的高考題：tan1°是有理數(shù)嗎？——京都大學(xué)2006年高考第六題(理科)

tan1^\circ是有理數(shù)嗎？10個(gè)字，引出了日本高考史上最短的問題當(dāng)年的考生看到這個(gè)問題心里的想法一定是肯定是無理數(shù)啊，這他媽還用問？？？媽呀怎么證啊？？？這一題，完全印證了越…

我感覺這翻譯特別奇怪……

【Gamma函數(shù)Γ(z)在所有大于零的復(fù)數(shù)z上定義。】(這里嚴(yán)格來說應(yīng)該加上“實(shí)部”吧)

【使用該恒等式可獲得對于零以內(nèi)的z的值。】(“對于零以內(nèi)”是“實(shí)部小于或等于零”)

還有前面有些語句也有不嚴(yán)謹(jǐn)之處，不知是翻譯問題還是原文如此。

然而并不懂π(x)是怎么給出素?cái)?shù)數(shù)量的

π(x)只是用來表示x以內(nèi)素?cái)?shù)的數(shù)量的，換句話說，就是愣數(shù)= =||

-END-

參考文獻(xiàn)(540字)

1.黃逸文.黎曼猜想.[EB/OL]中國數(shù)學(xué)會(huì),https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxNTk0MzMwOQ==&mid=2247486503&idx=1&sn=1a744dcfff3322e05555be19d56deabb,2018-09-19.

2.J?rgen Veisdal 2013年本科畢業(yè)論文.黎曼猜想，及其解釋(上).[EB/OL]知乎,https://zhuanlan.zhihu.com/p/25055731,2018-03-31.

3.J?rgen Veisdal 2013年本科畢業(yè)論文.黎曼猜想，及其解釋(下).[EB/OL]知乎,https://zhuanlan.zhihu.com/p/25222934,2018-03-31.

x.秦隴紀(jì)．?dāng)?shù)據(jù)簡化社區(qū)Python官網(wǎng)Web框架概述；數(shù)據(jù)簡化社區(qū)2018年全球數(shù)據(jù)庫總結(jié)及18種主流數(shù)據(jù)庫介紹；數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專業(yè)概論；人工智能研究現(xiàn)狀及教育應(yīng)用；信息社會(huì)的數(shù)據(jù)資源概論；純文本數(shù)據(jù)溯源與簡化之神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練；大數(shù)據(jù)簡化之技術(shù)體系．[EB/OL]數(shù)據(jù)簡化DataSimp(微信公眾號)，http://www.datasimp.org，2017-06-06．

自然數(shù)簡化到素?cái)?shù)：黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋 (20633字)

秦隴紀(jì)

簡介：自然數(shù)簡化到素?cái)?shù)：黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋。(公號回復(fù)“黎曼猜想”，文末“閱讀原文”可下載94圖23k字27頁P(yáng)DF報(bào)告)藍(lán)色鏈接“數(shù)據(jù)簡化DataSimp”關(guān)注后下方菜單有文章分類頁。作者：黃逸文J?rgen Veisdal等。來源：中國數(shù)學(xué)會(huì)黃逸文科普文章、J?rgen Veisdal 2013年本科畢業(yè)論文，數(shù)據(jù)簡化社區(qū)秦隴紀(jì)微信群聊公眾號，引文出處附參考文獻(xiàn)。主編譯者：秦隴紀(jì)，數(shù)據(jù)簡化、科學(xué)Sciences、知識簡化新媒體創(chuàng)立者，數(shù)據(jù)簡化社區(qū)創(chuàng)始人OS架構(gòu)師/C/Java/Python/Prolog程序員，IT教師。每天大量中英文閱讀/設(shè)計(jì)開發(fā)調(diào)試/文章匯譯編簡化，時(shí)間精力人力有限，歡迎轉(zhuǎn)發(fā)/贊賞/加入支持社區(qū)。版權(quán)聲明：科普文章僅供學(xué)習(xí)研究，公開資料?版權(quán)歸原作者，請勿用于商業(yè)非法目的。秦隴紀(jì)2018數(shù)據(jù)簡化DataSimp綜合匯譯編，投稿合作、轉(zhuǎn)載授權(quán)、侵權(quán)錯(cuò)誤(包括原文錯(cuò)誤)等請聯(lián)系DataSimp@126.com溝通。歡迎轉(zhuǎn)發(fā)：“數(shù)據(jù)簡化DataSimp、科學(xué)Sciences、知識簡化”新媒體聚集專業(yè)領(lǐng)域一線研究員；研究技術(shù)時(shí)也傳播知識、專業(yè)視角解釋和普及科學(xué)現(xiàn)象和原理，展現(xiàn)自然社會(huì)生活之科學(xué)面。秦隴紀(jì)發(fā)起期待您參與各領(lǐng)域~ 強(qiáng)烈譴責(zé)超市銀行、學(xué)校醫(yī)院、政府公司肆意收集、濫用、倒賣公民姓名、身份證號手機(jī)號、單位家庭住址、生物信息等隱私數(shù)據(jù)！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的黎曼猜想和素数分布的关系_黎曼公式和素数的关系的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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