背景

一直不爽的教材里的“近似”，不但中學(xué)教材里面有，大學(xué)教材里面也有。我的所謂“不爽”，主要是對公式的“近似”的屬性不滿，覺得科學(xué)規(guī)律或定理都應(yīng)該是嚴(yán)格解析、分毫不爽的；但是事實往往是，實際科學(xué)實驗中不但有誤差，理論上大部分公式取近似也往往是合理的。

案例

這里先說中學(xué)物理教材里面講波動光學(xué)中的“雙縫干涉”時候的一種近似。

其實寫這個案例之前，我的本意是推導(dǎo)一遍、復(fù)習(xí)一下；我讀中學(xué)的時候一直覺得這個推導(dǎo)不好記，因為它的好多假設(shè)在我看來都不合理，要記住一個不合理的東西、而且把它當(dāng)真，在我看來實在有難度。

數(shù)十年沒有專門從頭看Young’s double slit interference實驗中用到的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程，都有些遺忘了；所以，從新再來推導(dǎo)楊氏雙縫干涉實驗中用到的近似公式，——本以為推導(dǎo)過程中最為精妙和值得學(xué)習(xí)的地方主要在于取近似的時機(jī)和手法，因為我老是記不住——可是自己一推導(dǎo)居然發(fā)現(xiàn)，教材中對近似公式的推導(dǎo)，可能有邏輯問題。

（下圖是一位高中學(xué)生用自己的Android手機(jī)拍的）

于是帶著藐視初等數(shù)學(xué)推導(dǎo)的態(tài)度，嘗試brute-force推導(dǎo)，找到一種看上去合理的、純粹“初等”的推導(dǎo)。（我習(xí)慣于把這種費力、不討巧的笨辦法都叫做brute-force; 然而之前碰到一個矩陣證明有關(guān)的復(fù)雜問題，請教中科院自動化所一位年長的博導(dǎo)，兩三天后收到一份 $\text{LATE?X}$ 版的詳細(xì)解答，用的辦法就是我一直所謂的brute-force方法！佩服之余，也很為自己汗顏，因為如果我態(tài)度端正一些本來還是有希望獨立完成的）

我發(fā)現(xiàn)，楊氏雙縫干涉實驗中近似公式的推導(dǎo)，本來是完全可以有以下優(yōu)點的，但是卻走了一條歧路；我說的好的推導(dǎo)應(yīng)該是這樣的：

它不應(yīng)遺漏本該包含的關(guān)鍵假設(shè)、近似條件；

它使用的假設(shè)、近似的個數(shù)更少、更簡潔；

它沒有使用明顯不合理的假設(shè)、近似條件。

教材中可能錯誤的推導(dǎo)方法

理論上在屏幕上光程差 $\delta$ 是波長$\lambda$ 整數(shù)倍的情況下產(chǎn)生干涉疊加，干涉條紋到中心位置的距離 $x$ 的近似公式的推導(dǎo)。這是中學(xué)物理實驗中用雙縫干涉法測單色光波長的主要理論依據(jù)。

這么多的“近似”，而且據(jù)說近似的原理要等學(xué)了**“高等數(shù)學(xué)”**之后才能明白，這讓人有些不服 (現(xiàn)在手頭的教材是，人教版高中物理、選修3-4， 2007年4月第2版，版次跟我當(dāng)年學(xué)的教材不同，但是推導(dǎo)方法相似)。

上面的有些假設(shè)，比如 $x>>d$，本身是未必合理的，但根據(jù)教材中的推導(dǎo)方法卻是必須的；有些近似把光程差的結(jié)果放大（比如 $d\sin \theta$)，有的近似把光程差的結(jié)果縮小（剩下的兩個近似都是這樣的效果），它們綜合起來的效果剛好跟想要的結(jié)果碰巧重合了而已，符合辯證法里的“否定之否定”、或者說“錯上加錯和一錯再錯”就是正確的道理？這種中外都在使用的教法已經(jīng)沿用了好多年了，估計還要一直錯下去。

我于是在想，如果這是個問題，黑鍋到底是中國的還是外國的呢？于是就搜索了一下英文版的文獻(xiàn)和資料，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個讓人懷疑的推導(dǎo)方法可能在國外教材中就一直沿用，然后被照搬了：

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

有意思的是，上面這個示意圖還知道 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$ 實際上是不一樣的，需要作一次近似假設(shè)(從圖上的說明看，假設(shè)也用錯了)；下面這個來自某”大學(xué)物理“(college physics，2017年第11版)的教材中的示意圖，直接把兩者混淆、混為一談了。

這里上圖的兩個 $\theta$ 近似相等的假設(shè)跟 $y=x>>\frac{d}{2}$ 一樣不合理。不過大家都這么玩。

關(guān)鍵是各種假設(shè)的合理性、“一種近似”跟“另一種近似”之間一致性，是不是足夠好；否則，就算碰巧得到一個好用的結(jié)果，如何讓人信服？

也許應(yīng)該這樣推導(dǎo)

