人類究竟需要什么樣的微積分原理

更新時間：2019-11-25??文章來源：河南科技報

■作者：丁小平?? 單位：北京二十一世紀藥理科學研究院

微積分體系建立幾百年以來，在方法應用上取得了巨大的成就，然而現行微積分原理卻存在諸多不完善、不正確的地方。這不僅在于：第一，現行微積分原理在結構上不能自圓其說；第二，細微之問題甚多；第三，這個微積分原理邏輯錯誤也多。而且，還在于這個微積分原理幾乎沒有起到原理的作用。因而，糾正現行微積分原理的錯誤，建立新的數-形模型，重建滿足數學發展要求的新微積分原理，是數學發展不可跨越的一步。

這個主張目前還不能得到大多主流數學工作者的重視，其根本原因可以說是當下的主流數學家幾乎都是專家（或淵家），擅長于具體問題的研究；而嚴重缺乏博家，進而缺少從戰略上把握數學前進方向的人。數學進入二十世紀下半葉以來，由于各方面原因，主流數學界幾乎沒有博家了，數學工作者的隊伍出現了失衡，這是需要改變的現象。我們這個時代豈止是沒有笛卡爾(R.Descrates,1592- -1650)、牛頓(I.Newton,1642- -1727)和萊布尼茲(G.Leibniz,1646- 1716)這樣的大師， 也沒有像克萊因(F.Klein,1849-1925)、龐加萊(H.Poicare,1854- 1912)這樣的淵博家，就連外爾(H.Weyl,1885- 1955)這樣的小淵博家都沒有了，當然，也沒有像高斯(Gauss,1777-1855)這樣的大淵家。

維納(N.Wiener，1894- - 1964)在他1948年出版的《控制論》書中指出：“在上一世紀，也許沒有萊布尼茲這樣的人，但還有一個高斯、一個法拉第、一個達爾文。今天沒有幾個學者不加任何限制而自稱為數學家，或者物理學家，或者生物學家。一個人可以是一個拓撲學家，或者一個聲學家，或者一個甲蟲學家。他滿嘴是他那個領域的行話，知道那個領域的全部文獻、那個領域的全部分支，但是，他往往會把鄰近的科學問題看作與己無關的事情，而且認為如果自己對這種問題發生任何興趣，那是不能允許的侵犯人家地盤的行為。”試想，如果一個人把自己大腦的珍貴貯存空間只用于存放“那個領域的全部文獻”，如果一個人動輒就是“侵犯人家地盤的行為”，那么，他怎么能成為一個學識淵博的人?他所處時代的萊布尼茲又怎么能誕生？科學發展的歷史一再向人類昭示：沒有學問淵博的大師，一門科學的發展就必然會因失去總體戰略而雜亂無章，從而進入半停滯狀態。我們必須糾正自然科學發展的這種狀態，至少要糾正數學發展的這種狀態。

恩格斯指出：“在一切理論進步中，同17世紀下半葉發明微積分比較起來，未必再有別的東西會被看作人類精神如此崇高的勝利。”馮·諾依曼也指出：“微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。”可以說，如果沒有這放之四海而皆準的龐大的微積分方法體系，就沒有現代數學，從而也就沒有現代科學。可是，時至今日人類也沒能真正搞清楚，為什么這個龐大的微積分方法體系放之四海而皆準。又何況，正如馬克思在《數學手稿》中所說，微積分方法是“通過肯定不正確的數學途徑得出的正確的結果。”人類應該弄清這里的機理，從而優化已有微積分方法，并揭示更多微積分方法，這個機理就是所謂的微積分原理。遺憾的是，這個問題已經從十八世紀推到今天。又何況，不揭示這個機理，人類往下要制定科學的數學科學發展戰略也無從談起。

