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A 簡(jiǎn)介

1 歷史
最初的元胞自動(dòng)機(jī)是由馮 · 諾依曼在 1950 年代為模擬生物 細(xì)胞的自我復(fù)制而提出的. 但是并未受到學(xué)術(shù)界重視.
1970 年, 劍橋大學(xué)的約翰 · 何頓 · 康威設(shè)計(jì)了一個(gè)電腦游戲 “生命游戲” 后, 元胞自動(dòng)機(jī)才吸引了科學(xué)家們的注意.

1983 年 S.Wolfram 發(fā)表了一系列論文. 對(duì)初等元胞機(jī) 256 種 規(guī)則所產(chǎn)生的模型進(jìn)行了深入研究, 并用熵來(lái)描述其演化行 為, 將細(xì)胞自動(dòng)機(jī)分為平穩(wěn)型, 周期型, 混沌型和復(fù)雜型.

2 應(yīng)用

• 社會(huì)學(xué): 元胞自動(dòng)機(jī)經(jīng)常用于研究個(gè)人行為的社會(huì)性, 流行 現(xiàn)象. 例如人口遷移, 公共場(chǎng)所內(nèi)人員的疏散, 流行病傳播.
• 圖形學(xué): 元胞自動(dòng)機(jī)以其特有的結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單性, 內(nèi)在的并行 性以及復(fù)雜計(jì)算的能力成為密碼學(xué)中研究的熱點(diǎn)方向之一
• 物理學(xué): 在物理學(xué)中, 元胞自動(dòng)機(jī)已成功的應(yīng)用于流體, 磁 場(chǎng), 電場(chǎng), 熱傳導(dǎo)等的模擬. 例如格子氣自動(dòng)機(jī).

3 一維元胞自動(dòng)機(jī)——交通規(guī)則
定義：

• 元胞分布于一維線性網(wǎng)格上.

• 元胞僅具有車和空兩種狀態(tài).
  

• 元胞狀態(tài)由周圍兩鄰居決定.

規(guī)則：研究的變化對(duì)象只是中間的格子，后面的車子要比前面的車子起步延遲1格。

4 二維元胞自動(dòng)機(jī)——生命游戲
定義：

• 元胞分布于二維方型網(wǎng)格上.

• 元胞僅具有生和死兩種狀態(tài).
  

• 元胞狀態(tài)由周圍八鄰居決定.

規(guī)則：

骷髏：死亡；笑臉：生存
周圍有三個(gè)笑臉，則中間變?yōu)樾δ?br /> 少于兩個(gè)笑臉或者多于三個(gè)，中間則變死亡。

5 什么是元胞自動(dòng)機(jī)
離散的系統(tǒng): 元胞是定義在有限的時(shí)間和空間上的, 并且元 胞的狀態(tài)是有限.
動(dòng)力學(xué)系統(tǒng): 元胞自動(dòng)機(jī)的舉止行為具有動(dòng)力學(xué)特征.
簡(jiǎn)單與復(fù)雜: 元胞自動(dòng)機(jī)用簡(jiǎn)單規(guī)則控制相互作用的元胞 模擬復(fù)雜世界.

6 構(gòu)成要素

（1）元胞 (Cell)

元胞是元胞自動(dòng)機(jī)基本單元：

• 狀態(tài): 每一個(gè)元胞都有記憶貯存狀態(tài)的功能.
• 離散: 簡(jiǎn)單情況下, 元胞只有兩種可能狀態(tài); 較復(fù)雜情況下, 元胞具有多種狀態(tài).
• 更新: 元胞的狀態(tài)都安照動(dòng)力規(guī)則不斷更新.

（2）網(wǎng)格 (Lattice)
不同維網(wǎng)格

常用二維網(wǎng)格

（3）鄰居 (Neighborhood)

（4）邊界 (Boundary)

反射型：以自己作為邊界的狀態(tài)
吸收型：不管邊界（車開(kāi)到邊界就消失）

（5）規(guī)則（狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)）
定義：根據(jù)元胞當(dāng)前狀態(tài)及其鄰居狀況確定下一時(shí)刻該元胞狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)函數(shù), 簡(jiǎn)單講, 就是一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù).

