博弈論

• 博弈論的定義
• 發展過程
• 要素
• 博弈類型
• 納什均衡
• 案例一 囚徒困境
• 案例二 智豬博弈
• 案例三 美女的硬幣
• 博弈論的意義

博弈論的定義

《博弈圣經》博弈論的定義：我們把動物利用大自然移動的癮魂，在決策人期待的空間里，形成三維均衡的學術理論，稱為博弈論。 [1]
基本概念中包括局中人、行動、信息、策略、收益、均衡和結果等。其中局中人、策略和收益是最基本要素。局中人、行動和結果被統稱為博弈規則。

發展過程

博弈論 [2] 是二人在平等的對局中各自利用對方的策略變換自己的對抗策略，達到取勝的目的。博弈論思想古已有之，中國古代的《孫子兵法》等著作就不僅是一部軍事著作，而且算是最早的一部博弈論著作。博弈論最初主要研究象棋、橋牌、賭博中的勝負問題，人們對博弈局勢的把握只停留在經驗上，沒有向理論化發展。
博弈論考慮游戲中的個體的預測行為和實際行為，并研究它們的優化策略。
近代對于博弈論的研究，開始于策梅洛（Zermelo），波萊爾（Borel）及馮·諾依曼（von Neumann）。
1928年，馮·諾依曼證明了博弈論的基本原理，從而宣告了博弈論的正式誕生。1944年，馮·諾依曼和摩根斯坦共著的劃時代巨著《博弈論與經濟行為》將二人博弈推廣到n人博弈結構并將博弈論系統地應用于經濟領域，從而奠定了這一學科的基礎和理論體系。
1950～1951年，約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr）利用不動點定理證明了均衡點的存在，為博弈論的一般化奠定了堅實的基礎。納什的開創性論文《n人博弈的均衡點》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，給出了納什均衡的概念和均衡存在定理。此外，萊因哈德·澤爾騰、約翰·海薩尼的研究也對博弈論發展起到推動作用。今天博弈論已發展成一門較完善的學科。

要素

1.局中人：在一場競賽或博弈中，每一個有決策權的參與者成為一個局中人。只有兩個局中人的博弈現象稱為“兩人博弈”,而多于兩個局中人的博弈稱為 “多人博弈”。
　　2.策略：一局博弈中，每個局中人都有選擇實際可行的完整的行動方案，即方案不是某階段的行動方案，而是指導整個行動的一個方案，一個局中人的一個可行的自始至終全局籌劃的一個行動方案，稱為這個局中人的一個策略。如果在一個博弈中局中人都總共有有限個策略，則稱為“有限博弈”，否則稱為“無限博弈”。
　　3.得失：一局博弈結局時的結果稱為得失。每個局中人在一局博弈結束時的得失，不僅與該局中人自身所選擇的策略有關，而且與全局中人所取定的一組策略有關。所以，一局博弈結束時每個局中人的“得失”是全體局中人所取定的一組策略的函數，通常稱為支付（payoff）函數。
　　4.對于博弈參與者來說，存在著一博弈結果 。
　　5.博弈涉及到均衡：均衡是平衡的意思，在經濟學中，均衡意即相關量處于穩定值。在供求關系中，某一商品市場如果在某一價格下，想以此價格買此商品的人均能買到，而想賣的人均能賣出，此時我們就說，該商品的供求達到了均衡。所謂納什均衡，它是一穩定的博弈結果。
博弈論研究的假設：

決策主體是理性的，最大化自己的利益；

完全理性是共同知識；

每個參與人被假定為對所處環境及其他參與者的行為形成正確信念與預期。 [1

博弈類型

博弈的分類根據不同的基準也有不同的分類。
一般認為，博弈主要可以分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈和非合作博弈的區別在于相互發生作用的當事人之間有沒有一個具有約束力的協議，如果有，就是合作博弈，如果沒有，就是非合作博弈。
從行為的時間序列性，博弈論進一步分為靜態博弈、動態博弈兩類：靜態博弈是指在博弈中，參與人同時選擇或雖非同時選擇但后行動者并不知道先行動者采取了什么具體行動；動態博弈是指在博弈中，參與人的行動有先后順序，且后行動者能夠觀察到先行動者所選擇的行動。通俗的理解："囚徒困境"就是同時決策的，屬于靜態博弈；而棋牌類游戲等決策或行動有先后次序的，屬于動態博弈
按照參與人對其他參與人的了解程度分為完全信息博弈和不完全信息博弈。完全博弈是指在博弈過程中，每一位參與人對其他參與人的特征、策略空間及收益函數有準確的信息。不完全信息博弈是指如果參與人對其他參與人的特征、策略空間及收益函數信息了解的不夠準確、或者不是對所有參與人的特征、策略空間及收益函數都有準確的信息，在這種情況下進行的博弈就是不完全信息博弈。
經濟學家們所談的博弈論一般是指非合作博弈，由于合作博弈論比非合作博弈論復雜，在理論上的成熟度遠遠不如非合作博弈論。非合作博弈又分為：完全信息靜態博弈，完全信息動態博弈，不完全信息靜態博弈，不完全信息動態博弈。與上述四種博弈相對應的均衡概念為：納什均衡(Nash equilibrium），子博弈精煉納什均衡（subgame perfect Nash equilibrium），貝葉斯納什均衡(Bayesian Nash equilibrium），精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium）。
博弈論還有很多分類，比如：以博弈進行的次數或者持續長短可以分為有限博弈和無限博弈；以表現形式也可以分為一般型（戰略型）或者展開型；以博弈的邏輯基礎不同又可以分為傳統博弈和演化博弈。 [1]

