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論文信息

基礎介紹

MLS

Affine Deformation

Similarity Deformation

Rigid Deformation

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論文信息

論文鏈接：《Image Deformation Using Moving Least Squares》

基礎介紹

剛性變換：平移+旋轉（只有物體的位置和朝向發生改變，而形狀不變，得到的變換成為剛性變形）

相似變換：平移+旋轉+縮放

仿射變換：平移+旋轉+縮放+傾斜+翻轉

MLS

Moving Least Squares Deformation

• p：一列控制頂點
• q：控制頂點變換后的坐標

給定圖上的一點，求解一個最優的放射變換來最小化

其中和都是行向量，每行的分量為點的坐標，權重有如下的形式

因為該最小二乘問題中的權重獨立于變形后的點，所以我們稱之為移動最小二乘最小化。對于不同的，可以得到不同的變換。由于是仿射變換，所以可以寫成

?令原始的優化函數對T求偏導并令其為0，解出

其中和是原來一系列控制頂點的加權質心，

?所以有

所以原優化函數可以修改為

?

其中，考慮二維圖像時，M就是一個2x2的矩陣。?

Affine Deformation

要找一個仿射變換來極小化方程（4），直接用古典方法求解優化問題得

從而我們可以寫成仿射變換的表達式

又因為是固定的，所以上式可以變為

其中可以預計算

直接做仿射變換會存在一些問題：原圖中的網絡點陣是排列整齊的，變換到目標圖像中后便不再排列整齊，由于是浮點數運算，所以有一些點會變換到目標圖的同一個點上，而目標圖的有一點沒有任何點從原圖變換過來，這就會導致變換之后的圖像產生白色的鏤空。解決該問題的一個比較簡單的辦法就是對原始圖像做逆變換，這相當于在目標圖像的網格點陣上計算原圖中對應的點，即已知求解對應。計算公式如下：

Similarity Deformation

實際上仿射變換包含了非一致性的平移和縮放，實際上的許多物體并不會發生這么復雜的變化。相似變換是仿射變換的一個子類，僅包含平移、旋轉和一致的縮放。為了滿足相似變換的性質，我們限制矩陣M滿足。如果M是分塊矩陣，有的形式，其中的長度為2的列向量，那么對于M的限制可以變為，并且。這個限制意味著，其中是一個作用于二維向量的算子使得。這樣原來的目標方程（4）可以修改為

該二次方程有唯一的最優值，從而可以得到最優點M

其中。從而得到最終的變換公式

其中是

類似的我們可以得到逆相似變幻的公式

其中

Rigid Deformation

進一步地，我們要求變幻中不包括一致縮放，即限制變為。先給出一個定理，這個定理說明了剛性變換和相似變換的關系。

定義一.令C是可以極小化如下相似問題的矩陣

如果C寫成的形式，R是一個旋轉矩陣，是一個標量，那么旋轉矩陣R極小化如下的剛性問題

根據定理我們知道剛性變化恰好就是方程（8），除了把其中的替換為

令

其中由式（9）定義，最后的變換公式為

上述變換公式不易求的其逆變換，所以近似的使用如下逆變換

其中

總結

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