等面積投影的全稱是：正球在正軸的圓柱上進行等面積投影，下面簡稱等積圓柱投影。等積圓柱投影是4大圓柱投影之一，其特點是，通過等積投影出的地圖上，每個國家的面積不失真（但是形狀會失真），比如下面這個世界地圖：

從圖中可以感受到非洲有多大，南極洲有多小，而人間常用的等角圓柱投影（Mercator投影）中，非洲小的可憐，南極大到離譜，所以說，等積投影能正確的展示每個主權國家的戰略縱深，哈哈。這個投影很簡單，想象地球卡在一個等高的圓柱中，圓柱的高等于球的直徑，然后沿平行于赤道平面的方向投影，如下圖：

因此很容易得出，等積投影的世界地圖，寬高比是2πR : 2R =?π : 1，而非常見的正方形地圖（Mercator）。而地圖的面積等于2πR * 2R = 4πR2，地球的表面積公式也是4πR2，因此投影總面積與原始總面積相等，但這并不能證明每個國家的面積也與實際相符，下面我們要來證明，地球（將地球看作正球體）上任意一塊區域，等積投影后，面積不變。首先無論哪種圓柱投影，經線的投影都是均勻分布的，我們只要證明，在任意2段緯線之間的面積不變即可，再簡化，我們只要證明，從赤道到北緯?°之間的面積等于矩形地圖上，從水平中線到同等高度之間的面積，也就是S = 2πR?*?R *?Sin(?) =?2πR2Sin(?)。首先將北緯?微分成d?，也就是將0到?之間的表面水平分割為無窮個圓環，圓環的寬度為Rd?，當?趨于0，圓環趨向于圓柱，圓柱的周長是2πRCos(?)，因此小圓柱的面積微元是dS =?2πR2Cos(?)d?，最后從赤道0°到北緯?°來一個積分，得到2πR2Sin(?)，等于矩形地圖中的相應面積：

因此，任意2個緯度線之間的面積也不變，再考慮到經線分布的均勻性，任意的經緯度區域內的小矩形面積不變，而任何不規則圖形都可以由若干個這樣的小矩形組成，從而推廣到，任意的國家面積投影后不變。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的等面积圆柱投影的证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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