CSDN的被爬蟲專用聲明：蝦神原創，公眾號\知乎：蝦神說D

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上次我們簡單的介紹了一下學渣莫蘭同學的逆襲之旅，夢想成為一個數學家的他最后陰差陽錯的成為了一個統計學家，所以蝦神不禁陷入沉思：

好了，不說數學了，我們今天繼續來說莫蘭指數。

我們先來看看莫蘭指數的原理。

先看看下面這樣一個屬性數據的相關分析圖，假設這是四個城市的房價數據——

當北京連續三個月上升的時候，石家莊也連續三個月上升，這樣我們就可以認為（在本次分析中）北京和石家莊的房價是正相關的，所以我們記為1。

同樣，北京上升的同時，太原連續三個月下降，就認為是負相關，記為-1。

北京上升，但是天津有升有降，那么這樣就可以他們之間是不相關，記為0

類推，西安，正相關，記為1。

屬性相關性的分析非常容易，那么到了空間自相關應該怎么辦呢？雖然莫蘭提出莫蘭指數的時候，所謂的地理學第一定律還沒有被發布（1950年，托布勒還在讀大學，莫蘭同學已經是牛津大學的講師了），但是莫蘭在隨機概率的研究中發覺，空間分布對動物種群研究的重要性，所以開創性的在相關性研究中，加入了空間相鄰的參數，如果加入空間關系，就會得到這樣一個空間權重關系：

之后，四個城市之間的空間權重矩陣就應該是：

那么，最簡單的對二者之間，做一個乘法，就得到這樣一個值（與北京的空間自相關）：

可以看見，空間關系就兩種：相關 or 不相關，屬性有三種：正、負、無，所以乘積就得到三種情況：

這就是莫蘭指數的原理：屬性與空間關系的乘積，得到最終的空間上的相關性。空間關系在自相關分析里面，起到的作用就是判定是否有關系，空間上不相關，那么屬性再相關也沒有用。

在這個例子里面，北京被認為與太原有臨近關系，而他們的屬性又正好是負相關，所以空間加權之后，就認為是空間負相關，再按照空間分布模式的規則，兩個蹲在一起的，屬性不相似，那就是所謂的離散關系。

而北京與石家莊在空間上也有臨近關系，而且屬性相似，為正相關，所以加權之后被計算為空間自相關，在自己身邊有相似的伙伴，就是所謂的聚集模式。

下面我們來看看那莫蘭當年給莫蘭指數定義的計算公式：

好吧好吧，數學公式就不寫了，有興趣的同學見（以后可能會有的）黑話空間統計學算法篇里面的內容。我只是簡單說說莫蘭指數如何進行計算的基礎過程：

第一件事就是計算出所有要素之間的空間關系，形成空間關系矩陣，不過用矩陣來進行存儲的話，有足足50%+的浪費，所以所有的計算莫蘭指數的軟件，都用的稀疏矩陣來進行記錄的，比如上面那個矩陣，記錄的方式就是：

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北京：天津、石家莊、太原

天津：北京、石家莊、太原

石家莊：北京、天津，太原

太原：北京、天津、石家莊

西安：(空）

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然后以此對有關系的城市之間進行計算，因為莫蘭指數計算的是截面數據，所以不可能會出現多個時間片段的數據，單個數值之間，怎么進行相關性對比呢？答案就是用屬性值與平均數之間的差（離差）來進行判定。

總所周知，離差是衡量數據分布離散程度的一種非常有效的指標，所以莫蘭在這里用每個要素與相鄰要素的離差乘積，然后乘以空間關系系數，作為分子，然后用所有數據的離差平方和作為分母，計算出所有數據之間的離散程度來，接下去用總的要素數量除以所有空間關系權重的和，來作為總體系數權重，把二者相乘，就得到了結果，用公式表達就是：

好吧，我食言了……

從這個公式可以看出，每個要素會和與自身有空間臨近關系的要素進行計算——沒有臨近關系，比如上面示例里面的西安，空間相關系數為0，結果自然都是0了。

從這個數學公式上面看來，莫蘭同學當年的設計非常的精巧，蝦神這種數學學渣到現在讀到這個公式都覺得頗為驚艷，我們來感受一下這個公式的美：

假設所有的數值的平均數是10的話：

北京的數值是50

天津的數值是5

北京的離差就是40，而天津的離差就是-5，二者的乘積就是-200

那么如果：

北京的數值是50，

石家莊的數值是40，

北京的離差還是40，石家莊的離差就是30，二者離差的乘積就是1200。

換一個更小的數值的話：

比如太原的數值是5

石家莊的數值是3

二者的離差就是-5和-7，得到的乘積就是35，還是正值。

那么從這個算法我們可以看見，兩個值同時大于或者小于均值，就能得到正值，而被均值正好切開的兩個值，就會得到負值——與參與計算的數值與均值偏離越大，得到的結果的絕對值就越大，所以空間上有關系的，而且有彼此接近的數值，表達成了聚集分布，而反之亦然。

高值周邊聚集高值或者低值周邊聚集低值，都計算為正——表示為聚集，而高低值相互交錯，那么就會計算為負，表示為離散。如果有正有負，相互抵消為0，那么就表達為隨機。

而公式中的分子部分，是通過方差進行歸一化，因此最終該指數的值將落在 -1.0 到 +1.0 的區間內。

這就是可怕的數學家啊……天地為爐，造化為工，陰陽為炭，萬物為銅

讀懂了這個公式之后，給一張紙一支筆，就能夠手算了，不過十個八個要素，咬咬牙能算出，但是給你180個要素來計算，估計你就要抓瞎了，所以最簡單的方式，就是用現成的工具來實現，比如ArcGIS，所以下一章，我們看看在ArcGIS里面，如何利用現成的工具來進行莫蘭指數的計算。

（待續未完）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的新版白话空间统计（5）：莫兰指数之计算详解[通俗易懂]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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