學習筆記

學習書目：《復雜》- 梅拉妮·米歇爾

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文章目錄

• • • 混沌
    • 邏輯斯蒂映射
    • 混沌的共性
    • 混沌思想帶來的革命

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混沌

再一次一無所知，從頭開始，這讓我很開心。——斯托帕德

混沌指的是一些系統(混沌系統)對于其初始位置和動量的測量如果有極其微小的不精確，也會導致對其的長期預測產生巨大的誤差。也就是常說的對初始條件的敏感依賴性

第一個明確的混沌系統的例子可能是19世紀末由法國數學家龐加萊給出。龐加萊是現代動力系統理論的奠基者，它大力推動了牛頓力學的發展。龐加萊在試圖解決一個比預測颶風簡單得多的問題時發現了對初始條件的敏感依賴性，這個問題就是：三體問題。

他并沒有完全解決這個這個問題，但是他的嘗試很精彩。牛頓發明了微積分，而龐加萊為了解決這個問題也創建了一個新的數學分支—代數拓撲。拓撲學是幾何學的擴展，正是在研究三體問題的幾何結果的過程中，龐加萊發現了對初始條件的敏感依賴性。下面是他對此的總結：

如果我們能知道自然界的定律和宇宙在初始時刻的精確位置，我們就能精確預測宇宙在此后的情況。但是即便我們弄清了自然界的定律，我們也還是只能近似地知道初始狀態。如果我們能同樣近似地預測以后的狀態，這也夠了，我們也就能說現象是可以預測的，而且受到定律的約束。但并不總是這樣，初始條件的細微差別有可能會導致最終現象的極大不同。前者的微小誤差會導致后者的巨大誤差。預測變得不可能……

換句話說，即便我們完全知道了運動定律，兩組不同的初始條件（在這里是物體的初始位置、質量和速度），即使差別很小(比如：0.00000127)，有時候也會導致系統隨后的運動極為不同。

邏輯斯蒂映射

混沌系統中初始的不確定性到底是如何被急劇放大的呢？關鍵因素是非線性。

對于線性系統，你可以先了解其組成，然后將它們合在一起；但對于非線性系統，整體則不等于部分之和。還原論者喜歡線性，而非線性則是還原論者的噩夢。

假設我們養了一堆兔子，兔子會配對生小兔子，每對兔子父母每年會生4只小兔子然后死去。很顯然，如果不受限制，兔子的數量會每年翻番。這是一個線性系統，整體等于部分之和。

但是如果考慮到種群數量增長所受的限制，情況會怎樣呢？這會使得增長規則變為非線性的。假定前面的規則仍然成立，每對兔子每年生4只小兔子然后死去。不過現在有些小兔子會因為太過擁擠沒有繁殖就死去。

研究種群數量的生物學家常用邏輯斯蒂模型描述這種情形下群體數量的增長,這個模型以一種簡化方式描述群體數量的增長。你設定好出生率、死亡率（由于種群數量過多導致的死亡概率）以及最大種群承載能力（棲息地所能承載的種群數量上限），然后將這一代的種群數量代入邏輯斯蒂模型，就能算出下一代的種群數量:
$$x_{n+1}=R{x}_n?R(x_n{)}^2=R{x}_n(1?x_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中的小$x$表示相對人口數，比如$x_n=X_n/N$ .邏輯斯蒂映射中出生率和死亡率的效應被合成一個數，記作$R$ .

