1 定義

依分布收斂的定義是這樣的：隨機變量序列$\{X_n{\}}_{n=1}^{\infty }$，若它們的累積分布函數cdf序列$\{F_n{\}}_{n=1}^{\infty }$，與某個隨機變量$X$的cdf $F$，滿足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=F(x)$$
在任意$F(x)$的連續點$x$處都成立。則稱它們依分布收斂到隨機變量$X$，記為$X_n\stackrel{D}{?}X$。

在這個定義中，有兩個極易忽視但又重要的點，一是必須要對應到某個隨機變量的cdf，而不是任意一個函數，二是只要求在$F(x)$的連續點處條件成立即可。

接下來，我們分析為何要如此定義。

2 極限函數必須是cdf

考慮$X_n～N(0,{\sigma }_n^2)$，${\sigma }_n\to +\infty$，我們有
$$F_n(x)=P(\frac{x_n}{{\sigma }_n}\le \frac{x}{{\sigma }_n})=\Phi (\frac{x}{{\sigma }_n})$$
在任一點$x$處，都有$\Phi (\frac{x}{{\sigma }_n})\to \Phi (0)=\frac{1}{2}$，因此，可設$F(x)=\frac{1}{2}$，就滿足定義中的極限條件。但此時，$F(x)$不是任何隨機變量的cdf，因為隨機變量的cdf需要滿足$\underset{x\to ?\infty }{\lim }F(x)=0$以及$\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$。

這一點如何修正？我們只需讓序列$\{X_n{\}}_{n=1}^{\infty }$是依概率有界即可。而在定義中，就要求cdf函數列的極限形式，一定要對應到某個隨機變量的cdf。

3 只考慮連續點

回憶cdf的另一個性質：右連續，即$F(x)=F(x+)$。但在依分布收斂的情形中，很可能會出現不滿足的情況，如$X_n=X+\frac{1}{n}$，易知
$$F_n(x)=P(X_n\le x)=P(X\le x?\frac{1}{n})=F(x?\frac{1}{n})$$

若$n\to \infty$，則$F_n(x)\to F(x?)$。若$F$在$x$處不滿足左連續，那么不能滿足$F_n(x)\to F(x)$，因此在定義中，需將$F$的不連續點排除。

舉個具體的例子，如$X_n～U_{(0,1/n)}$，則$X_n$在極限時的分布會退化為$X=1$，而$F_n(0)=0$恒成立，但$F(0)=1$，因此對于$x=0$無法滿足$F_n(x)\to F(x)$，但$x=0$是$F(x)$的不連續點，因此可以剔除。所以還是認為$X_n\stackrel{D}{?}X$。

總結

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