學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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文章目錄

• • 時間序列
  • • 四種典型的非平穩隨機過程
    • • 隨機游走過程
      • 隨機趨勢非平穩過程或差分平穩過程、有漂移項的非平穩過程
      • 趨勢平穩過程或退勢平穩過程
      • 確定性趨勢非平穩過程
      • 看圖判斷
      • 隨機趨勢過程與平穩的AR(1)過程的區別
      • 為何用經濟序列建立模型之前應先取對數
      • 備注

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時間序列

四種典型的非平穩隨機過程

隨機游走過程

隨機游走過程(random walk)，屬于非平穩過程：
$$y_t=y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$

隨機游走的差分過程是平穩過程(白噪聲過程):

$$\Delta y_t=u_t$$

隨機趨勢非平穩過程或差分平穩過程、有漂移項的非平穩過程

隨機趨勢非平穩過程（stochastic trend process）或差分平穩過程（difference- stationary process）、有漂移項的非平穩過程（non-stationary process with drift）。屬于非平穩過程：
$$y_t=\mu +y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$

迭代變換：

趨勢平穩過程或退勢平穩過程

趨勢平穩過程（trend-stationary process）或退勢平穩過程，屬于非平穩過程：
$$y_t=\mu +\alpha t+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$
因為該過程是由確定性趨勢$\mu +\alpha t$和平穩隨機過程$u_t$組成，所以稱為趨勢平穩過程。趨勢平穩過程由確定性時間趨勢t所主導。減去確定性時間趨勢項$\alpha t$之后，過程變為平穩過程，所以也稱退勢平穩過程。

趨勢平穩過程的差分過程是過度差分過程：$\Delta y_t=\alpha +u_t?u_{t?1}$

所以應該用退勢的方法獲得平穩過程：$y_t?\alpha t=\mu +u_t$

確定性趨勢非平穩過程

確定性趨勢非平穩過程（non-stationary process with deterministic trend），屬于非平穩過程：
$$y_t=\mu +\alpha t+y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$
確定性趨勢非平穩過程中含有隨機趨勢、確定性趨勢并含有單位根成分。過程由確定性時間趨勢所主導。減去確定性時間趨勢項之后，過程仍是非平穩過程。

這種過程的時間趨勢性比隨機趨勢非平穩過程和退勢平穩過程更強烈、明顯。

確定性趨勢非平穩過程的差分過程是退勢平穩過程：$\Delta y_t=\mu +\alpha t+u_t$

確定性趨勢非平穩過程的退勢過程是非平穩過程：$y_t?\alpha t=\mu +y_{t?1}+u_t$

只有既差分又退勢才能得到平穩過程：$\Delta y_t?\alpha t=\mu +u_t$

看圖判斷

圖9和圖10分別近似于哪種非平穩過程：

圖9是對數的中國國民收入序列，近似于隨機趨勢非平穩序列和退勢平穩序列。圖10是中國人口序列，近似于確定性趨勢非平穩序列。

隨機趨勢過程與平穩的AR(1)過程的區別

為何用經濟序列建立模型之前應先取對數

實際經濟序列的增長趨勢常常是指數形式的。如中國的國民收入和消費。然而無論隨機趨勢過程還是趨勢平穩過程所設定的趨勢都是線性的。這是為什么？原因是原序列取對數后，趨勢項常是線性的。例如，$y_t=e^{\beta t}$，則：
$$Ln{y}_t=\beta t$$
所以用經濟序列建立模型之前應先取對數。這樣既可以用線性趨勢模型描述，又可以消除異方差。

備注

對于單位根過程（差分平穩），每個隨機沖擊都具有長記憶性，方差趨于無窮大，其均值概念變得毫無意義；

對于退勢平穩過程，隨機沖擊只具有有限記憶能力，其影響會很快消失，由其引起的對趨勢的偏離只是暫時的。對退勢平穩序列，只要正確估計出其確定性趨勢，即可實現長期趨勢與平穩波動部分的分離。

大量的實證研究顯示，不變價格的宏觀經濟序列為退勢平穩過程的可能性遠大于名義價格的宏觀經濟序列。中國的GDP、固定資產投資和居民消費等序列均為退勢平穩序列。這意味著，改革開放以來，中國的經濟增長雖然因為受到各種沖擊因素的影響而出現不同程度的偏離趨勢的上下波動，但這種偏離是暫時的，從較長時期來看，經濟增長總體上沿著確定的均衡增長路徑平穩運行。

而隨機趨勢過程雖然也有長期‘引力線’，但其數據生成過程含有單位根，隨機沖擊對它具有持續的長期影響。只有通過差分才能使其平穩，屬于差分平穩過程。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part5)--四种典型的非平稳随机过程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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