陶哲軒論文原文[1]

論文總共三種證明方法來(lái)證明同一個(gè)理論:

作者博客[2]的其中一種表達(dá)形式如下:

其中:

下面舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明下陶哲軒論文里面的上述公式到底是什么意思.
設(shè)矩陣A為:
$$?\begin{array}{ccc}?1& 4& 1\\ 4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}?$$

#################python代碼求解矩陣A的所有特征值和特征向量:############

import numpy as np from numpy import * # X=[ [1,2,1,1], # [3,3,1,2], # [3,5,4,3], # [5,4,5,4], # [5,6,1,5], # [6,5,2,6], # [8,7,1,2], # [9,8,3,7]] # X=np.array(X).T#這里注意，[1,2,1,1]在numpy的眼中是一列np.linalg.eig X=[[-1,4,1],[4,3,0],[1,0,2]] print("X=",X) X=matrix(X) print("------------------下面計(jì)算原始矩陣的特征值和特征向量-----------------------") eigenvalue,featurevector=np.linalg.eig(X) print("原始矩陣的特征值") print("eigenvalue=",eigenvalue) print("---------------------------") print("featurevector=\n",featurevector)

運(yùn)行代碼得到特征值
eigenvalue=[-3.60201123 5.55175228 2.05025894]

---

得到特征向量:
[[-0.8454712 0.53175808 0.04911014]
[ 0.51225069 0.83355752 -0.20683592]
[ 0.1509228 0.14971711 0.97714231]]
例如-3.60201123對(duì)應(yīng)的特征向量就是:
-0.8454712, 0.51225069, 0.1509228

####################下面分析該公式##############################
$|v_{i,1}{|}^2$表示:
第i個(gè)單位化特征向量,1表示特征向量中的第一個(gè)元素的值.
已知上面的-0.8454712, 0.51225069, 0.1509228已經(jīng)是單位化處理過(guò)的.

所以$|v_{i,1}{|}^2$=$(?0.8454712{)}^2=0.7148215500$

##################下面計(jì)算式(1)右側(cè)的分子##################
${\prod }_{k=1}^{n?1}({\lambda }_i(A)?{\lambda }_k(M))$

已知M的特征值是3和2.代入分子:

${\prod }_{k=1}^{n?1}({\lambda }_i(A)?{\lambda }_k(M))$
=(-3.60201123-3)(-3.60201123-2)
=36.9845410510

注意這里的${\lambda }_i(A)$在連乘運(yùn)算中是定死的,就是$v_i$對(duì)應(yīng)的特征向量${\lambda }_i$

#######################下面計(jì)算式(1)右側(cè)分母######################
${\prod }_{k=1,k=i}^{n?1}({\lambda }_i(A)?{\lambda }_k(A))$
分母的意思就是"矩陣A的$v_i$向量對(duì)應(yīng)的特征值"-“矩陣A的其他特征值”
所以:
${\prod }_{k=1,k=i}^{n?1}({\lambda }_i(A)?{\lambda }_k(A))$
=(-3.60201123-5.55175228)(-3.60201123-2.05025894)
=51.7395444308
#######################檢驗(yàn)等式是否成立##################
根據(jù)上面的計(jì)算:
分子=36.9845410510
分母=51.7395444308
所以式(1)右側(cè)=36.9845410510/51.7395444308=.7148215442
而$|vi,1{|}^2=(?0.8454712{)}^2=.7148215442$

所以式(1)成立.

由此可知,根據(jù)式(1),
可以直接根據(jù)原矩陣的特征值和子矩陣的特征值,直接得到原矩陣的向量中的任一元素的絕對(duì)值

該論文的特點(diǎn):
目前難以得到特征向量里面的元素的符號(hào),只能得到元素的絕對(duì)值或者平方.
需要事先知道原矩陣和子矩陣各自的所有特征值.

知乎[3]上更新：
徐樹方《矩陣計(jì)算的理論與方法》(1995年)Page 323th的引理3.1已經(jīng)有類似結(jié)論
所以，總的來(lái)看，其實(shí)是一場(chǎng)誤會(huì)，這個(gè)公式在20年前就已經(jīng)被研究過(guò)了．

陶哲軒本人在博客[2]的評(píng)論回復(fù)中，被人挖出來(lái)是很久以前就出版的內(nèi)容以后，之后基本就不回復(fù)了了，所以看熱鬧的，散了吧．

Reference:
[1]https://arxiv.org/pdf/1908.03795.pdf
[2]https://terrytao.wordpress.com/2019/08/13/eigenvectors-from-eigenvalues/#comment-528850
[3]https://www.zhihu.com/question/355978404/answer/895583246

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的EIGENVECTORS FROM EIGENVALUES论文结论举例验证的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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