這里寫一個不用高等數(shù)學(xué)知識的、自洽的推導(dǎo)干涉條紋位置 $x$ 近似公式的方法。

如果把近似的步驟放在最后，結(jié)果可以這樣，只是要求解一個同解的關(guān)于 $x$ 的“一元二次”方程而已：

有網(wǎng)友說上圖有錯誤，漏了平方，我2019年4月21日修改更新了下：

先用兩個勾股定理，表示出 $r_1$、$r_2$ 兩個光程，相減得到光程差 $\delta$， 它是波長 $\lambda$ 整數(shù)倍的時候達(dá)到極亮條紋：

$$r_2?r_1=\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}?\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}=k?\lambda$$
進(jìn)行一系列同解等價變換，先移項：
$$\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}=k?\lambda +\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
兩邊同時平方：
$$L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2=k^2{\lambda }^2+L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2+2k?\lambda \sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
整理并把帶根號的項單獨放在右側(cè)：
$$2xd?k^2{\lambda }^2=2k?\lambda \sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
兩邊再取平方得到關(guān)于$x$的一元二次方程僅含二次型和常數(shù)項：
$$x^2\left(4d^2?4k^2{\lambda }^2\right)=4k^2{\lambda }^2{L}^2+d^2{k}^2{\lambda }^2?k^4{\lambda }^4$$
所以得到：

$$x=\pm k?\lambda ?\sqrt{\frac{4L^2+d^2?k^2{\lambda }^2}{4d^2?4k^2{\lambda }^2}}$$

下面只做 近似，當(dāng) $k$ 絕對值不是很大的時候
(之后應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)，這意味著偏離屏幕中心越遠(yuǎn)、近似公式誤差越大；但是在教材推導(dǎo)的假設(shè)中不能體現(xiàn)這一點)：

當(dāng) $k$ 值不是很大時，在屏幕中心附近的適當(dāng)范圍內(nèi)：

分母： 因為$d>>\lambda$，所以 $4d^2?4k^2{\lambda }^2\approx 4d^2$，

分子：因為$L>>d>>\lambda$，所以 $4L^2+d^2?k^2{\lambda }^2\approx 4L^2$，

從而： $$x\approx \pm k?\lambda ?\frac{L}{d}$$

分析討論

回到前面對推導(dǎo)過程是否合理而設(shè)定的幾個標(biāo)準(zhǔn)：

它不遺漏結(jié)果中本應(yīng)包含的關(guān)鍵假設(shè)，$k$太大時，近似公式的誤差會增大，這跟實驗是相符的，遠(yuǎn)離屏幕中心的時候，光程差絕對值增大，但是誤差也增大（當(dāng)然，實際中可能還有衍射強(qiáng)度、狹縫寬度等因素）；但教材中目前的推導(dǎo)遺漏了這樣的前提或假設(shè)，無法體現(xiàn)這樣一個使用近似公式的前提條件；

它使用的假設(shè)、近似的個數(shù)更少、更簡潔；明顯可以看到，第二個推導(dǎo)用的假設(shè)最少，只有 $L>>d>>\lambda$：

它沒有使用明顯不合理的假設(shè)：比如推導(dǎo)的結(jié)果應(yīng)該在 $x\in [0,+\infty )$ 都適用，靠近屏幕中心附近精度應(yīng)該更好，但是在確定 $\tan \theta \approx \frac{x}{L}$ 的時候，經(jīng)典的教科書中的推導(dǎo)方法卻實際上假設(shè)了 $x>>d$，這意味著 導(dǎo)出的結(jié)果對于 $x$接近0的范圍內(nèi)反而不適用，這是不合理的。

看一個實際實驗中可能采用的典型的 $L,d,\lambda$ 取值的組合，幫助理解下“遠(yuǎn)大于” $>>$ 符號的含義：

$$?\begin{array}{crrrc}L=1\mathrm{m}& =& 1000& \mathrm{m}\mathrm{m}& \\ d& =& 2& \mathrm{m}\mathrm{m}& \\ \lambda =500\mathrm{n}\mathrm{m}& =& 5\times 10^{?4}& \mathrm{m}\mathrm{m}& \end{array}$$

一個500倍，一個2000倍，當(dāng)$k$的值不是太大(光程差對應(yīng)的周期數(shù)不是太多)的時候，取近似對有效數(shù)字的影響的確小： 即使 $k=20$ 仍有100倍 $d/\lambda$ 比值，取近似的時候所涉及的它們平方的比值仍有10000倍之差距。

之所以這里直接指認(rèn)中學(xué)教材里對干涉條紋位置的近似公式的推導(dǎo)方法是錯誤的，在于以下對比：自己今天實際動手用初等方法（即上述第二種）推導(dǎo)之后，發(fā)現(xiàn)無須高等數(shù)學(xué)、無須過度假設(shè)也可以得到正確的結(jié)果；而國內(nèi)外教材中迄今為止常用的第一種推導(dǎo)方法、雖然大同小異，但都繞不開必須引入的不合理的假設(shè)。

