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编程问答

例题：索洛模型——弹性与收敛速度

發布時間：2023/12/20 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了例题：索洛模型——弹性与收敛速度小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

產出 $y^*$ 關于人口增長率 $n$ 的彈性。
首先，對 $y^*=f(k^*)$ 兩邊對 $n$ 求導數
$?y??n=f′(k?)?k??n\frac{\partial y^*}{\partial n}=f'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial n}$
為了求 $?k?/?n\partial k^*/\partial n$ ,我們將平衡增長路徑上的等式 $sf(k?)=(n+g+δ)k?sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*$ 兩邊對n求導
$sf′(k?)?k??n=(n+g+δ)?k??n+k?sf'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial n}=(n+g+\delta)\frac{\partial k^*}{\partial n}+k^*$
解得
$?k??n=k?sf′(k?)?(n+g+δ)\frac{\partial k^*}{\partial n}=\frac{k^*}{sf'(k^*)-(n+g+\delta)}$
那么
$?y??n=f′(k?)k?sf′(k?)?(n+g+δ)\frac{\partial y^*}{\partial n}=\frac{f'(k^*)k^*}{sf'(k^*)-(n+g+\delta)}$

彈性形式為
$ny??y??n=nf′(k?)k?/f(k?)sf′(k?)?(n+g+δ)\frac{n}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial n}=\frac{nf'(k^*)k^*/f(k^*)}{sf'(k^*)-(n+g+\delta)}$
在平衡增長路徑上 $s=(n+g+δ)k?/f′(k?)s=(n+g+\delta)k^*/f'(k^*)$ ,代入上式得
$ny??y??n=nn+g+δf′(k?)k?/f(k?)f′(k?)k?/f(k?)?1\frac{n}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial n}=\frac{n}{n+g+\delta}\frac{f'(k^*)k^*/f(k^*)}{f'(k^*)k^*/f(k^*)-1}$
令 $a_K(k^*)=f'(k^*)k^*/f(k^*)$ 上式可表示為
$ny??y??n=nn+g+δaK(k?)aK(k?)?1\frac{n}{y^*}\frac{\partial y^*}{\partial n}=\frac{n}{n+g+\delta}\frac{a_K(k^*)}{a_K(k^*)-1}$

如果 $ak(k?)=1/3,g=2%,δ=3%a_k(k^*)=1/3,g=2\%,\delta=3\%$ , $n$ 由2%下降至1%會使 $y^*$ 提高多少？
將各值代入，其中n取中值，解得約為-0.12。因此當n下降50%，則產出上升6%（50%*12%）。
消費的儲蓄彈性
對 $c^*=(1-s)y^*$ 兩邊對s求導
$?c??s=?y?+(1?s)?y??s\frac{\partial c^*}{\partial s}=-y^*+(1-s)\frac{\partial y^*}{\partial s}$
彈性形式為
$sc??c??s=?y?s(1?s)y?+(1?s)?y??ss(1?s)y?\frac{s}{c^*}\frac{\partial c^*}{\partial s}=\frac{-y^*s}{(1-s)y^*}+(1-s)\frac{\partial y^*}{\partial s}\frac{s}{(1-s)y^*}$
化簡得
$sc??c??s=?s1?s+?y??ssy?\frac{s}{c^*}\frac{\partial c^*}{\partial s}=\frac{-s}{1-s}+\frac{\partial y^*}{\partial s}\frac{s}{y^*}$
消費恢復到不存在投資增長時的水平需要多少時間？
$k˙=sf(k?)?(n+g+δ)k?\dot k=sf(k^*)-(n+g+\delta)k^*$ , 在平衡增長路徑上為0，在k=k^*處泰勒展開：
$k˙≈[?k˙?k?∣k=k?](k?k?)\dot k\approx[\frac{\partial \dot k}{\partial k^*}|_{k=k^*}](k-k^*)$

令 $λ=??k˙/?k?∣k=k?\lambda=-\partial \dot k/\partial k^*|_{k=k^*}$
$λ=??k˙?k?∣k=k?=?sf′(k?)+(n+g+δ)\lambda=-\frac{\partial \dot k}{\partial k^*}|_{k=k^*}=-sf'(k^*)+(n+g+\delta)$
其中 $s=(n+g+δ)k?/f(k?)s=(n+g+\delta)k^*/f(k^*)$ ,代入上式得
$λ=(n+g+δ)?(n+g+δ)k?f′(k?)/f(k?)=(n+g+δ)[1?ak(k?)]\lambda=(n+g+\delta)-(n+g+\delta)k^*f'(k^*)/f(k^*)\\=(n+g+\delta)[1-a_k(k^*)]$
因為 $c = (1 ? s) y$ ,因此消費也以穩定的速率向穩定點移動。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的例题：索洛模型——弹性与收敛速度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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