熵

繼《數學狂想曲（九）》之后，再談談熵。

Landauer’s Erasure Principle

在量子力學中，如同電荷、質量、時間有最小單位一樣，熱力學熵也有最小單位。Landauer’s Erasure Principle指出這個單位為$K_B\ln (2)$，其中$K_B$為玻爾茲曼常數。

Rolf Landauer，1927～1999，美國物理學家。出身于一個德國的猶太人家庭，1938年為躲避納粹，全家移民美國。Harvard University本科（1945）+博士（1950）。IBM研究員。美國科學院、美國工程院院士。

需要指出的是：Landauer原理中雖有“信息”一詞，但仍是物理學的概念，對應了物質/能量的轉移。而信息熵是數學概念，對應的是抽象的對象。因此，前者的公式中還有一個$K_B$的存在。

參考：

https://mp.weixin.qq.com/s/Gmfu9iLC71XmfQ5qyraIpQ

信息的物理性：從麥克斯韋妖到蘭道爾擦除

https://mp.weixin.qq.com/s/vlhgdxjVJaiD6VbX1u3how

新·麥克斯韋妖

https://mp.weixin.qq.com/s/G-PCyPVqoH77-4Gt_BhS8Q

一個經典熱力學思想實驗的量子版本（吉布斯佯謬）

焓

焓（enthalpy）是一個和熵經常一起出現的概念。由于和信息論關系不大，這里僅作簡要通俗的介紹，而非嚴格定義。

上面提到的熱力學過程，只涉及氣體的PVT變換，氣體本身的其他狀態并沒有改變。而實際情況要復雜的多，比如氣體會發生化學反應，也會發生相變（變成液態/固態），而這些變化本身，會吸收/釋放熱量，這時系統的內能就不再守恒了。焓就是用來度量這種變換的。

例如：

對于等溫下的化學反應，若反應吸熱，產物的焓高于反應物的焓；若反應放熱，產物的焓應低于反應物的焓。

朗肯循環

上圖是核電站的原理結構圖。可以看到，其中有一個冷卻蒸汽的過程。

好容易被加熱的蒸汽，為什么要冷卻呢？

術語：釋放出熱勢能的蒸汽從汽輪機下部的排汽口排出，被稱為乏汽。

單純的熱蒸汽膨脹做功，是可以將熱能完全轉換為機械能的。然而，如果沒有循環的話，這就成了一次性的買賣。而一個能夠循環做功的熱機，才是有實際用處的。這也是卡諾和朗肯為什么都要研究循環的原因。

乏汽的溫度和蒸汽差不多，但氣壓卻低的多，如果不加壓的話，根本進不了鍋爐加熱。然而，壓縮空氣是一個耗費機械能的過程，由卡諾循環可知，它耗費的能量要大于蒸汽對汽輪機做的功，兩者的差值就是所謂的熵。

而乏汽冷卻之后變成了水，由于液體的不可壓縮特性，它可以很方便的被壓入鍋爐，從而進入下一輪的循環。

朗肯循環就是用來研究以水為熱機工質的循環的。這中間由于水發生了相變，因此是一個焓變過程。

和卡諾循環與熱力學第二定律等價不同，朗肯循環的損耗并無定數，使用更優良的工質（比如低沸點有機物）可以提升熱機的效率。

William John Macquorn Rankine，1820~1872，英國科學家。University of Edinburgh肄業（讀了兩年，家里沒錢了）。University of Glasgow教授。

https://www.zhihu.com/question/26163433

為什么不能將乏汽直接送入鍋爐，而要經過冷卻后再送入鍋爐？效率不是下降了嗎？

陰影面積

題如上圖，已知正方形邊長為10，求陰影面積。

解：

旋轉圖形建立坐標系如下圖：

陰影部分上下曲邊公式如下：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5^2\\ x^2+(y+5\sqrt{2}{)}^2=10^2\end{array}$$

