反對稱矩陣的特有性質

反對稱矩陣(A = -A^T)

１．不存在奇數級的可逆反對稱矩陣.

２．反對稱矩陣的主對角元素全為零.

３．反對稱矩陣的秩為偶數

４．反對稱矩陣的特征值成對出現（實反對稱的特征值為０或純虛數）

５．反對稱矩陣的行列式為非負實數

６．設A為反對稱矩陣，則A合同于矩陣

(D = egin{bmatrix}
0 & 1 & & & & & & \
-1 & 0 & & & & & & \
& & ddots & & & & & \
& & & 0 & 1 & & & \
& & & -1 & 0 & & & \
& & & & & 0 & & \
& & & & & & ddots & \
& & & & & & & 0 \
end{bmatrix})

---

證明

數學歸納法可證6

因為Ａ為反對稱矩陣，設

(A = egin{bmatrix}
0 & a_{12} & dots & a_{1n}\
-a_{12} & 0 & dots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
-a_{1n} & -a_{2n} & dots & 0 \
end{bmatrix})

(1)當ｎ= 1時 結論顯然成立。

(2)當 n = 2時

若(a_{12} = 0)　結論顯然也成立。
若$a_{12}
ot=0 (，取
)U = egin{bmatrix}
0 & 1
-1 & a_{12}^{-1}
end{bmatrix}(
則有
)U^TAU =
egin{bmatrix}
0 & 1
-1 &0
end{bmatrix}$，
所以Ａ與Ｄ合同。

(3)假定對于階數小于ｎ時反對稱矩陣A合同于Ｄ

現證明對(n(n leq 3))的反對稱矩陣A也合同于D
若Ａ的第一行全為０，則有
(A = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & B \
end{bmatrix})
其中Ｂ是n-1階反對稱矩陣，則存在n-1階可逆矩陣Q與矩陣Ｄ，使得(Q^TBQ = D)
取(S = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & Q \
end{bmatrix})
則(S^TAS = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & Q^TBQ \
end{bmatrix})
再令(T = egin{bmatrix}
0 & 1 \
I_{n-1} & 0 \
end{bmatrix})
此處(I_{n-1}) 是n-1階單位矩陣
有(T^TS^TAST = egin{bmatrix}
Q^TBQ & 0 \
0 & 0 \
end{bmatrix})
取(P=ST)，則有
(P^TAP = egin{bmatrix}
Q^TBQ & 0 \
0 & 0 \
end{bmatrix})
則Ａ合同于Ｄ

2.若矩陣Ａ的第一行不全為０)
(A = egin{bmatrix}
0 & a_{12} & dots & a_{1n} \
-a_{12} & & & \
vdots & & B & \
-a_{1n} & & & \
end{bmatrix})
不妨設(a_{12}
ot= 0)，可對Ａ實施初等變換如下：
(A_2=Q_2^TAQ_2 =
egin{bmatrix}
a_{12}^{-1} & & & \
& 1 & & \
& & ddots & \
& & & 1 \
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
0 & a_{12} & dots & a_{1n} \
-a_{12} & & & \
vdots & & B & \
-a_{1n} & & & \
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
a_{12}^{-1} & & & \
& 1 & & \
& & ddots & \
& & & 1 \
end{bmatrix} = egin{bmatrix}
0 & 1 & dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \
-1 & & & \
vdots & & B_2 & \
-a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \
end{bmatrix})
再取(Q_j = egin{bmatrix}
1 & & & & & \
& 1 & dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & dots & 0 \
& & ddots & & & \
& & & 1 & & \
& & & & ddots & \
& & & & & 1 \
end{bmatrix} qquad s.t. 3 leq j leq n)
可得(A_n = Q_n^T dots Q_3^TA_2Q_3 dots Q_n = egin{bmatrix}
0 & 1 & \
-1 & 0 & \
& & B_n \
end{bmatrix})
由于所作為對稱式的變換，所以B_n依舊為反對稱矩陣，所以存在n-2階可逆矩陣S使得(S^TBS = egin{bmatrix}
0 & 1 & & & & & & \
-1 & 0 & & & & & & \
& & ddots & & & & & \
& & & 0 & 1 & & & \
& & & -1 & 0 & & & \
& & & & & 0 & & \
& & & & & & ddots & \
& & & & & & & 0 \
end{bmatrix})
令(Q = Q_2 dots Q_n)且(S' = egin{bmatrix}
I_2 & 0 \
0 & S \
end{bmatrix})，此處(I_2)為２階單位矩陣
則有(Q^TS^TASQ = egin{bmatrix}
0 & 1 & & & & & & \
-1 & 0 & & & & & & \
& & ddots & & & & & \
& & & 0 & 1 & & & \
& & & -1 & 0 & & & \
& & & & & 0 & & \
& & & & & & ddots & \
& & & & & & & 0 \
end{bmatrix})
所以Ａ是Ｄ的合同矩陣。

引理

由上可知(A=UDU^T)，由于Ｕ為滿秩（初等變換矩陣），所以Ａ的秩等于Ｄ的秩。
Ｄ的秩為偶數，所以Ａ的秩也為偶數，即，反對稱矩陣的秩為偶數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的反对称矩阵的性质（秩、合同矩阵）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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