接觸過資產(chǎn)定價(jià)的同學(xué)可能知道，資產(chǎn)定價(jià)有一個(gè)核心公式$p=\text{E}(mx)$，它的內(nèi)涵十分豐富。本文將從Consumption-based model出發(fā)，詳解該公式的由來，并以它為視角，介紹金融理論中的一些問題。

1 定價(jià)方程

1.1 基本的定價(jià)方程

假設(shè)有一筆在$t+1$時(shí)刻的payoff為$x_{t+1}$的資產(chǎn)，該如何計(jì)算它在$t$時(shí)刻的價(jià)值？

假如在今天買一只股票，那么下一期的payoff就是股票的價(jià)格加股息，即$x_{t+1}=p_{t+1}+d_{t+1}$，$x_{t+1}$是一個(gè)隨機(jī)變量，投資者無法確切地知道他的投資在下一期會(huì)有多少收益，但他可以估算各種可能情況的概率。假設(shè)有一個(gè)代表性投資者，他的效用函數(shù)是
$$U(c_t,c_{t+1})=u(c_t)+\beta {\text{E}}_t[u(c_{t+1})]$$

其中$c_t$表示在$t$期的消費(fèi)。假設(shè)效用函數(shù)是冪效用函數(shù)
$$u(c_t)=\frac{1}{1?\gamma }{c}_t^{1?\gamma }$$

當(dāng)$\gamma \to 1$時(shí)，$u(c)=\ln (c)$。$\beta$是主觀貼現(xiàn)因子（subjective discount factor），效用函數(shù)的曲率表示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和跨期替代的厭惡程度。

假設(shè)投資者可以以$p_t$的價(jià)格自由買賣任意數(shù)量的資產(chǎn)$x_{t+1}$，初始消費(fèi)水平為$e$，他選擇買入$\xi$數(shù)量的資產(chǎn)，那么可列出方程：
$$\begin{array}{rl}\underset{\{\xi \}}{\max }u(c_t)& +{\text{E}}_t[\beta u(c_{t+1})]\\ \text{s.t.}{c}_t& =e_t?p_t\xi ,\\ c_{t+1}& =e_{t+1}+x_{t+1}\xi \end{array}$$

將約束條件代入后求解最值問題，解得：
$$p_t{u}^{\prime }(c_t)={\text{E}}_t\left[\beta u^{\prime }(c_{t+1})x_{t+1}\right]$$

上式可寫為：
$$p_t={\text{E}}_t\left[\beta \frac{u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_t)}{x}_{t+1}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

1.2 邊際替代率與隨機(jī)貼現(xiàn)因子

定義隨機(jī)貼現(xiàn)因子（Stochastic Discount Factor，SDF）
$$m_{t+1}=\beta \frac{u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_t)}$$

代入$(1)$式可得$p_t={\text{E}}_t(m_{t+1}{x}_{t+1})$。這里的$m_{t+1}$可以叫作邊際替代率（marginal rate of substitution），也叫定價(jià)核（pricing kernel），或者測(cè)度變換（change of measure）、狀態(tài)價(jià)格密度（state-price density）等。在大多數(shù)時(shí)候，下標(biāo)可以省略，條件期望和無條件期望也沒必要區(qū)分，可以寫作$p=\text{E}(mx)$。

如果不存在不確定因素，那么按照標(biāo)準(zhǔn)現(xiàn)值公式，應(yīng)該有
$$p_t=\frac{1}{R_f}{x}_{t+1}$$

其中$R_f$為毛無風(fēng)險(xiǎn)利率（gross risk-free rate），$1/R_f$為貼現(xiàn)因子。用大寫的$R$表示毛收益率，小寫的$r$表示凈收益率，關(guān)系是$r=R?1$或$r=\ln (R)$。

對(duì)于payoff相同的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)越大，價(jià)格越低，因此風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)可用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的貼現(xiàn)因子（risk-adjusted discount factors），它和某個(gè)資產(chǎn)有關(guān)：
$$p_t^i=\frac{1}{R^i}\text{E}(x_{t+1}^i)$$

2 金融中的經(jīng)典問題

本節(jié)以$p=\text{E}(mx)$為視角，來看一些金融中的經(jīng)典問題。

2.1 無風(fēng)險(xiǎn)利率

現(xiàn)在研究無風(fēng)險(xiǎn)債券，它的payoff就是無風(fēng)險(xiǎn)利率$R^f$，它在$t$期的價(jià)格為$1$，因此有$1=\text{E}(m{R}^f)=\text{E}(m)R^f$，因此，無風(fēng)險(xiǎn)利率為：
$$R^f=\frac{1}{\text{E}(m)}$$