可是，時至今日仍有不少數學工作者還沒意識到要區分微積分方法與微積分原理，沒有認識到這兩者根本不是一碼事。甚至還有人認為微積分原理就是用來證明微積分方法是有用的，好像實踐并沒有證明過微積分方法是行之有效的。還有的數學家認為，即使現行微積分原理中的微分部分是錯誤的也沒關系，只要舍棄這部分就可以了，因為沒有微分這個原理照樣正確。我們權且不對這個退化了的微積分原理做微觀的批評，事實上，即使僅從宏觀把握，這個微積分原理也是不滿足要求的。

下面，讓我們從構造一個不用極限的新微積分原理說起：

圖1：一個不用極限的新微積分原理

試想，現行微積分原理一旦刪掉微分便會與上述新微積分原理處于同一水平。其原理性又還有多少？它們連同現行實變函數理論能夠科學地解釋微積分方法之所以行之有效的機理嗎？它們優化過哪個微積分方法嗎？它們又何曾揭示過新的微積分方法？這個光開花不結果的微積分原理的意義何在？當然，我們不否認它在建立微積分原理的研究領域的示范意義。

筆者可以把虛位移原理改作虛功率原理，也可以不用變分而改用導數構造第二類拉格朗日方程，甚至還可以勉強不經分離變量（即直接用導數）去解微分方程，可是，這不能成為這種退化了的微積分原理可以滿足光怪陸離的微積分方法體系的要求的理由。事實上，盡管1821年和1823年柯西的《分析教程》和《無限小計算教程概論》的出版標志著現行微積分原理的建立，可是，二百多年來人類科學的發展依靠的還是以萊布尼茲為代表的微積分，而不是以牛頓為代表的微積分，當年英國人抱著牛頓的門戶之見搞數學，并導致英格蘭島在數學上遠落后于歐洲大陸的歷史事實就是證明。相反，這二百多年中歐拉(Euler,1707- -1783)、拉格朗日(Lagrange,1736- -1813)、拉普拉斯(Laplace,1749- -1827)、勒讓德(Legendre,1752- 1833)、傅里葉(Fourier,1768- 1830)、高斯(Gauss,77-1855)、泊松(Poisson,1781 -1840)、哈密頓( Hamilton,1805- 1865)和劉維爾(Liouville,1809- 1822)等眾多雙料大科學家都不接受柯西(Cauchy,1789 -1857)的微積分原理，反倒沿用萊布尼茲微積分原理。可以這么說，沒有哪項科學成就是現行微積分原理的產物，因為現行微積分原理從來就沒有自圓其說過。相反，倒是那個說不清微分是什么的萊布尼茲微積分原理的產物。注意，萊布尼茲的微分是“說不清”，而柯西的微分是“不正確”，這是性質不同的兩碼事。一句話，說不清的東西仍然可能是正確的，而不正確的東西是不會正確的。

十八世紀初到十九世紀末是數學與自然科學交織在一起的突飛勐進的發展時期，以歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、高斯、泊松、哈密頓等為代表的科學家，幾乎都是精通數學、一般力學、固體力學、流體力學、天體力學、熱力學、物理學等的通才，而他們又幾乎都是拒斥柯西微積分原理的。正是這個原因，這些門自然科學中所使用的微積分方法普遍沿用萊布尼茲的“無窮小量”、“微分”、“導數(微商)”和約翰·伯努利( J.Bernoulin ,1667- -1748)的“變分”等工具。不僅如此，即使時至今日，這些東西還都在繼續沿用著。這個鐵的事實要求微積分原理對這些微積分方法行之有效的機理做以說明，而不是通過削足適履的手段閹割這鐵一般的事實，更不是通過涂抹掉無窮小、微分及變分廣泛使用的科學歷史來為一個不稱職的微積分原理的存在創造條件。我們的歷史使命是重建滿足客觀需求的微積分原理，這是因為沿用至今的至少在微分部分存在根本性錯誤的柯西微積分原理，是不能解釋如此豐富的微積分方法何以行之有效的。