邏輯斯蒂映射是能抓住混沌本質(對初始條件的敏感依賴性)的最簡單的系統之一

我們來看看$R=2,x_0=0.2$時，邏輯斯蒂映射的變化：

來看看$R=2,x_0=0.99$時，邏輯斯蒂映射的變化：

雖然最后結果是一樣的，不過$x_0=0.99$時，到達0.5的過程要長一點，波動也更劇烈。

我們可能已經推斷出了，只要$R=2$，$x_t$最終都會到達0.5，并停在那，這個0.5正是所謂的不動點 。到達這一點所花的時間依賴于出發點，但是一旦你到達了那里，你就會保持不動。

來看看$R=3.1,x_0=0.2$時的情形：

我們看到，$x_t$永遠也不會停在一個不動點；它最終會在兩個值（0.5580141和0.7645665）之間振蕩。如果將前者代入方程，就會得到后者，反過來也是一樣，因此振蕩會一直持續下去。不管$x_0$取什么值，最后都會形成這個振蕩。$R$一直增大，直到3.4，邏輯斯蒂映射都會有類似的變化：在迭代一些步后，系統會在兩個不同的值之間周期振蕩（最終的振蕩點由R決定）。因為是在兩個值之間振蕩，系統的周期為2。

再來看看$R=3.49,x_0=0.2$時的情形：

我們看到，$x_t$同樣不會停在一個不動點，它最終會在4個值之間振蕩。也就是說，最終的震蕩周期變為了4。這種情況大約在$3.4<R<3.5$，時會發生。

隨著$R$的增大，$x_t$并不是一直處于震蕩的狀態，當$R\approx 3.569946$時，$x_t$會變成混沌狀態。當出現混沌狀態時，就算設定兩個非常接近的初始值$x_0$，它們生成的序列也不會收斂到同一個不動點，或同一個周期震蕩，它們會逐漸發散開來。

現在，來看一看$R=4$時的情況，我們設置兩個初始值$x_0=0.2$和$x_0^{\prime }=0.2000000001$ :

這兩條軌道開始的時候很接近（以至于實線軌道把虛線軌道都蓋住了），但在大約30次迭代之后，它們明顯分開了，很快就不再具有相關性。這就是對初始條件的敏感依賴性的由來。

最后，我們從整體來看看邏輯斯蒂分叉圖：

我們知道，邏輯斯蒂映射極為簡單，并且是完全確定的，然而得到的混沌軌道卻看上去非常隨機。事實上，邏輯斯蒂映射還被用來在計算機中生成偽隨機數 ，因此，表面上的隨機可以來自非常簡單的確定性系統。

從上面的研究我們可以看出，簡單的確定性方程似乎可以產生類似于隨機嗓音的確定性軌道。這就意味著種群調查數據中那種明顯的不穩定波動不一定表明環境的變化莫測或是采樣有錯誤：它們有可能是由完全確定性的種群數量變化關系所導致的……另外，還可以看到，在混沌中，不管初始條件有多接近，在足夠長的時間之后，它們的軌道還是會相互分開。這意味著，即使我們的模型很簡單，所有的參數也都完全確定，長期預測也仍然是不可能。

這是其實一個非常負面的結論，系統存在混沌也就意味著，拉普拉斯式的完美預測不僅在實踐中無法做到，在原則上也是不可能的，因 為我們永遠也無法知道$x_0$小數點后的無窮多位數值。它與量子力學一 起，摧毀了19世紀以來的樂觀心態，即認為牛頓式宇宙就像鐘表一樣沿著可預測的路徑運行。

混沌的共性

這一點，我就簡單說一下，因為之前一個敘述混沌的Blog里，我已經寫的比較清楚了。

混沌的共性大概有以下兩點：

• 倍周期分叉
• 費根鮑姆常數

混沌思想帶來的革命

• 看似混沌的行為有可能來自確定性系統，無須外部的隨機源。
• 一些簡單的確定性系統的長期變化，由于對初始條件的敏感依賴性，即使在原則上也無法預測。
• 雖然混沌系統的具體變化無法預測，在大量混沌系統的普適共性中卻有一些“混沌中的秩序”，例如通 往混沌的倍周期之路，以及費根鮑姆常數。因此雖然在細節上“預測變得不可能”，在更高的層面上混 沌系統卻是可以預測的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《复杂》读书笔记(part2)--混沌与逻辑斯蒂映射的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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