流體力學：如何構建pde，cfd：如何求解pde，cfd可看作流體力學的一個分支。
兩個期刊：Journal of Fluid Mechanics、Journal of Computational Physics。
學生光會操作商業軟件是不行的。

描述流體運動的兩種方法

拉格朗日法、歐拉法
研究風速，在固定點安裝風速儀，在氣球上安裝風速儀。
研究某一固定點經過的所有質點，研究某一質點，這都可以研究流體。
前者是歐拉法，后者是拉個格朗日法。

質點導數

質點導數：質點的物理量Φ對于時間的變化率
拉格朗日法質點導數：
歐拉法質點導數：

全導數只是針對歐拉法定義的，在拉格朗日法中，某一質點物理量變化率就是，在歐拉法中，某一質點物理量變化率為全導數

也稱：
advective derivative?平流導數
convective derivative?對流導數
derivative following the motion 隨體導數
hydrodynamic derivative?流體動力導數
lagrangian derivative?拉格朗日導數
particle derivative 質點導數
substantial derivative?實質導數
substantive derivative?實質導數
Stokes derivative?斯托克斯導數
total derivative?全導數

任何宏觀張量場y=y(x,t)其物質導數為
標量場與矢量場

NS方程組

1為連續性方程，2為動量方程

為0階張量—標量，U為1階張量—向量
UU為2階張量—矩陣，
為1階張量—向量
為二階張量—矩陣
為0階張量—標量
所以兩個方程寫成分量形式為六個方程。

從有限控制體推導的方程為積分形式，分為空間位置固定的有限控制體、隨流線運動的有限控制體。若采用空間位置固定的控制體，方程為守恒型方程。若采用隨流線運動的控制體，方程為非守恒型。
從無窮小微團推導出來的方程為微分形式，分為空間位置固定的無窮小微團、隨流線運動的無窮小微團。
積分形式的方程和微分形式的方程有重要的區別。積分形式的方程可在控制體內出現間斷。因為數學上并沒有要求被積分的函數不能出現間斷。但微分形式的方程要求函數是連續的，否則不可導。

強度量、廣延量

intensive quantity、extensive quantity

強度量：與物質的數量無關的量
廣度量：與物質的數量有關的量

全導數

全導數 = 局部導數 + 對流導數

根據守恒列方程

連續性方程——質量守恒定律
動量方程——牛頓第二定律
能量方程——能量守恒定律

張量積

也稱外積

Nabla算子

為梯度。矢量函數F，為二階張量，標量函數F，為一階張量。
矢量函數F，為散度，為旋度。

連續性方程

歐拉法

微分形式的連續性方程

積分形式的連續性方程

拉格朗日法

通量、散度

通量 flux：
熱學與流體力學中單位時間內通過單位面積的具有方向的流量（向量）
電磁學中單位面積上垂直于其表面的磁場或電場的強度（標量）

體積通量：速度矢量與面矢量的內積
?

速度散度：單位體積流動著的控制體體積隨時間的變化率

散度divergence

動量方程

表面力：作用在流體微團面上，壓力、表面張力
體積力：作用在流體微團面上與體內，重力、慣性力

應力、壓強

應力：物體（表面與內部）單位面積承受的力，正應力與剪應力
壓強：物體表面單位面積法向分量的力，壓強為正應力
正應力使得物體壓縮或膨脹；剪應力使得物體變形，剪應力與形變速率成正比，流體受剪應力主要表現為流體粘性。

非守恒

守恒

連續性方程+非守恒動量方程 推出 守恒動量方程

本構關系

本構關系：剪應力與形變速率的關系（固體力學：應力與應變的關系）
形變率、剪應力是二階張量

剪應力——形變率——速度

不可壓縮流體

可壓縮流體

將本構關系帶入動量方程，此時動量方程才是封閉的
不可壓縮流體
?也可寫作（第二種形式只針對不可壓縮流體）
可壓縮流體

湍流

1877年——1955年
Reynolds：時間平均
Boussinesq：渦粘
Prandtl：邊界層；用混合長湍流模型（零方程湍流模型）計算湍流粘度；考慮湍流動能，一方程湍流模型
Kolmogorov：考慮了湍流動能k與能量耗散w，關于k與w的PDE，兩方程湍流模型
Rotta：二階矩湍流模型（雷諾應力傳輸模型）

目前湍流的數值研究方法主要有：DNS、LES、RANS

湍流模型：Spalart-Allmaras湍流，K-ω湍流，k-ε湍流和SST模型

DNS

Kolmogoroff尺度
主要是有限差分法、譜方法

術語：
網格尺度
粘性尺度
一階迎風格式
無反射邊界條件
無滑移邊界條件

LES

湍流中的大渦往往比小渦更具有能量
濾波速度filtering velocity
濾波尺度?
大渦模擬認為，尺度大于?就是大渦，尺度小于?就是小渦
模化
亞格子應力Subgrid-Scale Stress
Bousinessq方法
Smagorinsky湍流模型

RANS

穩態的雷諾平均通常采用時間平均法，非穩態的雷諾平均通常采用集合平均法。
Boussinesq 假定將未封閉的湍流應力與湍流粘度聯合起來，這樣，就把未知量轉化為了湍流粘度變
量

Spalart-Allmaras 模型以及 SST 模型

RSM

雷諾應力模型

DES

分離渦模型

二維模擬

目前學術界普遍的看法是：“無三維渦，則無湍流”。“只有在三維的情況下，流體自身的渦旋才能伸展。”但是大量的文獻依舊通過二維大渦模擬、甚至二維直接模擬進行相關研究。

結構網格、非結構網格

結構網格思想更偏向于有限差分。有限體積法則不限定于任何網格類型，更適用于非結構網格。
網格節點序號、網格節點與面相連序號

非結構網格通量計算

非結構網格TVD格式范例

動理學方程

N-S 方程并不是描述流動的最底層的形式。更為底層的數學模型為玻爾茲曼方程。。其在不同的領域有不同的稱呼。例如在群體平衡模型研究領域，被稱之為普適性群體平衡模型，在空氣動力學領域被稱之為動理學方程，在噴霧燃燒領域被稱之為威廉玻爾茲曼方程。

玻爾茲曼方程

f 氣體分子速度分布函數
U 氣體分子速度
A 受力引起的氣體分子加速度
C 碰撞項

麥克斯韋分布

高斯分布

麥克斯韋分布為高斯分布的各向同性形式

矩方程、五矩模型、十矩模型

守恒與非守恒、守恒變量與原始變量

非牛頓流體

牛頓流體：流體的粘度為常數（剪切應力和形變率的比值為定值）
非牛頓流體：流體的粘度與時間和位置有關

參考

https://www.zhihu.com/question/26992291/answer/1448275421
https://zhuanlan.zhihu.com/p/146396629
https://wuli.wiki/online/fluid2.html
無痛苦N-S方程筆記

continuum mechanics連續介質力學
derivative導數
differentiation偏微
covariant derivative共變導數

never say never，嘿嘿嘿。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的N—S方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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