分類 ：

• 總和型: 某元胞下時(shí)刻的狀態(tài)取決于且僅取決于它所有鄰居 的當(dāng)前狀態(tài)以及自身的當(dāng)前狀態(tài).
• 合法型: 總和型規(guī)則屬于合法型規(guī)則. 但如果把元胞自動(dòng)機(jī) 的規(guī)則限制為總和型, 會(huì)使元胞自動(dòng)機(jī)具有局限性.

（6）森林火災(zāi)

綠色：樹(shù)木；紅色：火；黑色：空地。
三種狀態(tài)循環(huán)轉(zhuǎn)化：
樹(shù)：周圍有火或者被閃電擊中就變成火。
空地：以概率p變?yōu)闃?shù)木

理性分析：紅為火；灰為空地；綠是樹(shù)

元胞三種狀態(tài)的密度和為1

火轉(zhuǎn)化為空地的密度等于空地轉(zhuǎn)換為樹(shù)的密度（新長(zhǎng)出來(lái)的樹(shù)等于燒沒(méi)的樹(shù)）

$f$是閃電的概率:遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于樹(shù)生成的概率；$T_{smax}$是一大群樹(shù)被火燒的時(shí)間尺度

程序?qū)崿F(xiàn)
周期性邊界條件
購(gòu)進(jìn)啊

其中的數(shù)字為編號(hào)
構(gòu)建鄰居矩陣

上面矩陣中的數(shù)字編號(hào)，對(duì)應(yīng)原矩陣相同位置編號(hào)的上鄰居編號(hào)，一 一對(duì)應(yīng)
同樣道理：

% simulate forest fire with cellular automata % zhou lvwen: zhou.lv.wen@gmail.com % August 15 2010 n = 300; % 定義表示森林的矩陣大小 Plight = 5e-6; Pgrowth = 1e-2; % 定義閃電和生長(zhǎng)的概率 UL = [n 1:n-1]; DR = [2:n 1]; % 定義上左，下右鄰居 veg=zeros(n,n); % 初始化表示森林的矩陣 imh = image(cat(3,veg,veg,veg)); % 可視化表示森林的矩陣 % veg = 空地為0 著火為1 樹(shù)木為2 for i=1:3000 sum = (veg(UL,:)==1) + ...(veg(:,UL)==1) + (veg(:,DR)==1) + ...(veg(DR,:)==1); % 計(jì)算出所有格子有幾個(gè)鄰居是著火的 % 根據(jù)規(guī)則更新森林矩陣：是否樹(shù)=是否樹(shù)-是否著火的樹(shù)+是否新生的樹(shù)（0-1運(yùn)算）veg = 2*(veg==2) - ...( (veg==2) & (sum>0 | (rand(n,n)<Plight)) ) + ... 2*((veg==0) & rand(n,n)<Pgrowth) ; set(imh, 'cdata', cat(3,(veg==1),(veg==2),zeros(n)) )drawnow % 可視化表示森林的矩陣 end