納什均衡

納什均衡(Nash Equilibrium)：在一策略組合中，所有的參與者面臨這樣一種情況，當其他人不改變策略時，他此時的策略是最好的。也就是說，此時如果他改變策略他的支付將會降低。在納什均衡點上，每一個理性的參與者都不會有單獨改變策略的沖動。納什均衡點存在性證明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出

所謂“均衡偶”是在二人零和博弈中，當局中人A采取其最優策略a*，局中人B也采取其最優策略b*,如果局中人仍采取b*，而局中人A卻采取另一種策略a，那么局中人A的支付不會超過他采取原來的策略a的支付。這一結果對局中人B亦是如此。
這樣，“均衡偶”的明確定義為：一對策略a(屬于策略集A)和策略b*（屬于策略集B）稱之為均衡偶，對任一策略a(屬于策略集A)和策略b（屬于策略集B），總有：偶對(a, b*) ≤ 偶對(a*,b*) ≥偶對(a*,b)。
對于非零和博弈也有如下定義：一對策略a*（屬于策略集A）和策略b*（屬于策略集B）稱為非零和博弈的均衡偶，對任一策略a(屬于策略集A）和策略b（屬于策略集B），總有：對局中人A的偶對（a, b*） ≤偶對(a*,b*);對局中人B的偶對（a*，b）≤偶對(a*,b*)。
有了上述定義，就立即得到納什定理：
任何具有有限純策略的二人博弈至少有一個均衡偶。這一均衡偶就稱為納什均衡點。
納什定理的嚴格證明要用到不動點理論，不動點理論是經濟均衡研究的主要工具。通俗地說，尋找均衡點的存在性等價于找到博弈的不動點。
　　納什均衡點概念提供了一種非常重要的分析手段，使博弈論研究可以在一個博弈結構里尋找比較有意義的結果。
但納什均衡點定義只局限于任何局中人不想單方面變換策略，而忽視了其他局中人改變策略的可能性，因此，在很多情況下，納什均衡點的結論缺乏說服力，研究者們形象地稱之為“天真可愛的納什均衡點”。
塞爾頓（R·Selten)在多個均衡中剔除一些按照一定規則不合理的均衡點，從而形成了兩個均衡的精煉概念：子博弈完全均衡和顫抖的手完美均衡。 [1]

案例一 囚徒困境

在博弈論中，含有占優戰略均衡的一個著名例子是由塔克給出的“囚徒困境”（prisoner’s dilemma）博弈模型。該模型用一種特別的方式為我們講述了一個警察與小偷的故事。假設有兩個小偷A和B聯合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置于不同的兩個房間內進行審訊，對每一個犯罪嫌疑人，警方給出的政策是：如果兩個犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了贓物，于是證據確鑿，兩人都被判有罪，各被判刑8年；如果只有一個犯罪嫌疑人坦白，另一個人沒有坦白而是抵賴，則以妨礙公務罪（因已有證據表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，立即釋放。如果兩人都抵賴，則警方因證據不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。下表給出了這個博弈的支付矩陣。
囚徒困境博弈 [Prisoner’s dilemma]

