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编程问答

笔记：离散时间形式的索洛模型

發布時間：2023/12/20 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了笔记：离散时间形式的索洛模型小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

設 $Yt=F(k,AL),At+1=(1+g)At,Lt+1=(1+n)Lt,Kt+1=Kt+sYt?δKtY_t=F(k,AL),A_{t+1}=(1+g)A_t,L_{t+1}=(1+n)L_t,K_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_t$

求 $k_{t+1}$
首先
$Kt+1=Kt+sYt?δKtK_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_t$
兩邊除以 $A_{t+1}L_{t+1}$
$kt+1=Kt+1At+1Lt+1=(1?δ)kt+sf(kt)(1+g)(1+n)k_{t+1}=\frac{K_{t+1}}{A_{t+1}L_{t+1}}=\frac{(1-\delta)k_t+sf(k_t)}{(1+g)(1+n)}$
收斂性
$k_{t+1}$ 的表達式改寫為
$kt+1=1?δ(1+g)(1+n)kt+s(1+g)(1+n)f(kt)k_{t+1}=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k_t+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k_t)$
一階導
$?kt+1?kt=1?δ(1+n)(1+g)+s(1+g)(1+n)f′(kt)>0\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f'(k_t)>0$
二階導
$?2kt+1?kt2=s(1+n)(1+g)f′′(kt)<0\frac{\partial^2 k_{t+1}}{\partial k_t^2}=\frac{s}{(1+n)(1+g)}f''(k_t)<0$
驗證稻田條件

$lim?k→0?kt+1?kt=∞lim?k→∞=1?δ(1+n)(1+g)<1\lim \limits_{k\rightarrow 0}\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\infty\\ \lim_{k\rightarrow \infty}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}<1$
所以圖像為

所以任何大于0的資本存量都會收斂于 $k^*$ 。

單位有效勞動的消費表達式
單位有效勞動的消費為
$c^*=(1-s)f(k^*)$
現在求s。
在平衡增長路徑上 $k_{t+1}=k_t$ ,標記為 $k^*$ ,那么
$k?=1?δ(1+g)(1+n)k?+s(1+g)(1+n)f(k?)k?[(1+g)(1+n)?1+δ]=sf(k?)k?=sf(k?)g+n+ng+δk^*=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k^*+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k^*)\\\quad\\ k^*[(1+g)(1+n)-1+\delta]=sf(k^*)\\\quad\\k^*=\frac{sf(k^*)}{g+n+ng+\delta}$
進而
$s=k?(g+n+ng+δ)k?/f(k?)s=k^*(g+n+ng+\delta)k^*/f(k^*)$
代入消費的表達式
$c?=(1?s)f(k?)=[1?(g+n+ng+δ)k?f(k?)]f(k?)=f(k?)?(g+n+ng+δ)k?c^*=(1-s)f(k^*)=[1-\frac{(g+n+ng+\delta)k^*}{f(k^*)}]f(k^*)\\= f(k^*)-(g+n+ng+\delta)k^*$
最大化消費的資本的邊際產品
就是求使得 $c^*$ 最大的 $k^*$ ，所以 $c^*$ 對 $k^*$ 求導
$?c??k?=f′(k?)?(g+n+ng+δ)=0\frac{\partial c^*}{\partial k^*}=f'(k^*)-(g+n+ng+\delta)=0$
所以 $k_{GR}$ 由下式決定
$f′(kGR)=g+n+ng+δf'(k_{GR)}=g+n+ng+\delta$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的笔记：离散时间形式的索洛模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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