1.? 距離、向量空間、度量空間、線性度量空間

距離包括各個點之間的距離，向量之間的距離，曲線之間的距離，函數之間的距離等。

距離用于衡量同一空間不同元素之間的差異，下面是關于距離的屬性：

1)元素之間的距離大于等于0，若距離等于0則為相同元素。d(x,y)>=0? x=y時 d(x,y)=0

2)A到B的距離等于B到A的距離。d(x,y)=d(y,x)

3)滿足三角不等式。d(x,y)<=d(x,c)+d(c,y)

擁有距離的空間叫做度量空間。

線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律(兩個)共八點要求：

1)交換律? x+y=y+x

2)?? 結合律? (x+y)+z=x+(y+z)

3)?? 零元素?? x+0=x

4)?? 負元素 在空間中每一個元素x，都有元素y，使得x+y=0

5)?? 1x=x

6)?? k(lx)=(kl)x

7)?? (k+l)x=kx+lx

8)?? k(x+y)=kx+ky

從而形成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間，線性空間又叫向量空間。

度量空間+線性結構?線性度量空間

2. 范數、賦范空間、度量空間與賦范空間的關系

范數的概念，表示某點到空間零點的距離：

1. ||x|| ≥0;

2. ||ax||=|a|||x||;

3. ||x+y||≤||x||+||y||。

擁有范數的空間稱為賦范空間。賦范空間一定是度量空間。

賦范空間+線性結構?線性賦范空間

3. 內積、內積空間、歐幾里得空間

內積：

設K是實數域或復數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x，y，都對應著一個數(x，y)∈K，滿足條件：

1.(共軛對稱性)

2.(對第一變元的線性性)對任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).

3.(正定性)對一切x∈H，有(x，x)≥0且(x，x)=0?x=0

在范數的概念上加了角度限制條件。擁有內積的空間叫做內積空間。內積空間一定是賦范空間。

有限維內積空間是歐幾里得空間。歐幾里得空間是一個定義了內積的實數域上的向量空間。

4. 完備性、希爾伯特空間、巴拿赫空間

集合中的元素取極限不超出此空間稱其具有完備性。

例如：有理數組成的一個集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合極限為√2，而√2是無理數，不是有理數，即有理數不具備完備性。一個通俗的理解是把學校理解為一個空間，你從學校內的宿舍中開始一直往外走，當走不動停下來時(極限收斂)，發現已經走出學校了(超出空間)，不在學校范圍內了(不完備了)。

賦范空間+完備性?巴拿赫空間

內積空間(無限維)+完備性? 希爾伯特空間

換個角度來理解函數空間，如泰勒展開，是將f(x)表示為{

}的線性組合的形式；比如傅里葉展開，是將f(x)表示成無限三角函數線性組合的形式。而{

}或無限維的三角函數，也叫作一個函數空間的基。

5.拓撲空間

以上都是距離或者線性空間的基礎上逐漸增加條件，那如果嘗試減少條件呢？比如不要角度的概念，甚至不要距離的概念。比如“連續”的定義：對所有的

即為連續。或者寫成

。

換句話說，拓撲是元素X與其規則

合起來。所以，拓撲是弱化了的距離，能描述的范圍最廣泛。

總結

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