對A來說，盡管他不知道B作何選擇，但他知道無論B選擇什么，他選擇“坦白”總是最優的。顯然，根據對稱性，B也會選擇“坦白”，結果是兩人都被判刑8年。但是，倘若他們都選擇“抵賴”，每人只被判刑1年。在表2.2中的四種行動選擇組合中，（抵賴、抵賴）是帕累托最優，因為偏離這個行動選擇組合的任何其他行動選擇組合都至少會使一個人的境況變差。但是，“坦白”是任一犯罪嫌疑人的占優戰略，而（坦白，坦白）是一個占優戰略均衡，即納什均衡。不難看出，此處納什均衡與帕累托存在沖突。
單從數學角度講，這個理論是合理的，也就是選擇都坦白。但在這樣多維信息共同作用的社會學領域顯然是不合適的。正如中國古代將官員之間的行賄受賄稱為“陋規”而不是想方設法清查，這是因為社會體系給人行為的束縛作用迫使人的決策發生改變。比如，從心理學角度講，選擇坦白的成本會更大，一方坦白害得另一方加罪，那么事后的報復行為以及從而不會輕易在周圍知情人當中的“出賣”角色將會使他損失更多。而8年到10年間的增加比例會被淡化，人的尊嚴會使人產生復仇情緒，略打破“行規”。我們正處于大數據時代，想更接近事實的處理一件事就要盡可能多地掌握相關資料并合理加權分析，人的活動動影像動因復雜，所以囚徒困境只能作為簡化模型參考，具體決策還得具體分析。 [5]

案例二 智豬博弈

一、經濟學中的“智豬博弈”（Pigs’payoffs） 這個例子講的是：
假設豬圈里有一頭大豬、一頭小豬。豬圈的一頭有豬食槽（兩豬均在食槽端），另一頭安裝著控制豬食供應的按鈕，按一下按鈕會有10個單位的豬食進槽，但是在去往食槽的路上會有兩個單位豬食的體能消耗，若大豬先到槽邊，大小豬吃到食物的收益比是6:4；同時行動（去按按鈕），收益比是7∶3；小豬先到槽邊，收益比是9:1。那么，在兩頭豬都有智慧的前提下，最終結果是小豬選擇等待。
"智豬博弈"由納什于1950年提出。實際上小豬選擇等待，讓大豬去按控制按鈕，而自己選擇“坐船”(或稱為搭便車)的原因很簡單：在大豬選擇行動的前提下，小豬選擇等待的話，小豬可得到4個單位的純收益，而小豬行動的話，則僅僅可以獲得大豬吃剩的1個單位的純收益，所以等待優于行動；在大豬選擇等待的前提下，小豬如果行動的話，小豬的收入將不抵成本，純收益為-1單位，如果小豬也選擇等待的話，那么小豬的收益為零，成本也為零，總之，等待還是要優于行動。
用博弈論中的報酬矩陣可以更清晰的刻畫出小豬的選擇：
從矩陣中可以看出，當大豬選擇行動的時候，小豬如果行動，其收益是1，而小豬等待的話，收益是4，所以小豬選擇等待；當大豬選擇等待的時候，小豬如果行動的話，其收益是-1，而小豬等待的話，收益是0,所以小豬也選擇等待。綜合來看，無論大豬是選擇行動還是等待，小豬的選擇都將是等待，即等待是小豬的占優策略。
在小企業經營中，學會如何“搭便車”是一個精明的職業經理人最為基本的素質。在某些時候，如果能夠注意等待，讓其他大的企業首先開發市場，是一種明智的選擇。這時候有所不為才能有所為！
高明的管理者善于利用各種有利的條件來為自己服務。“搭便車”實際上是提供給職業經理人面對每一項花費的另一種選擇，對它的留意和研究可以給企業節省很多不必要的費用，從而使企業的管理和發展走上一個新的臺階。這種現象在經濟生活中十分常見，卻很少為小企業的經理人所熟識。
在智豬博弈中，雖然小豬的“撿現成”的行為從道義上來講令人不齒，但是博弈策略的主要目的不正是使用謀略最大化自己的利益嗎？ [5]

案例三 美女的硬幣

一位陌生美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩個游戲。美女提議：“讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。如果我們都是正面，那么我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以了。”聽起來不錯的提議。如果我是男性，無論如何我是要玩的，不過經濟學考慮就是另外一回事了，這個游戲真的夠公平嗎？
假設我們出正面的概率是x，反面的概率是1-x。為了使利益最大化，應該在對手出正面或反面的時候我們的收益都相等，不然對手總是可以改變正反面出現的概率讓我們的總收入減少，由此列出方程就是3x+(-2)(1-x)=(-2)x+1(1-x)
這個方程通俗的說就是在對手一直出正面你得到的利益，和你對手一直出反面得到利益是一樣的且最大。解方程得x=3/8,也就是說平均每八次出示3次正面，5次反面是我們的最優策略。而將x=3/8代入到收益表達式3x+(-2)(1-x)中就可得到每次的期望收入，計算結果是-1/8元。
同樣，設美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y，列方程-3y+2(1-y)=2y+(-1)(1-y)
解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益則是2(1-y)-3y=1/8元。這告訴我們，在雙方都采取最優策略的情況下，平均每次美女贏1/8元。其實只要美女采取了(3/8,5/8)這個方案，不論你再采用什么方案，都是不能改變局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是(3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元
如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略無非只是上面兩種策略的線性組合，所以期望還是-1/8元。但是當你也采用最佳策略時，至少可以保證自己輸得最少。否則，你肯定就會被美女采用的策略針對，從而賠掉更多。看起來這個博弈模型似乎沒有什么用處，但是其實這可能牽涉了金融市場定價中最重要的一個模型：定價權重模型了。
總的來說“博弈論”其本質是將日常生活中的競爭矛盾以游戲的形式表現出來，并使用數學和邏輯學的方法來分析事物的運作規律。既然有游戲的參與者那么也必然存在游戲規則的制定者。深入的了解競爭行為的本質，有助于我們分析和掌握競爭中事物之間的關系，更方便我們對規則進行制定和調整，使其最終按照我們所預期的目的進行運作。 [5]

