前言

“皮之不存，毛將焉附”，函數的定義域是函數及其性質存在的基礎和依托；函數的定義說“函數是非空數集到非空數集的映射”，第一個非空數集就是定義域。所以一提起函數及其性質，我們往往先想到的就是函數的定義域。如果一個函數的定義域是空集，那么這個函數即使給出了所謂的解析式，也是空函數，沒有研究的價值，因此數學老師常常強調的一句話就是“定義域優先”。

不同形式

自然定義域，比如給定(g(x)=ln(x-1))，則使得解析式有意義的值都屬于定義域，即解(x-1>0)得到定義域為((1,+infty))；

限定定義域，比如已知函數(f(x)=2x^2-3sinx)，(xin [0，cfrac{pi}{2}])，則這就是限定定義域；

實際問題定義域，比如線段長度為(x)，則至少必須滿足(x>0)；

給出方式

1、直接給出(限定定義域)；如函數(f(x)，xin D)

2、以函數解析式的形式給出(自然定義域)；如已知函數(f(x)=lgcfrac{x+2}{x-2})，求其定義域;要知道這個函數的定義域，我們自然需要解不等式(cfrac{x+2}{x-2}>0)，由穿針引線法可得定義域為(x)(in)((-infty,-2))(cup)((2,+infty))。

3、以圖像的形式給出，如圖所示，函數圖像向(x)軸作正射影，就得到定義域；

向(y)軸作正射影，就得到值域。當然，你如果會用圖像，那么由此圖像還可以解不等式(f(x)>0)或(f(x)leq 0)

4、以實際問題給出，比如(x)為某個線段的長度，則隱含(xge 0)，自然就不能取負值的。

求定義域

如果給定函數解析式，求定義域，轉化為解不等式(組)；

已知函數(f(x)=cfrac{sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)})，求其定義域；

分析：要使得解析式有意義，須滿足(egin{cases}x^2-1ge 0\x-1>0\ln(x-1)
eq 0end{cases})，從而解得({xmid x>1且x
eq 2})，即定義域為((1，2)cup(2，+infty)).

復合函數的定義域

已知函數(f(x))的定義域是([-1，1])，求函數(f(2x+1))的定義域；

分析：解決這類題目需要牢牢抓住兩點：其一接受對應法則(f)作用的(x)和(2x+1)是處于對等位置的，

其二不論是給定函數的定義域還是求解函數的定義域，都是針對單獨的自變量(x)而言，

據此可知由于(-1leq xleq 1)，故(-1leq 2x+1leq 1)，解得函數(f(2x+1))的定義域是(xin [-1，0])。

已知函數(f(x)=lgcfrac{x+2}{2-x}),求函數(f(cfrac{x}{2})+f(cfrac{2}{x}))的定義域；

分析：由上知，函數(f(x))的定義域為(xin(-2，2))，故和自變量(x)對等的(cfrac{x}{2})和(cfrac{2}{x})也必須在這個范圍內，

則有(egin{cases} -2<cfrac{x}{2}<2 \ -2<cfrac{2}{x}<2 end{cases})，解得(xin (-4，-1)cup(1，4))。

已知函數(f(x+1))的定義域是([0，1])，求函數(f(2^x-2))的定義域。

分析：這里同樣你得清楚(x+1)和(2^x-2)是對等的，先由(xin[0，1])，

計算得到(1leq x+1leq 2)，故(1leq 2^x-2leq 2)，

解得(3leq 2^xleq 4)，同時取以2為底的對數得到(log_2^3leq xleq 2)，

則所求定義域是(xin [log_2^3，2])。

分段函數的定義域

已知函數(f(x)=egin{cases}x^2+4x，&xge0\4x-x^2，&x<0end{cases})，求其定義域；

分析：分段函數的定義域是各段函數的定義域的并集，當然值域也是各段函數的值域的并集；

抽象函數的定義域(往往和復合函數不分家)

