算法专题（1）-信息学基本解题流程！
算法專題（1）-信息學基本解題流程！
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摘要
本次系列文章主要介紹信息學以下知識點
今天我們主要看信息學基本解題流程：
一、?基本解題流程
1.概述：
????信息學中解算法題跟數學中解應用題十分類似，大致分為以下四個步驟：題意理解與模型建立、算法設計與復雜度分析、代碼編寫、調試。
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2.?知識點梳理：
??題意理解與模型建立
????題意理解是算法設計的第一步，也是非常關鍵的一步。與做數學應用題一樣，需要將原題抽象成相對應的數學或邏輯形式，再參考不同的模型進行建模。常見的模型有搜索模型、組合數學模型、動態規劃模型、樹圖模型等。
??算法設計與復雜度分析
????設計算法與分析復雜度是整個解題過程中最重要的部分。設計算法時，需要考慮算法的正確性，尤其是對于貪心類型的題目求解時。分析復雜度可以大致確認算法能跑多快，在比賽中可以過多少個數據點。
????通常來講，計算機在一秒內的運算次數大致是107（千萬）到108（億）的量級，如果把n代入復雜度的表達式，得數大于107，就會有超時的可能。
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??代碼編寫
????寫代碼之前，在紙上寫一下偽代碼，既可以幫助整理思路，也可以加快代碼編寫的速度。在代碼的編寫過程中，變量命名規則，循環中左右括號的分布（左括號是否換號），縮進等需要有一個固定的格式。這樣不僅可以使得代碼更加美觀，也可在后續調試中減少不必要的麻煩。關鍵代碼部分應適當加些注釋，方便自己調試。
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??代碼調試
????在代碼編寫完成后，不能保證其完全正確，這時候，需要對其進行調試。調試過程大致分為以下幾點：
靜態查錯：不要運行程序。靜下心來，慢慢地用你的思路、框圖和偽代碼檢查代碼，看是否有打錯的或者漏打的內容。一般要先查局部，后查整體。（調試前先靜態查錯，如果忽略，很容易因為長時間找不到錯誤而造成緊張、焦慮的情緒，從而影響答題。）
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黑箱測試：測試示例。如果示例的結果都不對，就應該考慮算法的正確性，并檢查代碼是否寫錯。
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構造小數據：根據程序功能設計幾個數據，檢查程序是否計算出正確結果。
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構造極端數據：在時間允許的情況下，按照題目中的數據要求，嘗試構造極端數據，測試自己的程序。
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輸出中間結果：有時候程序的結果不正確，但通過直接觀察代碼無法找到問題，可在代碼中的關鍵部分輸出中間結果，以查看代碼中哪部分有錯。注意：在提交之前，需要將這些用于調試的輸出注釋掉。
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單步調試：有些情況下，在輸出中間結果調試時仍然找不到問題，可以進行單步調試。要注意耐心。
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3.?重難點分析：
- 題意必須理解透徹，模型需要建立正確。
- 算法設計時，需要把握其正確性（尤其是貪心算法）和可行性（算法復雜度）。
- 偽代碼很重要，代碼中適當的注釋也是必要的。代碼編寫時需注意細節。
- 代碼調試時，應先靜態后動態，先整體后局部。
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4.?例題解析：
例題1-1：數字三角形
【問題描述】有一個層數為n (n≤1000)?的數字三角形（如下圖）。現有一只螞蟻從頂層開始向下走，每走下一級時，可向左下方向或右下方向走。求走到底層后它所經過數?字的總和的最大值。
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| 1 6 ?3 8 ?2 ?6 2 ?1 ?6 ?5 3 ?2 ?4 ?7 ?6 | 最大值＝1＋3＋6＋6＋7＝23 |
【分析】本題題目描述比較清晰，可按照題目意思直接理解題意，也可構建模型。模型構建后，本題可抽象為一個圖，圖中共有n層頂點（n≤1000），每個頂點有一個權重，第i層的頂點有i個，其中第i層中第k的頂點與i+1層中第k和k+1個頂點有路徑。需要求解的是，從第1層走到第第n層的路徑中，經過頂點權重和最大的路徑的權重和。
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題意理解后，接下來就是要設計算法。本例題中，一個樸素的算法是直接模擬。先從(1,1)點開始，每次向下左下或者右下走，記錄路徑上的數字和，當走到第n層的時候結束，記錄可行解。繼續模擬，直到所有可能情況都被計算過。記錄最大的數字和，算法結束。
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上述算法簡單易懂，但是實現起來復雜度很高。對于i層第k個節點(i,k)，可以向左下走到(i+1,k)或向右下走到(i+1,k+1)，每個節點上都有兩種可行方案，每一次模擬需要走n個節點。那么需要模擬的次數是2(n-1)，也就是說，時間復雜度是O(2(n-1))。這種復雜度下，顯然不能在限定時間內出解。
