平面方程(Plane Equation)

原文鏈接：http://www.songho.ca/math/plane/plane.html 翻譯：羅朝輝 (http://www.cnblogs.com/kesalin/) 本文遵循“署名-非商業用途-保持一致”創作公用協議 平面方程

平面上的一點以及垂直于該平面的法線唯一定義了 3D 空間的一個平面。

(圖一) 3D 空間的平面

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在圖一中，給定法線向量? ，以及平面上的一點 P_1，對于平面上的任意一點 P ，我們可以在平面上定義一個由 P₁?指向 P 的向量：

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因為法線??垂直于平面，它必定也垂直于位于平面上的向量?，因此它們的點積為 0 ：

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以上就是平面方程的向量形式，下面我們來看代數形式的，通過點積計算，我們得到：

?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?

?? ? ?如果我們用??來替代上面表達式中的常數部分，就得到平面方程的代數形式：

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原點到平面的距離

如果法線是歸一化的，那么平面方程中的常數表達式 d 就是原點到平面的距離。

（圖二）平面和歸一化法線

如圖二中，給定歸一化法線向量 (a₁, b₁, c₁)，以及平面上的一點 P₁?(Da₁, Db₁, Dc₁)，我們來推導原點到平面的距離?D。 將法線向量(a₁, b₁, c₁) 和點 P1 代入平面方程，得到：

?? ???? ???? ? ??

因此，我們可以用標準平面方程除以法線的模（法線長度）來計算原點到平面的距離。舉個例子，原點到以?(1, 2, 2) 為法線的平面（x + 2y + 2z - 6 = 0）的距離為 2，計算過程如下：

?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??

任意點到平面的距離

(圖三) 任意點到平面的距離

如圖三中，我們來推導空間中任意一點 P2 到平面的距離 D 的計算公式。P2 到平面的距離等于由 P1 指向 P2 的向量??在法線向量??上的投影。我們用點積來計算投影距離 D ：

?? ? ??? ? ?

展開分子??：

?

代入前面的距離公式，得到最終的點到平面的距離公式：

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觀察上面的式子，我們就可以發現距離 D 是將點 P2 代入平面方程中，再除以法線的模得到的。舉個例子，點(-1, -2, -3)到平面?x + 2y + 2z - 6 = 0?的距離為：

?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?

注意：距離是有符號的！它可以為負值，我們可以通過這個符號來決定點位于平面的哪一邊(D > 0，點在平面的正面-法線指向那一邊；D < 0，帶在平面的反面-法線相反方向的那一邊，當然 D = 0 就是在平面上啦！)。

轉載于:https://www.cnblogs.com/kesalin/archive/2009/09/09/plane_equation.html

總結

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