閱讀文獻：

Chen Y, Zhang B, Kording KP (2016) Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect. PLoS ONE 11(4): e0154013. doi:10.1371/journal.pone.0154013

文獻鏈接：Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect

文章目錄

• 摘要
• 一、前言
• 二、實驗一
• 1、實驗設計
• 2、貝葉斯模型
• 3、將模型與數據進行擬合fitting
• 三、實驗二
• 1、實驗設計
• 2、實驗結果
• 四、討論

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摘要

什么是Kappa效應：空間距離對時間知覺的影響

兩個模型假設：經典模型（恒定速度）VS貝葉斯模型（慢速度先驗）

????????→本文的視覺實驗發現：

????????1）在擬合數據時兩種模型都能復制被試反應，但貝葉斯模型能更好預測行為；

????????2）估計的恒定速度接近于速度的絕對閾限；

????????3）Kappa效應是慢速度導致，并受空間變異性調節。

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一、前言

1、Kappa效應解釋：引用例子，當兩物體以恒定時距相繼出現時，其空間間隔越大知覺到的時間間隔越大。

2、經典模型（Classical model）介紹：物體在背景中以恒定速度移動，知覺到（估計）兩物體出現的時間間隔(estimated time) te由樣本時間間隔(sample time) ts與期望時間E(t)（給定距離l/恒定速度v0）加權（權重為ω）得：

? ? ? ? ? ?( Eq1)

然而，ω是未知的。

3、貝葉斯模型（Bayesian model，文中也表述為慢速度模型Slowness model）介紹：物體在背景中以慢速度移動，在系列觸覺的時空知覺任務中已重現Kappa效應，但其能否解釋視覺Kappa效應還有待驗證。

4、本文提出：

貝葉斯模型中：后驗的均值=先驗與似然性均值的加權平均；

經典模型中：知覺到的時間=實際時間與期望時間的加權平均；

? ? ? ?→?這也許表明：在合適的定義下，經典模型也可以被表述為貝葉斯模型的形式。

5、本文假設：被試認為物體是以恒定速度移動；

研究方法：用貝葉斯模型來表述慢速度模型和經典模型，進行時間復制任務來復現視覺Kappa效應

研究目的：探討哪個模型能更好解釋Kappa效應。

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二、實驗一

1、實驗設計

9名被試參與17（兩圓間水平距離）×2（兩圓呈現時間間隔sample?time interval，0.8s/1.2s）被試內實驗設計，需按鍵復制兩圓呈現的時間間隔(producted time) tp，每個處理40個trail共1360個trail。

2、貝葉斯模型

（1）對于經典模型：由其得到被試估計兩圓出現的時間間隔?te的公式見Eq1.

將經典模型表述為貝葉斯模型的形式，過程如下：

貝葉斯模型的構建分為三階段，由時間復制的理想觀察者模型ideal observer model for time reproduction改進而來，如下圖：

對此部分涉及到的符號和概念做個梳理：

ts	樣本時間sample?time	樣本實際呈現的時間間隔
tm	測量時間measured time（分布）	被試對樣本時間間隔測得的時間，服從均值為ts標準差為σm的高斯分布，記為p(tm|ts)，可視為感覺登記的時間/感覺記憶表征
te	估計時間estimated time	被試根據貝葉斯模型，結合prior與likelihood得到的估計時間，是posterior的均值，可視為知覺到的時間
tp	復制時間producted?time（分布）	被試在反應階段按鍵復制產生的時間分布，記為p(tp|te)
prior	先驗（分布）	對勻速運動物體的速度的先前經驗，服從均值為l/v0標準差為στ的高斯分布，記p(τ)
likelihood	似然性（分布）	服從均值為τ標準差為σm的高斯分布，記為p(tm|τ)，τ為經驗的時間也是個高斯分布。我認為likelihood本可以理解為根據經驗時間τ得到的測量時間tm的分布。
posterior	后驗（分布）	結合prior與likelihood得到的分布，均值為te

貝葉斯法則：

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
→也可改寫為：后驗概率 ∝ 似然性 * 先驗概率? ? (∝代表兩數成正比)
? ? 參考：無基礎理解貝葉斯 - 夕月一彎 - 博客園