牛頓的微積分原理的缺點在于自相矛盾；萊布尼茲的微積分原理的缺點在于微分的本質一時說不清楚。這一事實既是柯西重建微積分原理的理由，也是柯西重建微積分原理的素材。可惜的是，由于他對萊布尼茲的微積分原理的理解極為有限，他只能利用沃利斯以來的極限思想對牛頓的“流數”和“反流數”加以說明，從而形成了一個牛頓模式又在無奈時拼湊了萊布尼茲的微分的微積分原理。在這個原理中，首先，極限的意義主要在于含沙射影地給出導數和定積分的定義，同時也用來求導數，而不是直接給出反映其機理的表達式；其次，拼湊了微分并解釋導數就是微商，但是對微積分的定義明顯存在問題；再次，定義導數抑或微分與不定積分是互逆關系，而不是論證為什么它們之間是互逆關系；又次，把本來是同一數學結構的不定積分與定積分誤定為兩個數學結構，定積分是一個和式的極限，它與不定積分的關系僅在于借助于不定積分進行計算。由此可見，這樣的微積分原理，即使不要求它在細枝末節上而僅僅要求它在最基本的問題上闡釋微積分方法的機理也沒做到。從根本上說，人類需要的是知微積分方法行之有效所以然的微積分原理，而不是知微積分方法行之有效然的微積分原理。現行微積分原理就是知其然而不是知其所以然的微積分原理。

基本夠格的微積分原理，首先要說清楚微分的本質，當然，變分的本質也就一道說清楚了；其次要給出作為瞬時變化率的導數的瞬時比形式，這才說清了導數的本質；再次要闡釋清楚為什么微分與積分是互逆過程，而不是只肯定微分與積分是互逆過程，當然，同時還要說明不定積分與定積分是一回事，只不過一個積分限任意，一個積分限確定罷了。其實，萊布尼茲的微積分原理的思想脈絡就是這樣的，只不過是由于時代所限微分的概念說不太清楚，致使其它部分也講得不細致。但是，萊布尼茲的整體思路是正確的，羅賓遜(A.Robinson,1918- -1974)用它的《非標準分析》證明：“Leibniz的思想能夠全面維護”；同時還提醒人們三思：“有一個鮮明的對照：對Leibniz及其追隨者，給以嚴格的待遇，而對極限學說的發起者的錯誤卻予以諒解。”哥德爾(G?del,1906- -1978)也同樣支持羅賓遜的結論，他說：“以這種或那種形式表示的非標準分析,將成為未來的分析學。”（當然，）順便需提醒的是，我們這個時代的主流數學工作者，由于一些原因，往往自覺或者不自覺地忽視哲學、數學史等知識，致使自己的歷史還原能力偏弱，因此，在不自覺中夸大了萊布尼茲的微分的不足。當知，萊布尼茲時代還沒有實數理論，也沒有函數概念及其理論。另一方面，歷史就是一面鏡子，漠視這面鏡子是不明智的。如果具備了豐厚的哲學功底，尤其是科學哲學（在中國表現為自然辯證法，當然，是要總結科學方法而不是單純講科學史的)功底，再認真研究數學史，尤其是微積分史(不可忽視極限史，當然，現有的數學史書籍大多缺少這部分），就不難發現牛頓、萊布尼茲為什么不能徹底建立微積分原理，也不難發現為什么柯西在重建微積分原理中會出現這些錯亂之處，還能知道建立正確的微積分原理要走怎樣的路徑，甚至還可以想象為什么黎曼明知柯西微積分模式有問題而不說……

說到這里，人類需要什么樣的微積分原理應該清楚了，那就是這個微積分原理，不僅要講明如此這般豐富的微積分方法行之有效的基本機理，而且，還要闡釋393年以來與自然科學交織在一起的微積分方法的細枝末節的正確以及不足的原因。那種說不清甚至還要求剔除微分及變分的微積分原理肯定不夠格。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的丁小平：人类究竟需要什么样的微积分原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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