已知函數(f(2x+1))的定義域是([-1，1])，求函數(f(x))的定義域；

分析：由上面的例子分析可知，所給函數的定義域是([-1，1])，即函數(f(2x+1))的自變量(x)的取值范圍是([-1，1])，

故內函數(2x+1)的取值范圍這樣求解，由(-1leq x leq 1)，得到(-2leq 2x leq 2)，

所以(-1=-2+1leq 2x+1 leq 2+1=3)，又由于(2x+1)和(x)對等(你可以理解為這兩個接受同樣的紀律約束也行)，

所以(f(x))的(x)的取值范圍應該是(-1leq xleq 3)，故函數(f(x))的定義域是([-1，3])。

【2019屆高三理科函數及其表示課時作業第15題】已知函數(f(x^2-3)=lgcfrac{x^2}{x^2-4})，則(f(x))的定義域為____________。

分析：本題目的定義域求解應該考慮兩層要求，

其一需要解析式(lgcfrac{x^2}{x^2-4})有意義，

即(cfrac{x^2}{x^2-4}>0)，解得(x<-2)或(x>2①)；

其二，令(x^2-3=t)，則(tge -3)，則(x^2=t+3)，(x^2-4=t-1)，

故原函數可以改寫為(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))，

即(f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))，

則在(xge -3)時，還必須(cfrac{x+3}{x-1}>0)，解得(x<-3)或(x>1)，

故所求定義域必須同時滿足條件

(left{egin{array}{l}{x<-2，x>2}\{xge -3}\{x<-3，x>1}end{array}ight.)，故定義域為(x>2)，即((2，+infty))；

總結：上述的解法是錯誤的，原因是解析式右端(lgcfrac{x^2}{x^2-4})中的(x)與(f(x))中的(x)的內涵不一樣，

(f(x))中的(x)與(f(x^2-3))中的(x^2-3)的整體是對等的，故需要先等價轉化得到函數的解析式。

【正解】令(x^2-3=t)，則(tge -3)，則(x^2=t+3)，(x^2-4=t-1)，

故原函數可以改寫為(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))，

即(f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))，

則在(xge -3)時，還必須(cfrac{x+3}{x-1}>0)，解得(x<-3)或(x>1)，

故所求定義域必須同時滿足條件

(left{egin{array}{l}{xge -3}\{x<-3，x>1}end{array}ight.)，故定義域為(x>1)，即((1，+infty))；

三角函數定義域

【求三角不等式和其他不等式的交集】求函數(f(x)=sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-cfrac{1}{2}))的定義域。

分析：由題目可知，(|x|leq 5①)，且(sinx>cfrac{1}{2}②)

解①得到(-5leq xleq 5)；解②得到(2kpi+cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，

二者求交集，如右圖所示，

得到定義域為([-5，-cfrac{7pi}{6})cup (cfrac{pi}{6}，cfrac{5pi}{6}))。

影響要素

當函數的圖像發生變換時，其定義域和值域常常會隨之發生變化，舉例說明如下：

比如已知函數(f(x))的定義域是([1，5])，則(xin [1，5])

平移變換：則(f(x+2))的定義域就變成了([-1，3])，原因是(1leq x+2leq 5)，解得(xin [-1，3])；

伸縮變換：則(2f(x))的定義域不做變化。

周期變換：則(f(2x))的定義域就變成了([cfrac{1}{2}，cfrac{5}{2}])，原因是(1leq 2xleq 5)，解得(xin[cfrac{1}{2}，cfrac{5}{2}])；

易錯警示

當題目中明確要求定義域時，一般學生都不會出錯，但是在解題中學生又非常容易犯錯誤，主要原因還是缺乏定義域優先考慮的意識。一般來說，只要是研究函數的問題，不管題目是否要求我們求解定義域，都應該先確定函數的定義域，否則研究的函數就是無源之水，無本之木。

【2017鳳翔中學高三理科第二次月考第9題】若函數(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上為減函數，則實數(a)的取值范圍是【】

$A.[3，+infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令(g(x)=6-ax)，像這類題目既要考慮單調性，還要考慮定義域，學生常犯的錯誤就是只考慮單調性而不顧及定義域。

