數列找規律公式

數列找規律用拉格朗日插值。拉格朗日“提出”了這種方法，所謂的插值，就是“插”“值”，就是指找出一個通過給出離散數據點的函數。即，數列中給出數據可以表示為在坐標系上的點，x坐標就是第幾項，y坐標就是該項的值。

比如說，“1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6”這個數列可以表示為：

在Mathematica中用幾行簡單的代碼即可做到：

接下來，我們找出這些點都在哪一個函數上面，接著下來把下一項的項數帶進去，就得到了下一項的值——這實際上就是通項公式！

事不宜遲，馬上來試一試！

首先，我們先來看看拉格朗日插值公式是怎么樣的：

好吧，我知道小學生又看不懂了。

那下面我們先試一一個簡單的數列：1、8、27…那下一個是什么呢？

首先，這表示存在一個函數。當自變量分別為1、2、3時函數值為1、8、27。于是我們可以設一個函數：

接下來就是關鍵的一步了！小學生可以不懂這是怎么回事。但有什么問題？考試會用就行了(如果你不介意再解釋一下一些其他的問題...比如未知數、自變量和分數的運算)。

容易看到，整個式子是三項的和，每一個點都有一項。對于每一個單獨的點來說，分子是這一點的函數值乘上x與其他點的自變量的差。而分母就是該店的自變量和其他點的自變量的差的積。

于是，一個通項公式就出來了。是

于是我們迫不及待地把x=4帶進去，得到58.

至此，大功告成。

等等，什么答案寫著是64？別管了，肯定是盜版書印錯答案了。有什么可能拉格朗日大牛會錯呢？

什么，我們的規律不對？正確的是y=x^3?好的，讓我看看。嗯…難道是拉格朗日錯了？但是前面我們的估算也是沒問題的啊。

再仔細看一下坑爹的高數課本，才發現原來是我們一直搞錯了。如果我們給的是n個點，那么拉格朗日給出的函數將會是(n-1)次的。

這不坑爹嗎…用公式之前還得想清楚這個函數是幾次的，而且如果是更高次數的還沒辦法加上點去求(更別說斐波那契數列這樣的用遞歸定義的數列了)。

這就意味著，就算是1、2、3、4、5、6…這樣的數列，拉格朗日插值法在耗盡你大量的考試時間去求出通項公式以后，還會給出一個超級坑爹的答案！

那么這個方法還有什么用！

別急，前面的計算都是為后面做鋪墊的。現在才是主要內容。

無論是分布得多么奇怪的點，拉格朗日插值法總能給出一條經過這些點的函數圖象。也就是說，就算是1、2、3、4、5、6、(1568)這樣明顯不靠譜的答案也是“有規律的”。因為你總可以設一個六次多項式，找出這個數列的通項公式。所以說：1、3、5、7、9、(1598)，是對的3、1、4、1、5、9、2、(999)，是對的1，1，2，3，5，7，(8989)，是對的2，4，6，8，(5)，是對的

如果老師斗膽把你的答案批錯的話，你大可以把這篇文章打印出來，然后跟老師說：“這個空填任何數都是可以的，因為你總可以設一個n次多項式，然后……”

總結

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