定義

又名擴展歐幾里得算法（輾轉相除法）

是用來求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 中未知數的算法

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算法證明

拿到一組 \(a,b\) ，設 \(G=gcd(a,b)\)

目標：求出滿足 \(ax+by=G（1）\) 的 \(x\) 與 \(y\)

如果 已知一組 \(x2,y2\) ，滿足 \(bx2+\) \((a\) \(mod\) \(b)y2=G（2）\)

此時結合 \((1)(2)\) 得
\(ax+by=\) \(bx2+\) \((a\) \(mod\) \(b)y2（3）\)

那么當 如果 滿足時，目標就成了求滿足 \((3)\) 的 \(x,y\)，其中 \(a,b,x2,y2\) 均已知

根據取模運算是 \(a\) \(mod\) \(b=a-b*(a/b)\)
所以方程 \((3)\) 實則是

\(ax+by=\) \(bx2+\) \((a-b*(a/b))y2\)

\(->\) \(ax+by=bx2+ay2-b*(a/b)y2\)

\(->\) \(ax+by=ay2+b(x2-(a/b)y2)\)

那么在根據方程 \(ax+by=G（1）\) 得出一組必然的解：

\(x=y2,y=x2-(a/b)y2（4）\)

可見只需求出 \(x2,y2\) ，就能求出正確的 \(x,y\)，問題就轉化成了求 \(x2,y2\)

將方程 \((1)\) 與 \((2)\) 對比一下：

\(ax+by=G（1）\)

\(bx2+\) \((a\) \(mod\) \(b)y2=G（2）\)

發現原方程的 \(a\) 變成了 \(b\)，原方程的 \(b\) 變成了 \(a\) 而已

所以新的方程也可以看做 \(ax+by=G\) 的形式，然后按照上面的程序進行下來，發現問題又變為求 \(x3,y3\) 再求 \(x4,y4\) \(......\) 即一個遞歸的過程

遞歸過程中 \(a,b\) 不斷被替換為 \(b,a\) \(mod\) \(b\)，這個過程和普通的歐幾里得是一樣的，所以最后會出現 \(a(n)=G,b(n)=0\)

那么這特就是最后一層，此時就要直接返回了，需要一組 \(x(n),y(n)\) 滿足 \(a(n)x(n)+b(n)y(n)=G（5）\)，然而 \(a(n)=G,b(n)=0\)，所以只要 \((5)\) 的 \(x(n)\) 取 \(1\) 就必定滿足了，\(y(n)\) 就隨便取個 \(0\) 就行了

最后一層結束后，就開始返回，知道最上一層，每一層都可以通過下一層的 \(x(k+1),y(k+1)\) 求出當前層的 \(x(k),y(k)\)

整個過程就是：以輾轉相除的方式向下遞進，不斷縮小系數，保證會出現有確定解的最后一層

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例題

題目鏈接 同余方程

問題處理

題目問的是滿足 \(ax\) \(mod\) \(b=1\) 的最小正整數（a,b均為正整數）

問題可以轉化成求 \(ax+by=1\) 中 \(x\) 的值，其中 \(y\) 是個引入的輔助數（y一定是一個負數，但是寫成 \(+\) 的形式以便 \(exgcd\) 算法）

問題仍需轉化，\(exgcd\) 求得是 \(ax+by=gcd(a,b)\)，所以求方程 \(ax+by=m\) 必須滿足的條件就是 \(m\) \(mod\) \(gcd(a,b)=0\)

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簡單證明一下：

由最大公因數的定義，\(a,b\) 均是 \(gcd(a,b)\) 的倍數，因為 \(m=ax+by\)，所以 \(m\) 一定是 \(gcd(a,b)\) 的倍數，即 \(m\) \(mod\) \(gcd(a,b)=0\)

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可得這道題中，必須滿足 \(1\) \(mod\) \(gcd(a,b)=0\)，那么 \(gcd(a,b)\) 就必須等于 \(1\) 了，即 \(a,b\) 互質（數據一定是滿足的）

之后通過上述的 \(exgcd\) 算法即可，但是題目要求 \(x\) 的最小值，僅僅 \(exgcd\) 無法滿足，所以需要答案處理

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答案處理

求出來的 \(x,y\) 僅僅滿足 \(ax+by=1\)，而 \(x\) 不一定是最小正整數解。有可能太大，也可能是負數

解決方案是：\(x\) 批量地減去或加上 \(b\)，能保證 \(ax+by=1\)，因為：

\(ax+by=1\)

\(->\) \(ax+by+k*ba-k*ba=1\)

\(->\) \(a(x+kb)+(y-ka)b=1\)

1.顯然這并不會把方程中的任何整數變為非整數

2.加上或減去 \(b\) 不會使 \(x\) 錯過任何解，可以這么理解：

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已經求出一組 \(x,y\) 使得 \(ax+by=1\)，也就是 \((1-ax)/b=y\)，\(y\) 是整數，可見目前 \(1-ax\) 是 \(b\) 的倍數

現在給 \(x\) 加上 \(kb\)（k為整數），則變為：

\((1-a(x+kb))/b\)

\(=(1-ax)/b+ak\)

仍滿足其為 \(b\) 的倍數，由此當 \(x\) 的變化量為 \(b\) 的倍數時，等式仍滿足

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因此到最后，如果 \(x\) 太小就不斷 \(+b\) 直到 \(>=0\)，反之則一直減直到最小正整數值，就是這么寫

x=(x%b+b)%b;

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總代碼如下

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
int a,b,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(a),read(b);
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    cout<<x;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的exgcd 学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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