求解交點坐標：

$$(y+5\sqrt{2}{)}^2?y^2=75\to 10\sqrt{2}y+50=75$$

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{5\sqrt{2}}{4}\\ x=\sqrt{\frac{175}{8}}\end{array}$$

用積分法求解陰影面積：

$$\begin{gathered} \frac{S}{4}={\int }_0^{\sqrt{\frac{175}{8}}}\sqrt{(5^2?x^2)}?(\sqrt{(10^2?x^2)}?5\sqrt{2})\mathrm{d}x \\ ={\int }_0^{\sqrt{\frac{175}{8}}}\sqrt{(5^2?x^2)}\mathrm{d}x?{\int }_0^{\sqrt{\frac{175}{8}}}\sqrt{(10^2?x^2)}\mathrm{d}x+5\sqrt{2}?\sqrt{\frac{175}{8}} \end{gathered}$$

查常用積分表，可得：

$$\int \sqrt{a^2?x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2?x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}\right)+C$$

$$\begin{gathered} \frac{S}{4}=?\frac{25}{16}\sqrt{7}+\frac{25}{2}\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{2})???\frac{125}{16}\sqrt{7}+50\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{4})?+\frac{25}{2}\sqrt{7} \\ =\frac{25}{4}\sqrt{7}+\frac{25}{2}\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{2})?50\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{4}) \end{gathered}$$

$$S=25\sqrt{7}+50\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{2})?200\arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{4})\approx 29.27625$$

本答案使用Tikz繪圖，相關文件地址：

https://github.com/antkillerfarm/antkillerfarm_crazy/blob/master/helloworld/tikz/gnuplot/p1.tex

參考：

https://www.zhihu.com/question/60697114

網傳無錫小升初題，求陰影面積

http://wuli.wiki//online/ITable.html

積分表

http://wuli.wiki//online/

小時物理百科

肺炎版《黃岡密卷》

問題由來：

https://mp.weixin.qq.com/s/dR7fg6PTCVAnezlW6gTY2w

新冠病毒最“強”管控，《黃岡密卷》數學題到底有多難

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1.設$\sqrt{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$，且x、y、z為有理數，則$xyz$=?

解：

$$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}$$

由x、y、z為有理數可得：

$$4xy=2,4xz=3,4yz=6$$

由于x、y、z在原式中是對稱的，所以上式中選擇哪個等于2、3、6，都是無所謂的。

三式相乘可得：

$$4^3?(xyz{)}^2=36$$

$$(xyz{)}^2=9/16$$

$$xyz=3/4$$

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2.設二次函數$f(x)=a{x}^2+ax+1$的圖像開口向下，且滿足$f(f(1))=f(3)$，則$2a=?$

解：

令$y=2a$，則$f(1)=2a+1=y+1$

$$f(f(1))=f(y+1)=f(3)$$

$$a(y+1{)}^2+a(y+1)+1=9a+3a+1$$

$$(y+1{)}^2+(y+1)=12$$

$$y^2+3y?10=0$$

$$(y+5)(y?2)=0$$

因為圖像開口向下，所以$2a=?5$。

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最近，黃岡再次因數學題而火爆網絡。

以下是2020黃岡中考數學第16題：

求上圖扇形一邊的中點P，在扇形滾動一周的過程中，所經歷的路徑的長度。

顯然，第1，3，4段都是圓弧，難就難在第2段（綠色）了。這條曲線可不是那么好求的，普通的高數搞不定它。必須出動橢圓積分才行。

https://www.zhihu.com/question/408523403

如何解答2020黃岡中考數學第16題？

小學能接受1/3這種無限循環小數，初中能接受根號，高中能接受ln(2)，那大學的精確解為什么不能接受橢圓函數。

https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html

Elliptic Integral of the Second Kind

這里有個上面動圖的GeoGebra版本：

https://github.com/antkillerfarm/antkillerfarm_crazy/blob/master/geogebra/huanggang.ggb

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学狂想曲（十二）——熵（2）, 阴影面积, 肺炎版《黄冈密卷》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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