若效用函數(shù)取為$u(c_t)=\frac{1}{1?\gamma }{c}_t^{1?\gamma }$，代入$m$的表達(dá)式中，并消除不確定性（拿掉期望符號(hào)），可得
$$R^f=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)}^{\gamma }$$

可以看出，在排除不確定因素后，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平與$\beta$、消費(fèi)增長(zhǎng)率、效用函數(shù)曲率$\gamma$有關(guān)。

而如果存在不確定性呢？假設(shè)消費(fèi)增長(zhǎng)率是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，定義對(duì)數(shù)無風(fēng)險(xiǎn)利率為$r_t^f=\ln R_t^f$，定義主觀貼現(xiàn)率$\delta =?\ln \beta$，記$\Delta \ln c_{t+1}=\ln c_{t+1}?\ln c_t$，$\Delta$表示一階差分算子。那么
$$R^f=1/{\text{E}}_t\left[\beta {\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)}^{?\gamma }\right]$$

已知對(duì)于正態(tài)分布變量$z$，有$\text{E}(e^z)=e^{\text{E}(z)+(1/2){\sigma }^2(z)}$，代入上式后得
$$R_t^f={\left[e^{?\delta }{e}^{?\gamma {\text{E}}_t(\Delta \ln c_{t+1})+({\gamma }^2/2){\sigma }_t^2(\Delta \ln c_{t+1})}\right]}^{?1}$$

兩邊取對(duì)數(shù)后得：
$$r_t^f=\delta +\gamma {\text{E}}_t(\Delta \ln c_{t+1})?\frac{{\gamma }^2}{2}{\sigma }_t^2(\Delta \ln c_{t+1})$$

可以看到，在存在風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平依舊與不耐心程度$\delta$、消費(fèi)增長(zhǎng)率、冪參數(shù)$\gamma$有關(guān)。

2.2 風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整

利用協(xié)方差的定義，以及上一節(jié)中得出的無風(fēng)險(xiǎn)利率表達(dá)式$R^f=1/\text{E}(m)$，可以得到
$$\begin{array}{rl}p& =\text{E}(mx)\\ & =\text{E}(m)\text{E}(x)+\text{Cov}(m,x)\\ & =\frac{\text{E}(x)}{R^f}+\text{Cov}(m,x)\end{array}$$

這就是標(biāo)準(zhǔn)的貼現(xiàn)現(xiàn)值公式，協(xié)方差項(xiàng)就是風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整（risk adjustment）。

在上式中令資產(chǎn)$i$價(jià)格為$1$，那么payoff$x$就成了資產(chǎn)$i$的收益率$R^i$，可得：
$$\text{E}(R^i)?R^f=?R^f\text{Cov}(m,R^i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.3 異質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)不影響價(jià)格

在金融理論中，我們知道，在payoff中只有與貼現(xiàn)因子完全相關(guān)的成分會(huì)帶來額外的收益率，與貼現(xiàn)因子無關(guān)的異質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)（idiosyncratic risk）不產(chǎn)生溢價(jià)。由上一小節(jié)的內(nèi)容可知，當(dāng)$\text{Cov}(m,x)=0$時(shí)，不管${\sigma }^2(x)$有多大，始終有$p=\frac{\text{E}(x)}{R^f}$。

將$x$對(duì)$m$做回歸，可將它分解為
$$x=\text{proj}(x|m)+\epsilon$$
其中$\text{proj}(x|m)$就是與貼現(xiàn)因子完全相關(guān)的部分（systematic risk），殘差$\epsilon$是完全無關(guān)的異質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)（idiosyncratic risk）。

若回歸沒有常數(shù)項(xiàng)，那么根據(jù)回歸的知識(shí)，我們知道
$$\text{proj}(x|m)=\frac{\text{E}(mx)}{\text{E}(m^2)}m$$
依據(jù)定價(jià)方程，$\text{proj}(x|m)$的價(jià)格是
$$p(\text{proj}(x|m))=\text{E}(m?\frac{\text{E}(mx)}{\text{E}(m^2)}m)=\text{E}(mx)=p(x)$$

