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文章目錄

• • 快速傅里葉變換模塊(fft)
  • • 傅里葉變換相關(guān)函數(shù)
    • 案例

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快速傅里葉變換模塊(fft)

傅里葉變換在處理信號(hào)時(shí)效果較好，比如音頻，心電波。

什么是傅里葉變換？

法國(guó)科學(xué)家傅里葉提出，任何一條周期曲線，無(wú)論多么跳躍或不規(guī)則，都能表示成一組光滑正弦曲線疊加之和。
傅里葉變換既是基于傅里葉定理，對(duì)一條不規(guī)則的曲線進(jìn)行拆解，從而得到一組光滑正弦曲線函數(shù)的過(guò)程。

傅里葉變換的目的是可將時(shí)域（即時(shí)間域）上的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域（即頻率域）上的信號(hào)，隨著域的不同，對(duì)同一個(gè)事物的了解角度也就隨之改變，因此在時(shí)域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡(jiǎn)單的處理。這就可以大量減少處理信號(hào)存儲(chǔ)量。比如：在存儲(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)用頻域的思想存儲(chǔ)音頻，則會(huì)大大節(jié)省空間，因?yàn)橹恍枰鎯?chǔ)一組正弦函數(shù)的參數(shù)。

• 時(shí)域圖和頻域圖

頻域圖中能量越低，正弦函數(shù)的振幅越小；頻率越高，正弦函數(shù)的最短周期經(jīng)歷時(shí)間越短。

假如有一時(shí)間域函數(shù):y = f(x),根據(jù)傅里葉的理論它可以被分解為一系列正弦函數(shù)的疊加，這些正弦函數(shù)的振幅A，頻率ω和初項(xiàng)?各不相同，比如：

$$y=A_{1}sin({\omega }_{1}x+{?}_1)+A_{2}sin({\omega }_{2}x+{?}_2)+A_{3}sin({\omega }_{3}x+{?}_3)+R$$

所以，傅里葉變換可以把一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的疊加，看問(wèn)題的角度也從時(shí)間域轉(zhuǎn)到了頻率域，有的問(wèn)題處理起來(lái)就會(huì)比較簡(jiǎn)單。

傅里葉變換相關(guān)函數(shù)

導(dǎo)入快速傅里葉變換所需模塊：

import numpy.fft as nf

通過(guò)采樣數(shù)與采樣周期求得傅里葉變換分解所得曲線的頻率序列，得到頻率(ω)：

freqs = nf.fftfreq(采樣數(shù)量, 采樣周期)

采樣數(shù)量：總共這個(gè)波有多少個(gè)點(diǎn)。
采樣周期：每單位長(zhǎng)度內(nèi)采集點(diǎn)數(shù)的倒數(shù)，或者說(shuō)是頻率的倒數(shù)，或者說(shuō)兩個(gè)點(diǎn)之間采樣需要的長(zhǎng)度。

原函數(shù)值的序列j經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換得到一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組，每一個(gè)復(fù)數(shù)可以代表一個(gè)正弦函數(shù)，復(fù)數(shù)的模代表的是振幅(A)[也代表能量]，復(fù)數(shù)的輔角代表初項(xiàng)位(?)

若得到復(fù)數(shù)3 + 4i, 則有如下示意圖：

由上圖可知，點(diǎn)3 +4i到原點(diǎn)的距離為振幅(A)，它與x軸的夾角為初項(xiàng)位(φ)

nf.fft(原函數(shù)值序列) -> 目標(biāo)函數(shù)值序列<復(fù)數(shù)>

我們也可以通過(guò)一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組，經(jīng)過(guò)逆向傅里葉變換得到合成的函數(shù)值數(shù)組:

nf.ifft(目標(biāo)函數(shù)值序列<復(fù)數(shù)>)->原函數(shù)值序列

案例

針對(duì)合成波做快速傅里葉變換，得到一組復(fù)數(shù)序列；再針對(duì)該復(fù)數(shù)序列做逆向傅里葉變換得到新的合成波并繪制。

傅里葉拆分(差分成多個(gè)代表正弦函數(shù)的復(fù)數(shù))：

import numpy as np import numpy.fft as nfx = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000) y = np.zeros(1000) n = 20 for i in range(1, n):y_temp = 4 / ((2 * i - 1) * np.pi) \* np.sin((2 * i - 1) * x)y += y_temp#拆分 complex_array = nf.fft(y) print(complex_array)

部分結(jié)果(因?yàn)椴鸱殖傻恼液瘮?shù)太多了)：

[ -6.27831120e-14 +0.00000000e+00j 3.10986537e-03 -9.89897635e-01j3.99983691e+00 -6.36585439e+02j -9.71019279e-03 +1.03025295e+00j-4.68395606e-04 +3.72717759e-02j 1.49132852e-02 -9.49331137e-01j... ...

傅里葉合并：

#合并 y_merge = nf.ifft(complex_array)

繪圖，觀察原序列與傅里葉拆分并合成之后的序列是否一致:

#繪圖 mp.plot(x, y, color = 'b', linestyle = '--',label = 'Original')mp.plot(x, y_merge, color = 'r', linestyle = '-.',label = 'ifft')mp.legend() mp.show()

圖像：

由結(jié)果可知，原序列與傅里葉拆分并合成之后的序列一致。

由上面的代碼可知，我們的采樣數(shù)量1000， 采樣周期為1/250π，為我們?cè)倮L制頻域圖：

import numpy as np import numpy.fft as nf import matplotlib.pyplot as mpx = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000) y = np.zeros(1000) n = 20 for i in range(1, n):y_temp = 4 / ((2 * i - 1) * np.pi) \* np.sin((2 * i - 1) * x)y += y_temp#拆分 complex_array = nf.fft(y) #合并 y_merge = nf.ifft(complex_array)#頻率 freqs = nf.fftfreq(y.size, x[1]-x[0]) #每個(gè)正弦波的能量 pows = np.abs(complex_array)#繪圖mp.subplot(1, 2, 1) mp.plot(x, y_merge, color = 'r', linestyle = '-.')mp.subplot(1, 2, 2) mp.plot(freqs[freqs > 0], pows[freqs > 0], color = 'b', linestyle = '--')mp.show()

圖像：

由上圖可知，組成方波的正弦函數(shù)中，頻率越低能量越大，頻率越高能量越低。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的numpy基础(part12)--快速傅里叶变换模块的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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