——從邏輯上講，結(jié)論正確、并不能說明過程也一定對。

第三種推導(dǎo)的可能及其所用假設(shè)

有沒有其它可能的初等的推導(dǎo)方法？當(dāng)然有。

注意到：$$r_2^2?r_1^2=\left(L^2+(x+\frac{d}{2})\right)?\left(L^2+(x?\frac{d}{2})\right)=2x?d$$
$$\therefore (r_2?r_1)?(r_2+r_1)=2x?d$$
$$\therefore 2x?d=\delta ?(r_2+r_1)=k?\lambda ?(r_2+r_1)$$
$$\therefore x=k?\lambda ?\frac{r_2+r_1}{2?d}\approx k?\lambda ?\frac{2?L}{2?d}=k?\lambda \frac{L}{d}$$

所用到的唯一的一個近似步驟是把 :
$$r_1+r_2=\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}+\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$

近似地縮小為 $2?L$而已。這里假設(shè)一個存疑之處可能在于，假設(shè)條件中包含了未知數(shù) $x$，是否合理？ 即要求：

$$L>>\left|x+\frac{d}{2}\right|,L>>\left|x?\frac{d}{2}\right|$$

第一個假設(shè)意味著包含了， $L>>x,L>>d$。關(guān)于$x$ 的假設(shè)是否能用來說明 $k$ 也不能太大、畢竟作假設(shè)的時候 $x$ 未知？此外，$d>>\lambda$算不算遺漏？——如果套用三個標(biāo)準(zhǔn)，看上去這個推導(dǎo)方法也不理想，但是把 $x$ 近似公式作等價變換則能夠發(fā)現(xiàn)，它所涉及的假設(shè)跟前面的同出一轍，算是等價的。唯一遺憾的一點是把未知的 $x$ 納入假設(shè)之中，合理性有陰影。這兩種方法跟教材中方法不同的共同點是， 跟所謂 $\theta$ 并無關(guān)系，無須額外的假設(shè)。

不過回到我重新推導(dǎo)這個近似公式的初衷，難道不覺得物理學(xué)中的近似其實都很無厘頭嗎？明明只是近似，但是涉及到的地方都拿它嚴(yán)格來用。比如這個干涉條紋位置的公式，跟這個有關(guān)的很多后續(xù)各種推理實際上都基于這里的“近似”的推導(dǎo)，基于此而得到的結(jié)果原來也都不過是“近似”。 ——所以說，物理學(xué)中的很多”科學(xué)性、合理性“其實是有那么一點點坑爹的你造嗎？我猶豫：自己還要不要繼續(xù)迷信下去呢？

此外，“糾結(jié)”的感受來自當(dāng)年的一道邏輯上有問題的、跟雙縫衍射有關(guān)的高考題?？紙錾衔野l(fā)現(xiàn)一道多項選擇題有邏輯上的歧義性，某個選項如果從邏輯無瑕疵的角度是要選上的，而從中學(xué)物理解題的思維習(xí)慣上看是不選的。——我選擇了服從自己的良心，對答案的時候發(fā)現(xiàn)自己的良心被黑了。而且那個時候沉浸在后高考的巨大情緒之中，也其實上訴無門，一直埋在我心里?！瑫r，也基于年復(fù)一年、對這樣一個事實逐漸的領(lǐng)會：不論編寫教材，還是出高考試題，這類過程的參與者都會犯各種錯，然而糾錯的機(jī)制并不完善。

結(jié)論

我表達(dá)的意思只有一個：我找到的這個推導(dǎo)方法看起來是最合理的、而教材中的推導(dǎo)看起來很垃圾。我還為它定制了一套評價標(biāo)準(zhǔn)。

世界上也許并沒有正確的道理，只要相信的人多了，一個“道理”就看上去貌似合理或正確了，這跟“道理”本身是正確的還是胡攪蠻纏的并無聯(lián)系。這是“迷信”類的信仰已經(jīng)能被證偽、仍有廣大受眾擁躉一樣，看似好笑、實則屬實。

——如果糾結(jié)于少數(shù)人自以為正確的道理而浪費時間去辯論，其實是荒謬的?；氐奖疚挠懻摰耐唤乒降牟煌茖?dǎo)方法的選擇問題，辯論孰是孰非其實是浪費時間和無意義的，選擇適合自己的方法作為自己記憶之用即可：反正教材是這么用的，即使你用了又有反對者，讓他們找寫教材的人講道理去即可。

在實際的計算能力已經(jīng)比以往大大增強(qiáng)了的今天，由于有計算機(jī)和各種輔助計算工具，即使不作這種近似處理，而是直接用

$$k?\lambda =\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}?\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
計算起來也沒有太大的問題。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Young氏双缝干涉实验近似公式推导的传统谬误的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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