而按照回歸的正交條件，我們有$p(\epsilon )=\text{E}(m\epsilon )=0$，也即$\epsilon$的價(jià)格為$0$。

2.4 期望收益率的Beta表達(dá)式

我們來將$(2)$式進(jìn)一步改寫為：
$$\begin{array}{rl}\text{E}(R^i)& =R^f+\left(\frac{\text{Cov}(R^i,m)}{\text{Var}(m)}\right)\left(?\frac{\text{Var}(m)}{\text{E}(m)}\right)\\ & =R^f+{\beta }_{i,m}{\lambda }_m\end{array}$$
由回歸的知識(shí)可知，這里的$\beta$就是$R^i$對(duì)$m$的回歸系數(shù)。這又叫beta定價(jià)模型，${\lambda }_m$是風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格，與貼現(xiàn)因子的波動(dòng)率有關(guān)，而$\beta$是資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)量。

2.5 均值-方差前沿

可以再對(duì)$(2)$式進(jìn)行改寫，將協(xié)方差用相關(guān)系數(shù)表示：
$$\text{E}(R^i)=R^f?{\rho }_{m,R^i}\frac{\sigma (m)}{\text{E}(m)}\sigma (R^i)$$

而相關(guān)系數(shù)必在$[?1,1]$內(nèi)，因此有
$$\left|\text{E}(R^i)?R^f\right|\le \frac{\sigma (m)}{\text{E}(m)}\sigma (R^i)$$

上式給了我們很多關(guān)于$R^i$的期望和標(biāo)準(zhǔn)差的信息（如下圖）：

上圖說明了：

• 資產(chǎn)收益率的均值、方差必定落在一個(gè)以$\sigma (m)/\text{E}(m)$為斜率的楔形區(qū)域內(nèi)，此區(qū)域的邊界就是均值-方差前沿（mean-variance frontier）；
• 所有在前沿上的收益率都與貼現(xiàn)因子完全相關(guān)即$|{\rho }_{m,R^i}|=1$。在前沿上部分的資產(chǎn)，收益率與$m$完全負(fù)相關(guān)，反之亦然。
• 所有在前沿上的收益率相互之間完全相關(guān)（因?yàn)樗鼈兌寂c$m$完全相關(guān)）。這一點(diǎn)意味著，只要給出兩個(gè)在前沿上的收益率，就可以張成（span）（也叫合成，synthesize）任意的前沿收益率，比如給出一個(gè)前沿上的資產(chǎn)收益率$R^m$，那么所有在前沿上的資產(chǎn)收益率$R^{mv}$可以寫為$R^{mv}=R^f+a(R^m?R^f)$；
• 給定某個(gè)前沿收益率$R^{mv}$，它與$m$完全相關(guān)，那么必有$m=a+b{R}^{mv}$，由此可得$\text{E}(R^{mv})=R^f?R^f\text{Cov}(m,R^{mv})=R^f?b{R}^f\text{Var}(R^{mv})$，那么，beta表達(dá)式可改寫為
  $$\begin{array}{rl}\text{E}(R^i)& =R^f?R^f\text{Cov}(m,R^i)\\ & =R^f?b{R}^f\text{Cov}(R^{mv},R^i)\\ & =R^f+\left(\frac{\text{Cov}(R^{mv},R^i)}{\text{Var}(R^{mv})}\right)\left(?b{R}^f\text{Var}(R^{mv})\right)\\ & =R^f+{\beta }_{i,mv}\left[\text{E}(R^{mv})?R^f\right]\end{array}$$
  這個(gè)結(jié)果很重要，它表明，雖然資產(chǎn)收益率的均值和方差填滿了前沿內(nèi)部的空間，但收益率均值和$\beta$之間卻是線性關(guān)系；
• 我們可以將收益率分解為priced（或systematic）部分和residual（或idiosyncratic）的部分，如上圖所示。

2.6 前沿的斜率和股權(quán)溢價(jià)之謎

定義超額收益率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差之比為夏普比率（Sharpe ratio）：
$$\frac{\text{E}(R^i)?R^f}{\sigma (R^i)}$$
而均值-標(biāo)準(zhǔn)差前沿的斜率，就是可獲得的最大的夏普比率。利用冪效用函數(shù)，并假設(shè)消費(fèi)增長(zhǎng)率為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，可以得到
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{\text{E}(R^{mv})?R^f}{\sigma (R^{mv})}\right|=& \frac{\sigma [(c_{t+1}/c_t{)}^{?\gamma }]}{\text{E}[(c_{t+1}/c_t{)}^{?\gamma }]}\\ =& \sqrt{\exp \left[{\gamma }^2{\sigma }^2(\Delta \ln c_{t+1})\right]?1}\\ \approx & \gamma \sigma (\Delta \ln c)\end{array}$$
可以看出，經(jīng)濟(jì)越帶有風(fēng)險(xiǎn)（即增長(zhǎng)率波動(dòng)越大），或投資者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越高，那么前沿的斜率就會(huì)越大。