由題目可知必有(a>0)，故函數(g(x))單調遞減，考慮定義域時只要最小值(g(2)>0)即可，解得(6-2a>0)，即(a<3)，

再考慮外函數必須是增函數，故(a>1)，綜上可知，解得(1<a<3)，故選(D)。

引申：原題目改為在([0，2))上為減函數，則實數(a)的取值范圍是(ain (1，3])。

典例剖析

如果題目給出了函數的定義域，那么這時往往會轉而求函數的其他性質，或者將已知的定義域轉化為其他的命題。

【已知定義域為(R)求參數的取值范圍】已知函數(f(x)=cfrac{mx-1}{mx^2+4mx+3})的定義域為(R)，求(m)的取值范圍；

分析：由題可知，分母函數(y=mx^2+4mx+3
eq 0)對任意(xin R)都成立，分類討論如下：

①當(m=0)時，(y=3
eq 0)對任意(xin R)恒成立，故滿足題意；

②當(m
eq 0)時，結合分母函數的圖像可知，必須滿足(left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta <0}end{array}ight.)，

即(left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta=(4m)^2-4 imes 3m<0}end{array}ight.)，解得(0<m<cfrac{3}{4})；

綜上所述，(m)的取值范圍為([0，cfrac{3}{4}))；

<!------

【已知定義域或值域為$R$求參數的取值范圍】已知函數$f(x)=ln(x^2+2ax-a)$，

①如果函數的定義域是$R$，求參數$a$的取值范圍；

預備：先想一想，這個函數的定義域應該怎么求解？

分析：由于函數的定義域是$R$，說明對任意的$xin R$，都能使得$g(x)=x^2+2ax-a>0$，

轉化為二次函數恒成立問題了，(此時至少可以考慮數形結合或者恒成立分離參數)

這里用數形結合，函數$g(x)$開口向上，和$x$軸沒有交點，則$Delta <0$，

即$Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)<0$，解得$ain (-1，0)$。

②如果函數的值域是$R$，求參數$a$的取值范圍；

分析：如右圖所示，要使得函數$f(x)$的值域是$R$，說明內函數$g(x)=x^2+2ax-a$必須要能取遍所有的正數，結合下圖，

如果有一部分正實數不能取到，那么函數$f(x)$的值域就不會是$R$，這樣只能是函數$g(x)$的$Delta ge 0$，

而不能是$Delta <0$，注意現在題目要求是值域為$R$，而不是定義域為$R$，

因此必須滿足條件$Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)ge 0$，解得$ain {amid aleq -1 ，age 0}$。

下圖是參數$ain [-3，3]$時的兩個函數圖像的動態變化情況；


下圖是參數$ain (-1，0)$時的兩個函數圖像的動態變化情況；


函數$y=lg(x^2-2x+a)$的值域不可能是【】

$A.(-infty，0]$ $B.[0，+infty)$ $C.[1，+infty)$ $D.R$

分析：對照右下圖可知，若參數$a$的取值能使得函數$g(x)=x^2-2x+a$取遍所有的正實數，

則函數$y=lgg(x)=lg(x^2-2x+a)$的值域為$R$，若不能取遍取遍所有的正實數，

則其值域可能為$[0，+infty)$或者$[1，+infty)$，但是就是不可能為$(-infty，0]$，故選$A$。

----->

【2016南京模擬】(f(x))是定義在((0，+infty))上的單調增函數，滿足(f(xy)=f(x)+f(y))，(f(3)=1)，當(f(x)+f(x-8)leq 2)時，求(x)的取值范圍。

分析：(f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9)=2)， (f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9))，

等價轉化為(egin{cases}x>0\x-8>0\x(x-8)leq 9end{cases})， 解得(8<xleq 9).

易錯： 如果 (f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9))，轉化得到(egin{cases}x(x-8)>0\x(x-8)leq 9end{cases})，這樣的轉化往往是不等價的，因為(x(x-8)>0)包含了(x>0，x-8>0)和(x<0，x-8<0)兩種情形，由此我們得到的經驗是求定義域是一般對函數的形式不做變形，

因為我們大多做不到等價變形；比如給定函數(y=lgx^2)，我們常常會化為(y=2lgx)，殊不知這樣的變形是錯誤的，(y=lgx^2)的定義域是((-infty，0)cup(0，+infty))，還是偶函數，而(y=2lgx)的定義域是((0，+infty))，沒有奇偶性，其實(y=lgx^2=2lg|x|)，有人就納悶了，我們平時不是經常用公式(log_a;b^n=nlog_a;b)，對，沒錯，但是你注意過公式中的字母取值嗎？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的函数的定义域的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。