博弈論的意義

博弈論的研究方法和其他許多利用數學工具研究社會經濟現象的學科一樣，都是從復雜的現象中抽象出基本的元素，對這些元素構成的數學模型進行分析，而后逐步引入對其形勢產生影響的其他因素，從而分析其結果。
　　基于不同抽象水平，形成三種博弈表述方式，標準型、擴展型和特征函數型，利用這三種表述形式,可以研究形形色色的問題。因此,它被稱為“社會科學的數學”從理論上講，博弈論是研究理性的行動者相互作用的形式理論，而實際上正深入到經濟學、政治學、社會學等等，被各門社會科學所應用。
　　博弈論是指某個個人或是組織，面對一定的環境條件，在一定的規則約束下，依靠所掌握的信息，從各自選擇的行為或是策略進行選擇并加以實施，并從各自取得相應結果或收益的過程，在經濟學上博弈論是個非常重要的理論概念。
　　什么是博弈論？古語有云，世事如棋。生活中每個人如同棋手，其每一個行為如同在一張看不見的棋盤上布一個子，精明慎重的棋手們相互揣摩、相互牽制，人人爭贏，下出諸多精彩紛呈、變化多端的棋局。博弈論是研究棋手們 “出棋” 著數中理性化、邏輯化的部分，并將其系統化為一門科學。換句話說，就是研究個體如何在錯綜復雜的相互影響中得出最合理的策略。事實上，博弈論正是衍生于古老的游戲或曰博弈如象棋、撲克等。數學家們將具體的問題抽象化，通過建立自完備的邏輯框架、體系研究其規律及變化。這可不是件容易的事情，以最簡單的二人對弈為例，稍想一下便知此中大有玄妙：若假設雙方都精確地記得自己和對手的每一步棋且都是最“理性” 的棋手，甲出子的時候，為了贏棋，得仔細考慮乙的想法，而乙出子時也得考慮甲的想法，所以甲還得想到乙在想他的想法，乙當然也知道甲想到了他在想甲的想法…
　　面對如許重重迷霧，博弈論怎樣著手分析解決問題，怎樣對作為現實歸納的抽象數學問題求出最優解、從而為在理論上指導實踐提供可能性呢？現代博弈理論由匈牙利大數學家馮·諾伊曼于20世紀20年代開始創立，1944年他與經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩合作出版的巨著《博弈論與經濟行為》，標志著現代系統博弈理論的初步形成。對于非合作、純競爭型博弈，諾伊曼所解決的只有二人零和博弈–好比兩個人下棋、或是打乒乓球，一個人贏一著則另一個人必輸一著，凈獲利為零。在這里抽象化后的博弈問題是，已知參與者集合(兩方) ，策略集合(所有棋著) ，和盈利集合(贏子輸子) ，能否且如何找到一個理論上的“解” 或“平衡” ，也就是對參與雙方來說都最“合理” 、最優的具體策略？怎樣才是“合理” ？應用傳統決定論中的“最小最大” 準則，即博弈的每一方都假設對方的所有功略的根本目的是使自己最大程度地失利，并據此最優化自己的對策，諾伊曼從數學上證明，通過一定的線性運算，對于每一個二人零和博弈，都能夠找到一個“最小最大解” 。通過一定的線性運算，競爭雙方以概率分布的形式隨機使用某套最優策略中的各個步驟，就可以最終達到彼此盈利最大且相當。當然，其隱含的意義在于，這套最優策略并不依賴于對手在博弈中的操作。用通俗的話說，這個著名的最小最大定理所體現的基本“理性” 思想是“抱最好的希望，做最壞的打算” 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈论概要的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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