自適應控制——仿真實驗一 用李雅普諾夫穩定性理論設計自適應規律

• 一、問題描述
• 二、問題建模
• 三、問題求解
• 附錄：實現MATLAB代碼
• 參考書目

一、問題描述

設控制對象的狀態方程為
$${\dot{\mathbf{x}}}_p={\mathbf{A}}_p(t)x_p+{\mathbf{b}}_p(t)u\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中
$${\mathbf{A}}_p=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?6& ?7\end{array}\right],{\mathbf{b}}_p=\left[\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
參考模型的狀態方程為
$${\dot{\mathbf{x}}}_m={\mathbf{A}}_m{x}_m+{\mathbf{b}}_{m}r\text{\hspace{1em}(3)}$$
式中
$${\mathbf{A}}_m=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?10& ?5\end{array}\right],{\mathbf{b}}_m=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
用李雅普諾夫穩定性理論設計自適應規律。

二、問題建模

由于控制對象的參數（狀態矩陣 ${\mathbf{A}}_p$ 和控制矩陣 ${\mathbf{b}}_p$ ）一般是未知的，且無法直接調整。所以為改變控制對象的動態特性，需采用前饋控制加反饋控制。

控制信號 $u$ 由前饋信號 $Kr$ 和反饋信號 $F{x}_p$ 組成，即
$$u=Kr+F{\mathbf{x}}_p\text{\hspace{1em}(5)}$$
式中，$r$ 為 $m$ 維輸入向量，${\mathbf{x}}_p$ 為 $n$ 維狀態向量，$K$ 為 $m\times m$ 前饋增益矩陣，$F$ 為 $m\times n$ 反饋增益矩陣；具體在本次仿真實驗中，輸入向量維度 $m=1$，狀態向量維度 $n=2$。

將(5)式代入控制對象的狀態方程，可得
$${\dot{\mathbf{x}}}_p=\left[{\mathbf{A}}_p(t)+{\mathbf{b}}_p(t)F\right]{\mathbf{x}}_p+{\mathbf{b}}_p(t)Kr\text{\hspace{1em}(6)}$$
設系統的廣義狀態誤差向量為
$$\mathbf{e}={\mathbf{x}}_m?{\mathbf{x}}_p\text{\hspace{1em}(7)}$$
由參考模型的狀態方程，結合(6)式及(7)式，可得：
$$\dot{\mathbf{e}}={\mathbf{A}}_m\mathbf{e}+\left({\mathbf{A}}_m?{\mathbf{A}}_p?{\mathbf{b}}_{p}F\right){\mathbf{x}}_p+\left({\mathbf{b}}_m?{\mathbf{b}}_{p}K\right)r\text{\hspace{1em}(8)}$$
在理想情況，即 $e\to 0$ 的情況下，(8)式等號右端后兩項應等于0。設前饋增益矩陣 $K$ 和反饋增益矩陣 $F$ 的理想值分別為 $\bar{K}$ 和 $\bar{F}$。

則最終可將(8)式寫成
$$\dot{\mathbf{e}}={\mathbf{A}}_m\mathbf{e}+{\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\Phi {\mathbf{x}}_p+{\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\Psi r\text{\hspace{1em}(9)}$$
式中，$\Phi =\bar{F}?F$ 為 $m\times n$ 矩陣，$\Psi =\bar{K}?K$ 為 $m\times m$ 矩陣。

選取李雅普諾夫函數為：
$$V=\frac{1}{2}\left[{\mathbf{e}}^T\mathbf{P}\mathbf{e}+\mathrm{tr}\left({\Phi }^T{\Gamma }_1^{?1}\Phi +{\Psi }^T{\Gamma }_2^{?1}\Psi \right)\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
式中，$\mathbf{P}$ 為 $n\times n$ 維正定對稱陣，${\Gamma }_1$ 和 ${\Gamma }_2$ 均為 $m\times m$ 維正定對稱陣；符號 $\mathrm{tr}$ 表示矩陣的跡。