????????1）Measurement：樣本時間間隔ts被被試所測量；在給定ts的條件下，被試測得的時間間隔tm的分布為p(tm|ts)，其服從均值為ts標準差為σm的高斯分布。這與標量計時理論scalar timing theory一致（時距的內部表征是有精確平均值的多個值的分布）。

? ? ? ? 2）Estimation：被試對于移動物體的恒定速度v0有著先驗信念，在給定移動距離l的條件下，被試會有一個先驗的時間間隔分布p(τ)，其服從均值為l/v0標準差為στ的高斯分布，如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq2)

似然性為 p(tm|τ)，服從均值為τ標準差為σm的高斯分布，則后驗分布可通過貝葉斯法則進行計算得：

?? ? ? ? ?( Eq3)

?后驗分布的均值（被試估計的時間間隔?te）為：

? ? ? ? ??( Eq4)

參見Day 37閱讀文獻：K?rding, K. P., & Wolpert, D. M. (2006). Bayesian decision theory in sensorimotor control. trends in cognitive sciences, 10(7), 319-326.

The combination (posterior) of likelihood and prior in Bayes’ rule is driven by their respective uncertainty (variance).

給定樣本時間間隔ts，則被試估計的時間間隔?te為：

? ? ( Eq5)

令??，則有：

? ? ? ? ? ? ? ?( Eq6)

可見，由貝葉斯模型計算被試估計的時間間隔?te的Eq6與經典模型計算 te的Eq1相等，說明Eq1可以被定義為一個貝葉斯模型。

? ? ? ? ?3）Production：被試使用估計的時間間隔?te來按鍵復制產生tp，在給定te的條件下，tp的分布為p(tp|te)。以往研究表明（這里還需看下參考的文獻），tp的標準差隨其平均值線性增加，這一特性被稱為標量變異性，即scalar?variability。因此σp=wp*te，wp是一個韋伯分數Weber?fraction，則有：

? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq7)

?（2）對于慢速度模型：Goldreich用以復現觸覺Kappa效應等而提出的一個基于慢速度假設的貝葉斯模型，被定義為中心為0的高斯分布函數，其推導出Kappa效應的公式Eq8。推導過程如下：

? ? ? ? 1）慢速度模型基于神經活動的概率分布，一個在皮膚上的觸覺刺激將喚起一個神經反應D。給定初試觸覺刺激的位置為x1，則起喚起的神經活動可以建模為空間位置x的函數，其服從均值為x1的高斯分布：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A7 )

? ? ? ? 2）?給定第二次觸覺刺激的位置為x2，兩次刺激間的速度和時距分別為v和τ，則第二次觸覺刺激的神經概率分布為：

? ? ? ( A8 )

? ? ? ? 4）神經活動也可以建模為時間t的高斯函數，中心為真實的觸覺刺激施加的時間。第一次觸覺刺激的真實施加時間定義為0，第二次的為ts（即兩次刺激的時間間隔），則兩次神經活動關于時間的高斯分布分別為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A9 )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( A10 )

? ? ? ? 5）在兩次刺激間產生神經活動的似然性likelihood可寫為空間x與時間t的概率分布：

? ? ? ( A11 )

? ? ? ? 6）慢速度先驗prior反映了對慢速運動的期望，被建模為均值為0的高斯函數：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A12 )

? ? ? ? 7）因而根據A11和A12，后驗分布可使用貝葉斯法則進行計算：

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ( A13 )

? ? ? ? 8）將A13的指數對x、v、t和τ的偏導數設為0得到后驗模式，感知到的時間te為后驗模式下τ的值，則ts與te的關系式為（這一步還不太明白）：

? ? ? ? ? ? ? ? ?( Eq8)

其中，l為兩刺激間距離，ts為樣本時間間隔，te為被試估計的時間間隔，σs和σt分別為知覺到的空間和時間信息的標準差，σv為先驗速度的標準差。

最后，被試使用te來按鍵復制兩圓呈現的時間間隔tp，此過程與貝葉斯版本的經典模型中的第三步production一致。

3、將模型與數據進行擬合fitting

假設與任何ts相關的tp值在試驗中是獨立的。所有N個試次中個體的tp值的聯合條件概率joint conditional probability為：

? ? ? ?? ( Eq9)

