?把m*n矩陣看作從m維空間到n維空間的一個線性映射，是否：各奇異向量就是坐標軸，奇異值就是對應坐標的系數？”我猜測，題主更想知道的是奇異值在數學上的幾何含義，而非應用中的物理意義。下面簡單介紹一下奇異值的幾何含義，主要參考文獻是美國數學協會網站上的文章[1]。

下面的討論需要一點點線性代數的知識。線性代數中最讓人印象深刻的一點是，要將矩陣和空間中的線性變換視為同樣的事物。比如對角矩陣$M$作用在任何一個向量上

$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x\\ y\end{array}\right]$
其幾何意義為在水平方向上拉伸3倍，方向保持不變的線性變換。換言之對角矩陣起到作用是將水平垂直網格作水平拉伸（或者反射后水平拉伸）的線性變換。


如果$M$不是對角矩陣，而是一個對稱矩陣
$M=\left[\begin{array}{c}2,1\\ 1,2\end{array}\right]$
那么，我們也總可以找到一組網格線，使得矩陣作用在該網格上僅僅表現為（反射）拉伸變換，而沒有旋轉變換

考慮更一般的非對稱矩陣

$M=\left[\begin{array}{c}1,1\\ 0,1\end{array}\right]$
很遺憾，此時我們再也找不到一組網格，使得矩陣作用在該網格上之后只有拉伸變換（找不到背后的數學原因是對一般非對稱矩陣無法保證在實數域上可對角化，不明白也不要在意）。我們退求其次，找一組網格，使得矩陣作用在該網格上之后允許有拉伸變換和旋轉變換，但要保證變換后的網格依舊互相垂直。這是可以做到的


下面我們就可以自然過渡到奇異值分解的引入。奇異值分解的幾何含義為：對于任何的一個矩陣，我們要找到一組兩兩正交單位向量序列，使得矩陣作用在此向量序列上后得到新的向量序列保持兩兩正交。下面我們要說明的是，奇異值的幾何含義為：這組變換后的新的向量序列的長度。


$$v_1?v_2=0$$
$$?M{v}_1?M{v}_2=0$$
令$u_1$和$u_2$分別是$M{v}_1$和$M{v}_2$方向上的單位向量，
即：
$M{v}_1={\sigma }_1{u}_1$
$M{v}_2={\sigma }_2{u}_2$
寫在一起就是
$M[v_1,v_2]=[{\sigma }_1{u}_1,{\sigma }_2{u}_2]$,整理得：

這樣就得到矩陣$M$的奇異值分解。奇異值${\sigma }_1$和${\sigma }_2$分別是$M{v}_1$和$M{v}_2$的長度。很容易可以把結論推廣到一般n維情形。
下面給出一個更簡潔更直觀的奇異值的幾何意義[2]。先來一段線性代數的推導，不想看也可以略過，直接看黑體字幾何意義部分：

假設矩陣$A$的奇異值分解為：

其中$u_1,u_2,v_1,v_2$是二維平面的向量。根據奇異值分解的性質，$u_1,u_2$線性無關，$v_1,v_2$線性無關。
那么對二維平面上任意的向量$x$,都可以表示為:
$$x={\xi }_1{v}_1+{\xi }_2{v}_2$$

當$A$作用在$x$上時，

令${\eta }_1=3{\xi }_1,{\eta }_2={\xi }_2$,
我們可以得出結論:
如果$x$是在單位圓${\xi }_1^2+{\xi }_2^2=1$上，

那么$y$正好在橢圓$\frac{{\eta }_1^2}{3^2}+\frac{{\eta }_2^2}{1^2}=1$.
這表明：
矩陣$A$將二維平面中單位圓變換成橢圓，而兩個奇異值正好是橢圓的兩個半軸長，
長軸所在的直線是$span\{u_1\}$,
短軸所在的直線是$span\{u_2\}$,

推廣到一般情形：一般矩陣$A$將單位球$||x_2||=1$變換為超橢球面

，那么矩陣$A$的每個奇異值恰好就是超橢球的每條半軸長度。

參考文獻：
[1] We Recommend a Singular Value Decomposition（Feature Column from the AMS）
[2] 徐樹方，《矩陣計算的理論與方法》，北京大學出版社。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的奇异值的几何意义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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