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當一開始設計的算法復雜度無法滿足要求時，需要考慮更有效的算法。本例中，因為只要求解可行路徑上的最大頂點和，那么對于節點(i,k)只要保存走到這個節點時，已走路徑的最大頂點和，記作f(i,k)。由于螞蟻只能往下走，不會再回頭。對于節點(i,k)，它的最大值只可能從節點(i-1,k-1)或節點(i-1,k)中更新，即
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最后只要求解第n層中f的最大值即可。由于每個節點只會被更新一次，時間復雜度變為O(n*(n+1)/2)，即O(n2)。該方法運用的是動態規劃的思路，在之后動態規劃的章節會具體講述。
例題1-2：作業調度方案（NOIP2006）
【問題描述】我們現在要利用m臺機器加工n個工件，每個工件都有m道工序，每道工序都在不同的指定的機器上完成。每個工件的每道工序都有指定的加工時間。
每個工件的每個工序稱為一個操作，我們用記號j-k表示一個操作，其中j為1到n中的某個數字，為工件號；k為1到m中的某個數字，為工序號，例如2-4表示第2個工件第4道工序的這個操作。在本題中，我們還給定對于各操作的一個安排順序。
例如，當n=3，m=2時，“1-1，1-2，2-1，3-1，3-2，2-2”就是一個給定的安排順序，即先安排第1個工件的第1個工序，再安排第1個工件的第2個工序，然后再安排第2個工件的第1個工序，等等。
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一方面，每個操作的安排都要滿足以下的兩個約束條件。
(1)?對同一個工件，每道工序必須在它前面的工序完成后才能開始；
(2)?同一時刻每一臺機器至多只能加工一個工件。
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另一方面，在安排后面的操作時，不能改動前面已安排的操作的工作狀態。
由于同一工件都是按工序的順序安排的，因此，只按原順序給出工件號，仍可得到同樣的安排順序，于是，在輸入數據中，我們將這個安排順序簡寫為“1 1 2 3 3 2”。
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還要注意，“安排順序”只要求按照給定的順序安排每個操作。不一定是各機器上的實際操作順序。在具體實施時，有可能排在后面的某個操作比前面的某個操作先完成。
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例如，取n=3,m=2，已知數據如下：
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| 工件號 | 機器號/加工時間 | |
| 工序1 | 工序2 | |
| 1 | 1/3 | 2/2 |
| 2 | 1/2 | 2/5 |
| 3 | 2/2 | 1/4 |
則對于安排順序“1 1 2 3 3 2”，下圖中的兩個實施方案都是正確的。但所需要的總時間分別是10與12。
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當一個操作插入到某臺機器的某個空檔時（機器上最后的尚未安排操作的部分也可以看作一個空檔），可以靠前插入，也可以靠后或居中插入。為了使問題簡單一些，我們約定：在保證約束條件（1）（2）的條件下，盡量靠前插入。并且，我們還約定，如果有多個空檔可以插入，就在保證約束條件（1）（2）的條件下，插入到最前面的一個空檔。于是，在這些約定下，上例中的方案一是正確的，而方案二是不正確的。
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顯然，在這些約定下，對于給定的安排順序，符合該安排順序的實施方案是唯一的，請你計算出該方案完成全部任務所需的總時間。
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【輸入】
第一行為兩個數：m n（其中m<20表示機器數，n<20表示工件數）
第2行：2n個用空格隔開的數，為給定的安排順序。
接下來的2n行，每行都是用空格隔開的m個正整數，每個數不超過20。
其中前n行依次表示每個工件的每個工序所使用的機器號，第1個數為第1個工序的機器號，第2個數為第2個工序機器號，等等。后n行依次表示每個工件的每個工序的加工時間。可以保證，以上各數據都是正確的，不必檢驗。
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【輸出】
輸出只有一個正整數，為最少的加工時間。
【樣例輸入】
2 3
1 1 2 3 3 2
1 2
1 2
2 1
3 2
2 5
2 4
【樣例輸出】
10
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【分析】本題題目冗長，需耐心讀題，理解題意。本題中最重要的內容是兩個約束與兩個約定。
約束：
- 對同一個工件，每道工序必須在它前面的工序完成后才能開始；
- 同一時刻每一臺機器至多只能加工一個工件。
約定：
- 保證約束條件（1）（2）的條件下，盡量靠前插入
- 如果有多個空檔可以插入，就在保證約束條件（1）（2）的條件下，插入到最前面的一個空檔。
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????理解了這些約束與約定，本題就是一個簡單的模擬題。按照題目所給的安排順序進行模擬，對于順序中的每一個工件，根據約束與約定，插入到機器中。
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