（7）交通概念
車距和密度

流量方程

守恒方程

時(shí)空軌跡（橫軸是空間縱軸為時(shí)間）

紅線橫線與藍(lán)色交點(diǎn)表示每個(gè)時(shí)間車的位置。
如果是豎線則表示車子在該位置對(duì)應(yīng)的時(shí)間

宏觀連續(xù)模型：

最常用的規(guī)則：

紅色條表示速度是滿的。

1 加速規(guī)則：不能超過(guò)$v_{max}（2格/s）$
2 防止碰撞：不能超過(guò)車距

理論分析：

結(jié)果分析: 密度與流量

第一個(gè)圖：橫坐標(biāo)是歸一化后的密度，縱坐標(biāo)是車流量。第二個(gè)圖：理論值與CA的結(jié)果

結(jié)果分析: 時(shí)空軌跡

中間的深色區(qū)域是交通堵塞的區(qū)域。
ns.m

function [rho, flux, vmean] = ns(rho, p, L, tmax, animation, spacetime) vmax = 5; %最大速度 % place a distribution with density ncar = round(L*rho); % 車數(shù)量=L*rho rho = ncar/L; x = sort(randsample(1:L, ncar)); % 從1到L中隨機(jī)采ncar格樣并排序 v = vmax * ones(1,ncar); % 初始化所有車子su'du1為vmax flux = 0; % number of cars that pass through the end vmean = 0; road = zeros(tmax, L); for t = 1:tmax% 加速規(guī)則v = min(v+1, vmax);%防止碰撞gaps = gaplength(x,L); % 獲得每一輛車到前面一輛車的距離v = min(v, gaps-1);% 隨機(jī)減速vdrops = ( rand(1,ncar)<p );v = max(v-vdrops,0);% 更新位置x = x + v;passed = x>L; % 車走過(guò)整個(gè)路段x(passed) = x(passed) - L;% 回到起點(diǎn)if t>tmax/2flux = flux + sum(v/L); %平均流量vmean = vmean + mean(v);endroad(t,x) = 1; end flux = flux/(tmax/2); vmean = vmean/(tmax/2); if spacetime; figure;imagesc(road);colormap([1,1,1;0,0,0]);axis image; end% ------------------------------------------------------------------------- function gaps = gaplength(x,L) % 計(jì)算車距 ncar = length(x); gaps=zeros(1, ncar); if ncar>0gaps = x([2:end 1]) -x; % d(i)=x(i+1)-x(i)gaps(gaps<=0) = gaps(gaps<=0)+L; %d(i)=d(i)+L,if d(i)<0 end nsity = 0:0.02:1; roadlength = 100; vmax = 5; tmax = 200; pbrak = 0; flux = []; vmean = []; for rho = density[R, J, V] = ns(rho, pbrak, roadlength, tmax, 0, 0);flux = [flux; J];vmean = [vmean; V]; end % ------------------------- density vs. volecity -------------------------- figure plot(density, vmean,'k.','markersize',15); hold on plot(density,min(vmax, 1./density-1),'-r','linewidth',2) ylim([0,5.55]) legend({'Cellular automata aproach', ...'$v(\rho) = \min\{v_{\max}, 1/\rho-1\}$'}, ...'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('velocity in cell/time') % --------------------------- density vs. flux ---------------------------- figure plot(density, flux,'k.','markersize',15); hold on; plot(density,min(density*vmax, 1-density),'-r','linewidth',2) legend({'Cellular automata aproach', ...'$J(\rho) = \min\{\rho\cdot v_{\max}, 1-\rho\}$'}, ...'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('flux in vehicles/time') density = 0:0.02:1; roadlength = 100; vmax = 5; tmax = 200; pbrak = 0; flux = []; vmean = []; for rho = density[R, J, V] = ns(rho, pbrak, roadlength, tmax, 0, 0);flux = [flux; J];vmean = [vmean; V]; end % ------------------------- density vs. volecity -------------------------- figure plot(density, vmean,'k.','markersize',15); hold on plot(density,min(vmax, 1./density-1),'-r','linewidth',2) ylim([0,5.55]) legend({'Cellular automata aproach', ...'$v(\rho) = \min\{v_{\max}, 1/\rho-1\}$'}, ...'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('velocity in cell/time') % --------------------------- density vs. flux ---------------------------- figure plot(density, flux,'k.','markersize',15); hold on; plot(density,min(density*vmax, 1-density),'-r','linewidth',2) legend({'Cellular automata aproach', ...'$J(\rho) = \min\{\rho\cdot v_{\max}, 1-\rho\}$'}, ...'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('flux in vehicles/time')

周呂文 中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学建模】元胞自动机的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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