理論符合現(xiàn)實(shí)嗎？不符合！這就是著名的“股權(quán)溢價(jià)之謎”：在美國數(shù)據(jù)中，近50年的股票真實(shí)收益率均值達(dá)到了將近9%，標(biāo)準(zhǔn)差大約是16%，而國庫券真實(shí)收益率大約是1%，因此，歷史Sharpe ratio大約是0.5。但是，總體非耐用品和服務(wù)的消費(fèi)增長(zhǎng)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都是1%左右，根據(jù)估算，投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)達(dá)到了50之多！

股權(quán)溢價(jià)之謎有三種可能性：

人們的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)遠(yuǎn)比學(xué)者們計(jì)算出來的高；

過去50年的股票收益都是運(yùn)氣，所以遠(yuǎn)高于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償；

模型中有地方出錯(cuò)了，比如效用函數(shù)或總消費(fèi)增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)。

2.7 隨機(jī)游走和時(shí)變期望收益率

回到由一階條件導(dǎo)出的$(1)$式，如果投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（即$u(c)$為線性函數(shù)）或消費(fèi)沒有變化，假設(shè)payoff中沒有股利，即它就是下一期的價(jià)格，再假設(shè)在短期中$\beta$非常接近于$1$，那么就有
$$p_t={\text{E}}_t(p_{t+1})$$
這就是鞅（martingale）。它又等價(jià)于，價(jià)格的時(shí)間序列過程形式為：
$$p_{t+1}=p_t+{\epsilon }_{t+1}$$
若${\sigma }_t^2({\epsilon }_{t+1})$為常數(shù)，這又叫隨機(jī)游走（random walk）。

在短期中，鞅的性質(zhì)表明收益率是無法預(yù)測(cè)的。但在長(zhǎng)期中，情況有所不同：
$$\begin{array}{rl}{\text{E}}_t(R_t^f)?R^f=& ?\frac{\text{Cov}(m_{t+1},R_{t+1})}{{\text{E}}_t(m_{t+1})}\\ =& ?\frac{{\sigma }_t(m_{t+1})}{{\text{E}}_t(m_{t+1})}{\sigma }_t(R_{t+1}){\rho }_t(m_{t+1},R_{t+1})\\ \approx & {\gamma }_t{\sigma }_t(\Delta c_{t+1}){\sigma }_t(R_{t+1}){\rho }_t(m_{t+1},R_{t+1})\end{array}$$

上式表明，長(zhǎng)期收益率存在一定的可預(yù)測(cè)性：

如果收益率的條件方差${\sigma }_t(R_{t+1})$是時(shí)變的，那么收益率的條件期望也是時(shí)變的（會(huì)來回穿過代表了Sharpe ratio的直線），但這點(diǎn)對(duì)解釋沒有幫助，因?yàn)榭梢灶A(yù)期方差的變量并不意味著可以預(yù)測(cè)期望，反之亦然；

長(zhǎng)期收益率的預(yù)測(cè)可以由變化的風(fēng)險(xiǎn)${\sigma }_t(\Delta c_{t+1})$或變化的風(fēng)險(xiǎn)厭惡$ \gamma$解釋。

2.8 現(xiàn)值表示

如果不用簡(jiǎn)單的兩期模型，而是想將價(jià)格和未來所有現(xiàn)金流聯(lián)系起來，可以考慮投資者的長(zhǎng)期目標(biāo)
$${\text{E}}_t\sum _{j=0}^{\infty }{\beta }^{j}u(c_{t+j})$$

同樣使用一階條件，即可得
$$p_t={\text{E}}_t\sum _{j=1}^{\infty }{\beta }^j\frac{u^{\prime }(c_{t+j})}{u^{\prime }(c_t)}{d}_{t+j}={\text{E}}_t\sum _{j=1}^{\infty }{m}_{t,t+j}{d}_{t+j}$$

將上式做$p_t$和$p_{t+1}$的兩期差分，就可以得到兩期模型。而如果想反過來，從兩期模型推得無限期模型，則需要加一個(gè)transversality condition：${\lim }_{j\to \infty }{\text{E}}_t(m_{t,t+j}{p}_{t+j})=0$，它排除了“泡沫”（bubbles）的情況。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的资产定价核心等式及其应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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