文章目錄

• 第二章 lebesgue測度
• • 前言
  • 2.1 點集的Lebesgue外測度
  • • 定義 2.1
    • 定理 2.1 （$R^n$ 中點集的外測度性質）
    • 推論 2.2
    • 定理 2.4
    • 定理 2.5 （平移不變性）
  • 2.2 可測集與測度
  • • 前言
    • 定義 2.2
    • 定理2.6（可測集的性質）
    • 定理 2.7（遞增可測集列的測度運算）
    • 推論 2.8（遞減可測集列的測度運算）
    • Fatou 引理

第二章 lebesgue測度

前言

積分的定義以及一個函數的可積性，是與相應的下方圖形面積如何確定以及面積是否存在密切相關的。于是，如果我們想要建立能夠應用與更大函數類的新的積分理論，自然希望把原有的面積概念進行推廣，使得更多的點集能具有類似于面積性質的新的度量。

總之，我們希望對一般 $R^n$ 中的點集 $E$ 給予一種度量，它是長度、面積以及體積的概念的推廣。如果記點集 $E$ 的這種度量為 $m(E)$ ，那么自然要求它具有某些常見的性質或者滿足一定的條件。此時稱 $m(E)$ 為 $E$ 的測度。

以 $R$ 為例，我們提出：

$m(E)\ge 0$ ;

$可合同的點集具有相同的測度$ ；

令 $I=(a,b)$ ,則 $m(I)=b?a$ ;

若 $E_1,E_2,...,E_k,...$ 是互不相交的點集，則 $m(\sum _{i=1}^{\infty }{E}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }(E_i)$ ；

最后一條稱為可數可加性，又稱 $\sigma ?$ 可加性。

2.1 點集的Lebesgue外測度

搬教材的話：大家知道，平面矩形的面積是長乘以寬。也就是說，取定一個標準單位——單位正方形，然后計算該矩形包含多少個正方形。但是，這種計算方法只對具有內點的點集有效。

為了對一般點集也能度量出某種“面積‘出來，我們放棄從點集內部擴張的方法，而按從其外部擠壓的方法。

定義 2.1

設 $E?R^n$ ，若 $\{I_k\}$ 是 $R^n$ 中的可數個開矩體，且有 $E?\underset{k\ge 1}{?}{I}_k$ ,則稱 $\{I_k\}$ 為 $E$ 的一個 $L?$覆蓋 。

稱 $m^{?}(E)=inf\{\sum _{k\ge 1}|I_k|\mid \{I_k為E的L?覆蓋\}\}$ 為點集 $E$ 的 Lebesgue外測度，簡稱外測度 。

每一個L-覆蓋都有體積和，取下確界就是外測度。

定理 2.1 （$R^n$ 中點集的外測度性質）

非負性： $m^{?}(E)\ge 0$ ,$m^{?}(?)=0$ ；

單調性：若 $E_1?E_2$，則 $m^{?}(E_1)\le m^{?}(E_2)$ ；

次可加性：$m^{?}(\underset{k=1}{\overset{\infty }{?}}{E}_k)\le \sum _{k=1}^{\infty }{m}^{?}(E_k)$ ；

推論 2.2

若 $E?R^n$ 為可數點集， 則 $m^{?}(E)=0$ .

單點的外測度為0，由次可加性，可數點集的外測度不大于單點集的外測度之和

定理 2.4

設 $E_1,E_2$ 是 $R^n$ 中的兩個點集，若 $d(E_1,E_2)>0$ ，則 $m^{?}(E_1\cup E_2)=m^{?}(E_1)+m^{?}(E_2)$ .

定理 2.5 （平移不變性）

設 $E?R^n,x_0\in R^n$ .記 $E+\{x_0\}=\{x+x_0,x\in E\}$ ,則 $m^{?}(E+\{x_0\})=m^{?}(E)$ .

2.2 可測集與測度

前言

上一節指出外測度具有次可加性，集合函數 $m^{?}$ 還不是我們所希望的測度。實際上不可能給出在 $R^n$ 上的一切點集都有定義的測度，也就是說有些點集不存在測度或者不可測。于是我們的任務就是在Lebesgue外測度的基礎上，在 $R^n$ 上誘導出一個可測集合類，在其上 $m^{?}$ 是一種期望的測度。

定義 2.2

設 $E?R^n$ ，若對任意的點集 $T?R^n$ ，有 $m^{?}(T)=m^{?}(T\cap E)+m^{?}(T\cap E^c)$ ，則稱 E 為Lebesgue可測集（或 $m^{?}$ -可測集），簡稱為可測集，其中 $T$ 稱為 試驗集 ，可測集的全體稱為可測集類，簡記為 $\mathcal{M}$ 。

定理2.6（可測集的性質）

$?\in \mathcal{M}$

若 $E\in \mathcal{M}$ ,則 $E^c\in \mathcal{M}$

若 $E_1\in \mathcal{M},E_2\in \mathcal{M},$ 則 $E_1\cap E_2,E_1\cup E_2,E_1?E_2$ 均屬于 $\mathcal{M}$ .（由此知，可測集任何有限次取交、并運算后所得的集皆為可測集。）

若 $E_i \cap E_j = \phi $，則 $m^{?}(\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}})E_i=\sum _{i=1}^{\infty }{m}^{?}(E_i)$ .即 $m^{?}$在 $\mathcal{M}$上滿足可數可加性（或稱 $\sigma$ - 可加性）

定理 2.7（遞增可測集列的測度運算）

若有遞增可測集列 $E_1?E_2?...?E_k...$ ,則 $m(\underset{k\to \infty }{\lim }{E}_k)=\underset{k\to \infty }{\lim }m(E_k)$ .

推論 2.8（遞減可測集列的測度運算）

若有遞減可測集列 $E_1?E_2?...?E_k?...$ ,且 $m(E_1) < +\infty $ ,則 $m(\underset{k\to \infty }{\lim }{E}_k)=\underset{k\to \infty }{\lim }m(E_k)$ .

Fatou 引理

設 $\{E_k\}$ 是可測集列，則 $m(\underset{\overline{k\to \infty }}{\lim }{E}_k)\le \underset{\overline{k\to \infty }}{\lim }m(E_k)$ , $m(\overline{\underset{k\to \infty }{\lim }}{E}_k)\ge \overline{\underset{k\to \infty }{\lim }}m(E_k)$ .

寫這玩意兒太累了，有空再更。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二章 lebesgue测度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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