求(10)式對時間的導數，得
$$\dot{V}=\frac{1}{2}\left[\dot{\mathbf{e}}\mathbf{P}\mathbf{e}+{\mathbf{e}}^T\mathbf{P}\dot{\mathbf{e}}+\mathrm{tr}\left({\dot{\Phi }}^T{\Gamma }_1^{?1}\Phi +{\Phi }^T{\Gamma }_1^{?1}\dot{\Phi }+{\dot{\Psi }}^T{\Gamma }_2^{?1}\Psi +{\Psi }^T{\Gamma }_2^{?1}\dot{\Psi }\right)\right]\text{\hspace{1em}(11)}$$
將(9)式代入(11)式，再根據矩陣跡的性質，于是有
$$\begin{array}{rl}\dot{V}=& \frac{1}{2}{\mathbf{e}}^T\left(\mathbf{P}{\mathbf{A}}_m+{\mathbf{A}}_m^{\mathbf{T}}\mathbf{P}\right)\mathbf{e}+\mathrm{tr}\left({\dot{\Phi }}^T{\Gamma }_1^{?1}\Phi +{\mathbf{x}}_p{\mathbf{e}}^T\mathbf{P}{\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\Phi \right)\\ & +\mathrm{tr}\left({\dot{\Psi }}^T{\Gamma }_2^{?1}\Psi +r{\mathbf{e}}^T\mathbf{P}{\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\Psi \right)\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
為滿足李雅普諾夫第二法，需保證(12)式是負定的，對應的情況為(12)式第一項是負定的，后兩項都為零。

因為 ${\mathbf{A}}_m$ 為穩定矩陣，則可選定正定對稱陣 $Q$，使 $\mathbf{P}{\mathbf{A}}_m+{\mathbf{A}}_m^{\mathbf{T}}\mathbf{P}=?\mathbf{Q}$ 成立。同時根據上述對應情況，$\Phi$ 和 $\Psi$ 的選擇如下：
$$\begin{array}{rl}\dot{\Phi }& =?{\Gamma }_1{\left({\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\right)}^T\mathbf{P}\mathbf{e}{\mathbf{x}}_p^T\\ \dot{\Psi }& =?{\Gamma }_2{\left({\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\right)}^T\mathbf{P}\mathbf{e}{r}^T\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
當 ${\mathbf{A}}_p$ 和 ${\mathbf{b}}_p$ 為常值或緩慢變化時，可得自適應調節規律：
$$\begin{array}{rl}F(t)& ={\int }_0^t{\Gamma }_1{\left({\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\right)}^T\mathbf{Pe}{\mathbf{x}}_p^{T}d\tau +F(0)\\ K(t)& ={\int }_0^t{\Gamma }_2{\left({\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}\right)}^T\mathbf{Pe}rd\tau +K(0)\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
需額外說明的一點是，按上述步驟推導得到的自適應調節規律要求 ${\mathbf{x}}_p$ 與 $r$ 線性獨立。兩者獨立的條件是 $r(t)$ 為具有一定頻率的方波信號或為 $q$ 個不同頻率的正弦信號組成的分段連續信號，其中 $q>n/2$ 或 $q>(n?1)/2$。

三、問題求解

由上述推導可知，為采取李雅普諾夫穩定性理論設計該MRACS，需引入前饋增益矩陣 $K$ 和反饋增益矩陣 $F$，設計的目標是確定 $K$ 和 $F$ 的系數。

在引入兩個增益矩陣進行自適應控制后，可調系統的狀態方程變為：
$${\dot{\mathbf{x}}}_p=\left[{\mathbf{A}}_p(t)+{\mathbf{b}}_p(t)F\right]{\mathbf{x}}_p+{\mathbf{b}}_p(t)Kr\text{\hspace{1em}(15)}$$
由之前的推導可知，(14)式中的 ${\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}$ 與 ${\mathbf{b}}_p$ 的關系如下：
$${\mathbf{b}}_m{\bar{K}}^{?1}={\mathbf{b}}_p=\left[\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(16)}$$
選取(14)式中的部分自適應參數如下：
$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right],{\Gamma }_1={\Gamma }_2=1\text{\hspace{1em}(17)}$$
所以可得最終的自適應規律：
$$\begin{array}{rl}F(t)& ={\int }_0^t\left[\begin{array}{ll}2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\mathbf{e}{\mathbf{x}}_p^{T}d\tau +F(0)\\ K(t)& ={\int }_0^t\left[\begin{array}{ll}2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\mathbf{erd}\tau +K(0)\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
下將上述連續自適應規律進行離散化，用于實際的數值仿真實驗。設數值積分步長為 $h$，則各時刻的參考模型狀態向量及控制對象狀態向量如下：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_m(k+1)& ={\mathbf{x}}_m(k)+h\left[{\mathbf{A}}_m(k){\mathbf{x}}_m(k)+{\mathbf{B}}_m(k)r(k)\right]\\ {\mathbf{x}}_p(k+1)& ={\mathbf{x}}_p(k)+h\left[{\mathbf{A}}_p(k){\mathbf{x}}_p(k)+{\mathbf{B}}_p(k)u(k)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$
由于上述推導得到的自適應控制規律要求 ${\mathbf{x}}_p$ 與 $r$ 線性獨立，即要求 $r(t)$ 為具有一定頻率的方波信號或為 $q$ 個不同頻率的正弦信號組成的分段連續信號，其中$q>n/2$ 或 $q>(n?1)/2$。在本次實驗中，$n=2$，對應就要求 $q>1$，所以本次實驗中選取由3個不同頻率的正弦信號組成的分段連續信號，具體的輸入信號的形式如下：
$$r(k)=\sin (0.01\pi k)+4\sin (0.2\pi k)+\sin (\pi k)\text{\hspace{1em}(20)}$$
我們設計自適應規律時引入的控制信號 $u$ 的離散化形式如下：
$$u(k)=K(k)r(k)+F(k){\mathbf{x}}_p(k)\text{\hspace{1em}(21)}$$
最終，還需將自適應規律離散化：
$$\begin{array}{rl}F(k)& =h?\sum _{j=0}^k{\mathbf{b}}_p^T\mathbf{P}\mathbf{e}(k){\left({\mathbf{x}}_p(k)\right)}^T+F(0)\\ K(k)& =h?\sum _{j=0}^k{\mathbf{b}}_p^T\mathbf{P}\mathbf{e}(k)r(k)+K(0)\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$
在推導出全部的自適應規律并對相應規律進行離散化后，通過MATLAB進行了相關的仿真實驗。