對數化后得：

? ? ? ???( Eq10)

（1）模型參數parameters：matlab中用最大似然法maximizing the likelihood確定，先前的研究表明ω是樣本時間間隔的函數（這里還需看下參考的文獻），故經典模型中有4個參數，ω0.8（0.8s時距條件中的權重）、ω1.2、v0和wp（韋伯分數）；慢速度模型中也是4個參數，σt0.8、σt1.2、σv和wp。

（2）計算σs的方法（σs不是參數，可以計算獲得）

????????1）最小可覺差JND(just noticeable difference)：在心理測量功能上25%和75%之間的差異，標準差(σ)可以用JND計算得到一個高斯分布，即：

????????σ =JND/0.6475

????????2）視敏度閾值visual acuity threshold：為JND在視覺處理系統空間分辨率測量中的應用，先前研究報告了2種視敏度閾值(Vernier/grating resolutions)作為偏心度eccentricity的函數，分別為：

k = 0.93 ×ε^0.69?和?k = 1.34 × ε^0.71? (the unit of κ is minute not degree)
其中，κ為視覺敏銳度閾值(JND為空間分辨率)，ε為偏心度。

? ? ? ? 3）因而有σs計算公式：

σs = 0.0239 × ε^0.69(Vernier resolution)和σs = 0.0345 × ε^0.71(grating resolution),(the unit of σs is degree not minute)
（3）Akaike information criterion (AIC)：用來評估模型擬合程度的好壞

Δ = AICi-AICmin
其中，AICi來自第i個模型，AICmin來自最佳模型（AIC最小）。Δ越小代表該模型與最佳模型的差值越小，則模型擬合程度越好。

?3、實驗結果

（1）研究目的與方法：恒定速度和慢速度假設哪一種能最好地解釋Kappa效應？在本實驗設計中，被試復制產生的時間tp可以表述為兩刺激空間距離和呈現時距的函數。

（2）反應偏差response bias (BIASr)

? ? ? ? 1）計算BIASr：在每種時間間隔下，兩圓在注視點正上方30mm處的相同位置相繼出現，被試復制時間tp的均值與標準時間間隔ts的差值即為BIASr。

? ? ? ? 2）單樣本t檢驗One sample t-test：在0.8s時距條件下，BIASr顯著＞0（p<0.05）；在1.2s時距條件下不顯著。

? ? ? ? 3）BIASr的意義與矯正：BIASr代表著與刺激呈現空間距離無關的被試反應偏差，可作為一個基線baseline，盡管其值很小，作為矯正，在分析時將每個被試的復制時間都減去了其相對應的反應偏差。

（3）BIASk與VAR：在每種處理下，當兩圓出現在相同位置時，BIASk為被試復制時間tp的均值與基線baseline的偏差值，VAR為其對應的方差，見下圖：

? ? ? ??1）BIASk隨兩圓的空間距離增大而增大（黑點與綠線距離從左到右呈增加趨勢）；

? ? ? ? 2）對于所有被試，VAR在0.8s時距條件下顯著＜1.2s時距（p<0.05）（A圖中灰點比B圖更集中），代表復制更長的樣本時間有著更多的不確定性，這與標量變異性一致。

（4）擬合數據：經典模型和慢速度模型都能復現出被試的結果（擬合曲線與黑點基本重合），如下圖：

? ? ? ? 1）經典模型：將生產時間預測為距離的線性函數。模型參數的均值，ω0.8和ω1.2非常接近1，v0約為0.2°/s, wp約為0.2，見下表：

? ? ? ? ?2）慢速度模型：在0.8s時距條件下，估計時間在長距離時增速較短距離減緩，與慢速度模型結果更接近；在1.2s時距條件下，與兩個模型結果都接近。在2種視敏度閾限值情況下，估計時間幾乎相同（Fig 4B與4C中的擬合曲線幾乎一致），且其最佳擬合參數值也幾乎相等（下表），?在0.8s和1.2s時距條件下σt分別約為0.01s和0.02s，σv約為0.9°/s，wp約為0.2。

