什么是同態濾波
同態濾波（Homomorphic filter）是信號與圖像處理中的一種常用技術，它采用了一種線性濾波在不同域中的非線性映射。

首先介紹兩個概念
同態系統：是將非線性問題，轉化為線性問題處理。即對非線性（乘性）混雜信號，通過某種數學運算（如對數變換），變成加性模型，而后采用線性濾波方法進行處理。
同態濾波：是把頻率濾波和空域灰度變換結合起來的一種圖像處理方法，它根據圖像的照度/反射率模型作為頻域處理的基礎，利用壓縮亮度范圍和增強對比度來改善圖像的質量。

同態濾波的原理
一幅圖像可看成由兩部分組成，即
fi代表隨空間位置不同的光強（Illumination）分量，其特點是緩慢變化，集中在圖像的低頻部分。
fr代表景物反射到人眼的反射（Reflectance）分量，其特點包含了景物各種信息，高頻成分豐富。
同態濾波過程，分為以下5個基本步驟：
① 原圖做對數變換，得到如下兩個加性分量，即
② 對數圖像做傅里葉變換，得到其對應的頻域表示為：
③ 設計一個頻域濾波器H(u,v)，進行對數圖像的頻域濾波。
④ 傅里葉反變換，返回空域對數圖像。
⑤ 取指數，得空域濾波結果。
綜上，同態濾波的基本步驟如下圖所示。

首先上面的分析一共有三點需要注意：
① 取對數，目的是基于我們假定的圖像模型將低頻和高頻信號進行分離
② 然后頻域處理，即減弱低頻增強高頻達到增強細節的作用
③ 反操作得到處理后圖像
可以看出，同態濾波的關鍵在于濾波器H的設計。對于一幅光照不均勻的圖像，同態濾波可同時實現亮度調整和對比度提升，從而改善圖像質量。為了壓制低頻的亮度分量，增強高頻的反射分量，濾波器H應是一個高通濾波器，但又不能完全cut off 低頻分量，僅作適當壓制。
因此，同態濾波器一般采用如下形式，即

其中，rL< 1, rH >1，控制濾波器幅度的范圍。Hhp通常為高通濾波器，如高斯（Gaussian）高通濾波器、巴特沃茲(Butterworth)高通濾波器、Laplacian濾波器等。
如果Hhp采用Gaussian高通濾波器，則有：
其中，D0為gaussian濾波器的截止頻域，c為一個常數，控制濾波器的形態，即從低頻到高頻過渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡帶越陡峭，見圖2。
其中我們需要關注的參數一共有4個，分別為：
① rh 高頻權重
②rl 低頻權重
③ c 高斯函數的陡峭程度(并不是很重要)
④d0 手動區分低頻和高頻的比例
圖2 同態濾波器幅頻曲線

同態濾波作用
同態濾波利用去除乘性噪聲(multiplicative noise)，可以同時增加對比度以及標準化亮度，借此達到圖像增強的目的。
一副圖像可以表示為其照度(illumination)分量和反射(reflectance)分量的乘積，雖然在時域上這兩者是不可分離的，但是經由傅立葉轉換兩者在頻域中可以線性分離。由于照度可視為環境中的照明，相對變化很小，可以看作是圖像的低頻成分；而反射率相對變化較大，則可視為高頻成分。通過分別處理照度和反射率對像元灰度值的影響，通常是借由高通濾波器(high-pass filter)，讓圖像的照明更加均勻，達到增強陰影區細節特征的目的。

代碼實現