可以得到2個維度的狀態向量的參考模型值與可調系統值的情況如下：

圖1.?狀態向量的參考模型值與可調系統值

可以看到，可調系統并沒有很好的跟蹤參考模型，這是由于在該例中不存在最優匹配。

附錄：實現MATLAB代碼

% 課本習題3.4-用李雅普諾夫穩定性理論設計自適應規律 clear, clc; close all;h=0.01;L=100/h; % 數值積分步長和仿真步數 % 可調系統的系數矩陣 Ap = [0 1;-6 -7]; Bp = [2; 4]; % 參考模型的系數矩陣 Am = [0 1;-10 -5]; Bm = [1; 2]; % n為行向量維數、m為列向量維數，Bp是n*m的矩陣 n = size(Bp, 1); m = size(Bp, 2);P = [3 1;1 1]; % 經計算得到的用于自適應規律的正定對稱矩陣% 設定所有參數的初始值 yr0 = zeros(m, 1); xp0 = zeros(n, 1); xm0 = zeros(n, 1); u0 = zeros(m, 1); e0 = zeros(n, 1); F0 = zeros(m, n); % 反饋增益矩陣初始值 K0 = zeros(m, m); % 前饋增益矩陣初始值% 初始分配參數空間 time = zeros(1, L); % 用于記錄仿真的時刻，對應繪圖的橫軸 yr = zeros(m, L); % 輸入信號(L個m維向量) xp = zeros(n, L); % 可調系統的狀態向量(L個n維向量) xm = zeros(n, L); % 參考模型的狀態向量(L個n維向量) u = zeros(m, L); % 控制信號(L個m維向量) e = zeros(n, L); % 系統的廣義狀態誤差向量(L個n維向量)for k = 1:Ltime(k) = k*h;% 輸入信號yr(k) = 1*sin(0.01*pi*time(k))+4*sin(0.2*pi*time(k))+sin(1*pi*time(k));xp(:,k) = xp0+h*(Ap*xp0+Bp*u0); % 計算xpxm(:,k) = xm0+h*(Am*xm0+Bm*yr0); % 計算xme(:,k) = xm(:,k)-xp(:,k); % e=xm-xp% 代入F和K的自適應控制規律F = F0+h*(Bp'*P*e0*xp0');K = K0+h*(Bp'*P*e0*yr0);% 控制信號u=K*r+F*xp（K是前饋增益矩陣，F是反饋增益矩陣）u(:,k) = K*yr(k)+F*xp(:,k);% 將本輪求解得到的參數賦值給參數初始值，方便下一輪迭代使用yr0 = yr(:,k);u0 = u(:,k);e0 = e(:,k);xp0 = xp(:,k);xm0 = xm(:,k);F0 = F;K0 = K; endsubplot(2,1,1); plot(time, xm(1,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.9); hold on plot(time, xp(1,:), 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1); xlabel('t'); ylabel('x_m_1(t)、x_p_1(t)'); legend('x_m_1(t)','x_p_1(t)'); hold off subplot(2,1,2); plot(time, xm(2,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.9) hold on plot(time, xp(2,:), 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1) xlabel('t'); ylabel('x_m_2(t)、x_p_2(t)'); legend('x_m_2(t)', 'x_p_2(t)'); hold off

參考書目

李言俊, 張科. 自適應控制理論及應用[M]. 西北工業大學出版社, 2005.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的自适应控制——仿真实验一 用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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