? ? ? ? ?3）從Fig 4，慢速度模型似乎能更好地定性地解釋數據（更好預測行為）。

（5）AIC difference (Δ)：模型擬合程度的經驗標準為0≤Δ ≤2, substantial; 4 ≤ Δ ≤7, considerably less; Δ >10, essentially none。結果見下表：

? ? ? ? 1）對于慢速度模型，在0.8s時距條件下，6個被試的擬合程度顯著優于經典模型，而在1.2s時距條件下只有1個（表中標綠部分）；

? ? ? ? 2）符號檢驗sign test表明，在0.8s時距條件下慢速度模型擬合度更好(p < 0.01)，而1.2s時距條件下兩個模型的擬合度差異不顯著(p > 0.05)。

?（6）模型的預測：使用最佳擬合參數the best-fitting parameters在更長的距離范圍下對兩模型的預測情況繪圖如下（慢速度模型的視敏度閾限僅使用了Vernier resolution）：

? ? ? ? 1）經典模型：復制時間隨距離的增加而線性增加；

? ? ? ? 2）慢速度模型：復制時間隨距離的增加而線性增加，但增速有著逐漸減緩的趨勢；

? ? ? ? 3）兩種模型間的差異隨距離的增加而增加。這表明在今后的Kappa效應研究中，需要使用更大的距離范圍。

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三、實驗二

在實驗一中有個基本假設：被試在一種樣本時間（兩圓呈現時間間隔）中只有一種反應偏差。本實驗旨在補充驗證反應偏差是否受刺激呈現位置的影響。

1、實驗設計

9名被試（與實驗一不同）參與3（兩圓位置相同，其與注視點的水平距離為左12°/0°/右12°）×2（兩圓呈現時間間隔sample?time interval，0.8s/1.2s）被試內實驗設計，需按鍵復制兩圓呈現的時間間隔，每個處理40個trail共240個trail。

2、實驗結果

每個被試在每種時間間隔及每個呈現位置的反應偏差response biases (BIASr)的M和SE如下表：

對3種位置、2種時距做兩因素重復測量設計方差分析Two-way repeated measurement ANOVA：時距、位置、時距和位置的交互作用的主效應main?effects均不顯著（p?＞?0.05），這表明刺激呈現位置對反應偏差無顯著影響。

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四、討論

（1）在實驗一中，通過比較模型擬合情況發現，基于恒定速度假設的經典模型和基于慢速度的慢速度模型都能復現被試的反應（Fig 4）,但AIC指數表明慢速度模型能更好地擬合數據。

（2）關于本研究中發現的反應偏差response bias

? ? ? ? 1）之前沒有關于視覺刺激呈現位置對于反應偏差是否產生影響的研究，本文在實驗二中發現，結果為無顯著影響；

? ? ? ? 2）在經典模型中，Jones and Huang提出在給定時距the given duration(ts)，給定距離(l)，Kappa效應計算(A4)分3步：

? ? ? ? ① 通過psychophysical function：φt，將ts轉化為其scale value?：

????????? ? ? ? ? ?(A1)

? ? ? ? ②?觀測時間的內部編碼internal code可以表述為scale value和期望時間expected time的加權形式：

????????? ? ? ? ? ? ? ?(A2)

? ? ? ? 其中，期望時間E(t)=l/v0，v0是恒定速度。?

