上一章提到，若矩陣 $A$ 、$B$ 滿足 $AB=\mathbf{O}$ ，不能得出 $A=\mathbf{O}$ 或 $B=\mathbf{O}$ 的結論，矩陣 $A$ 滿足什么條件能得出 $B=\mathbf{O}$ 的結論呢？還提到，線性變換把線性空間變換為線性空間，這兩個空間有什么關系呢？第一章以向量為工具研究了線性空間，這章以矩陣為工具研究線性空間。工具不同，但內涵一致，本章內容和第一章緊密聯系，一定要熟悉向量理論，才能學好本章。

矩陣的秩

定義 矩陣的列向量空間 矩陣 $A$ 的列向量組張成的空間，記為 $colA$ ，簡稱列空間。

空間是向量集合，采用矩陣表示空間，$m$ 行 $n$ 列矩陣 $A_{mn}$ 的列向量空間為： $\{A\mathbf{v}:\mathbf{v}\in R^n\}$ ，向量 $\mathbf{v}$ 取遍 $n$ 維空間中所有向量，列空間是 $m$ 維空間。可從兩個方面理解，一是矩陣 $A$ 列向量組的線性組合，組合系數是向量 $\mathbf{v}$ ；二是函數 $A\mathbf{x}$ 的值域，定義域是 $n$ 維空間。這是把矩陣看作列向量的集合，矩陣也可以看作行向量的集合，對應的空間就是行向量空間。

定義 矩陣的行向量空間 矩陣的行向量組張成的空間，記為 $rowA$ ，簡稱行空間。

一定要注意兩者的區分，例如矩陣 $A=?\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 4\\ 2& 5\end{array}?$ ，矩陣 $A$ 的列向量組為 $(0,1,2),(3,4,5)$ ，列空間 $colA$ 由這 $2$ 個 $3$ 維向量張成，是 $2$ 維子空間。矩陣 $A$ 的行向量組為 $[03],[14],[25]$ ，行空間 $rowA$ 由這 $3$ 個 $2$ 維向量張成，是 $2$ 維空間，行向量組和列向量組是完全不同的向量組。如何用向量集合表示行空間呢？行向量可以看成是列向量的轉置，所以矩陣 $A^T$ 的列向量就是矩陣 $A$ 的行向量！所以 $m$ 行 $n$ 列矩陣 $A_{mn}$ 的行空間為： $\{A^T\mathbf{u}:u\in R^m\}$ ，向量 $\mathbf{u}$ 取遍 $m$ 維空間中所有向量，行空間是 $n$ 維子空間，對應也有兩種看法，一是矩陣 $A^T$ 列向量組的線性組合，組合系數是向量 $\mathbf{u}$ ；二是函數 $A^T\mathbf{x}$ 的值域，定義域是 $m$ 維空間。從轉置矩陣角度看，我們認為矩陣 $A$ 的行空間由向量 $(0,3),(1,4),(2,5)$ 張成，統一看成列向量。

線性空間最重要的屬性是空間維度，第一章用向量語言，空間維度定義為生成向量組的極大無關組中向量的數量。本章用矩陣語言，空間維度定義為矩陣的秩，內涵是一樣的。

定義 矩陣的秩 等于矩陣列空間的維度，記為 $rankA$ 。

零矩陣的張成空間是原點，所以子空間維度是 $0$ ，秩等于 $0$ 。上面矩陣 $A$ 的秩為 $rankA=2$ 。矩陣的秩等于矩陣的列向量組的極大無關組中向量的數量。

矩陣的秩定義為列空間的維度，那矩陣的行空間的維度和列空間的維度有什么關系呢？表面上看矩陣的行向量組和列向量組是完全不同的向量組，但空間的維度卻是相同的！這是線性代數最奇妙的巧合，使線性代數具有優美的對稱性，矩陣列向量和行向量具有同等的地位。本章后面證明該結論。

重要性質 矩陣的秩等于列空間的維度，等于行空間的維度，等于列向量組的極大無關組向量的數量，等于行向量組的極大無關組向量的數量， $rankA=rank{A}^T$ 。

重要性質 矩陣的秩小于行數和列數，$rank{A}_{mn}\le min(m,n)$ 。

根據秩和矩陣列數行數關系，可以把矩陣分為4類。

定義 行列均滿秩矩陣 矩陣的秩等于列數，同時也等于行數。

定義 行列均不滿秩矩陣 矩陣的秩小于列數，同時也小于行數。

定義 列滿秩矩陣 矩陣的秩等于列數；其轉置是行滿秩矩陣。

定義 行滿秩矩陣 矩陣的秩等于行數；其轉置是列滿秩矩陣。

矩陣的這 $4$ 類，與第一章中向量組的 $4$ 類相對應。令矩陣 $A_{mn}$ ，秩 $r=rankA$ 。

行列均滿秩矩陣有 $r=n=m$ ，是方陣，列向量組和行向量組均是基，簡稱滿秩矩陣。

行列均不滿秩矩陣有 $r<mr<n$ ，列向量組是相關組，極大無關組是基的真子集；行向量組是相關組，極大無關組是基的真子集。

列滿秩矩陣時， $r=n$ ，必然有 $r<m$ ，因為 $m$ 維空間中無關組中向量數量最多只能有 $m$ 個 ，所以列滿秩矩陣有 $r=n<m$ ，是瘦長型矩陣，列向量組是無關組，是基的真子集；行向量是 $n$ 維向量，行向量組張開空間的維度等于秩 $n$ ，其極大無關組是 $n$ 維空間基，是相關組。

行滿秩矩陣有 $r=m<n$ ，矩陣列數多于行數，是扁平型矩陣。行向量組是無關組，是基的真子集；列向量是 $m$ 維向量，列向量組張開空間的維度等于秩 $m$ ，其極大無關組是 $m$ 維空間基，是相關組。

矩陣秩和向量組的關系，讀者一定要掌握理解。例如矩陣 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$ 是行列均滿秩矩陣，列空間維度為 $2$ ，行空間維度為 $2$ ，秩為 $2$ 。矩陣 $A=?\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\end{array}?$ 是行列均不滿秩矩陣，列空間維度為 $1$ ，行空間維度為 $1$ ，秩為 $1$ 。矩陣 $A=?\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 4\\ 2& 5\end{array}?$ 是列滿秩矩陣，列向量組是無關組，是基的真子集；行向量組是相關組，其子集 $(0,3),(1,4)$ 是行空間的基。矩陣 $A^T$ 是行滿秩矩陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3.1 矩阵的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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