? ? ? ? ③?通過psychomotor function：ht，利用internal code得到復制時間tp：

????????? ? ? ? ? (A3)

????????Jones and Huang認為φt是線性的，可以令：

????????? ? ? ?其中代表偏差，則A2可寫為：

? ? ? ?? ? ? ? ?(A4)

? ? ? ? 可以看出，Jones and Huang并未明確指出反應偏差。但在本研究的實驗一中，通過將反應偏差進行定義：，把反應偏差從樣本時間中實現分離(Fig 3)，A4可寫為：

?????????? (A5)

? ? ? ? 將數據進行BIASr矯正后得到：

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(A6)

?????????A6與Jones and Huang得出的Kappa效應方程A4在數學上等價，但有更明確的心理學意義。

（3）模型擬合數據的2種方法

? ? ? ? 1）在擬合數據前對反應偏差進行矯正，確定基線水平。這也是本研究實驗一中采用的方法。

? ? ? ? 2）將反應偏差作為模型的參數，對數據進行擬合。通過補充分析發現，此法使得兩種模型的參數都由原來的4個增加為6個（新增BIASr0.8和 BIASr1.2，可見方程A5），這可能會在擬合部分被試數據時出現過度擬合overfitting現象。

（4）關于慢速度假設

? ? ? ? 1）慢速度模型：基于先驗速度假設，且先驗速度為慢速度，中心為0；

? ? ? ? 2）經典模型：也基于先驗速度假設，且先驗速度為恒定速度，邏輯上說，該恒定速度也可以是慢速度，理由如下：

? ? ? ? ①?由Fig 2，后驗時間posterior的均值大于似然性likelihood的均值，則先驗時間的均值一定大于似然性（因為后驗由先驗與似然性結合而來），也即先驗速度比刺激圓閃現的速度要慢(v = l/t)；在實驗一中得到恒定速度v0約為0.2°/s，比圓閃現的速度要慢很多(1.2 to 28.3°/s)；

? ? ? ? ② 以往研究表明，老年被試的絕對速度閾限為0.12°/s，青年被試為0.09°/s，與v0接近，故將恒定速度視為慢速度是合理的，這也是為什么經典模型和慢速度模型都復現了被試反應的原因(Fig 2)；

? ? ? ? ③?慢速度先驗被證明反映了視覺環境的統計結構，即快速移動的物體相對較少，但其發生的神經機制需要進一步研究；

（5）兩個模型擬合數據情況

? ? ? ? 1）從Fig 4，慢速度模型只在0.8s條件下呈現增速減緩趨勢，1.2s條件沒出現的原因是兩圓的距離不夠長僅1.4° to 22.6°。從Fig 5，距離增加到1.4° to 150°后，慢速度模型在1.2s條件下也出現了增速減緩趨勢。

????????2）慢速度模型在長距離條件下呈現出增速減緩趨勢，而經典模型為線性的，慢速度模型擬合數據能力更優。

? ? ? ? 3）為什么慢速度模型在長距離條件下呈現出增速減緩趨勢？

? ? ? ? →慢速度模型考慮到了空間變異性spatial variance，其值越大→離心率eccentricity越大→視覺敏銳度visual acuity越低→知覺到的距離越短→知覺到的時距越短

（6）兩個模型的優缺點

? ? ? ? 1）經典模型

? ? ? ? 優點：基于一個簡單的線性模型；

? ? ? ? 缺點：

????????①?擬合數據能力較差，未考慮空間信息的非線性特征（如空間變異性）；

? ? ? ? ②?模型中的權重ω隨樣本時間的改變而改變，使模型無法用求得的最佳擬合參數來預測一個新的樣本時間的復制時間。

? ? ? ? 2）慢速度模型

? ? ? ? 優點：基于神經活動的概率分布，考慮到了時空信息的不確定性，預測到復制時間隨距離增加而呈增速減緩的趨勢，擬合數據的能力更強；

? ? ? ? 缺點：

????????①?模型表達復雜，估計時間無法寫為樣本時間的函數te = f(ts)，因此無法獲得精確的te。

? ? ? ? ②?空間變異性的取值來自于先前研究的推算，且對各被試保持不變，但其可能會因為被試的個體差異、亮度對比等原因產生變化。

? ? ? ? ③?時間信息的不確定性隨樣本時間的改變而改變，使模型無法用求得的最佳擬合參數來預測一個新的樣本時間的復制時間。

因此，為了構建一個更好的Kappa效應模型，慢速度模型和經典模型的優缺點都應該考慮。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Day1/5 文献精读】Speed Constancy or Only Slowness: What Drives the Kappa Effect的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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