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目錄

?

行列式

定義

一階行列式

二階行列式

三階行列式

n階行列式

性質

1.轉置

2.互換兩行（列），行列式變號

3.某行列的公因子可以提到行列式外面

4.若有兩行（列）成比例，則行列式為0

5.行列式可以按行（列）拆開計算

6.某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不變

特殊的行列式

1.對角行列式

2.上（下）三角行列式

3.分塊三角行列式

3.范德蒙行列式

余子式

表示

定義

相關定理

展開定理與零值定理

線性方程組

相關定理

克拉默法則

齊次方程組的解

矩陣

矩陣的運算

四則運算

逆矩陣

定義

增廣矩陣

定義

伴隨矩陣

定義

技巧

運算公式

例題

分塊矩陣

定義

劃分方式

運算

矩陣的初等變換

初等行變換

初等列變換

矩陣共價

行階梯型矩陣

定義

行最簡矩陣

標準型矩陣

?初等矩陣（也叫做可逆矩陣）

定義

與矩陣乘法的關系

性質

初等變換的逆變換

性質 1

性質2

推論

應用（求逆矩陣）

?

?例題1

應用2

?例題2

應用3

例題3

例題4

矩陣的秩

定義

舉例

定理2

證明定理2

性質

例題1

例題2

例題3

例題4

線性方程組

表達式

定理

線性方程組解的判斷

例題1

例題2

解法

注意事項

向量組的線性相關性

向量組及其線性組合

?注意

定義

例題1

例題2

向量組的線性相關性

定義

性質

?例題1

例題2

向量組的秩

歸納

定義

例題1

最大無關組的等價定義

證明

最大無關組的意義

例題2

線性方程組解的結構

解向量的定義

齊次線性方程組解的性質

基礎解系

證明

例題1

例題2

非齊次線性方程組解的性質

例題1

向量空間

定義

注意

例題1

例題2（其中P為過渡矩陣）

例題3

相似矩陣及二次型

施密特正交化法

例題1

例題2

特征值與特征向量

定義

注意

例題1

? 題型一

題型二

題型三

相似矩陣

定義

性質

?例題1

例題2

例題3

矩陣的相似對角化

定義

條件

例題1

?例題2

正交矩陣

定義

?分析

性質

例題1

例題2

二次型及其標準型

?二次型矩陣定義

例題1

二次型中心任務

合同矩陣定義

性質

定律及歸納

解題步驟

---

行列式

定義

一階行列式

|a|=a

二階行列式

對角線法（紅色為+，藍色為-）

三階行列式

對角線法（與二階行列式相同紅色為+，藍色為-）

n階行列式

具有n！項

思路：取項->符號->求和

在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數

例如

注意：三階以上對角線法則不適用

例題

需要取得不同行并且不同列的數來解題（類似數獨）

性質

1.轉置

即

例如

2.互換兩行（列），行列式變號

3.某行列的公因子可以提到行列式外面

?

4.若有兩行（列）成比例，則行列式為0

5.行列式可以按行（列）拆開計算

6.某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不變

由此可以得到一個計算行列式的方法，即某行（列）存在負數，可以想辦法利用其他行（列）的倍數將其消掉便于計算

特殊的行列式

1.對角行列式

2.上（下）三角行列式

使用條件

上（下）三角區外的值為0

歸一法

3.分塊三角行列式

例題

3.范德蒙行列式

余子式

表示

定義

將行列式中所求的元素的行和列劃去后形成的新的行列式

舉例

注意，代數余子式的值與本身所在的列無關

相關定理

展開定理與零值定理

注意，展開定理常在解矩陣時化用改變系數

例如下面兩道題

線性方程組

相關定理

克拉默法則

形成系數行列式，求誰就將誰的系數進行替換

二元形式

一般形式

齊次方程組的解

矩陣

矩陣的運算

注意：只有行列式才能恒等代換

四則運算

1.加法：同型矩陣可以相加

2.入乘

3.乘法

4.轉置

5.方陣的行列式

方陣：行和列相等的矩陣

例題（合理利用轉置）

逆矩陣

定義

增廣矩陣

定義

線性方程組的系數矩陣加上最后的值

伴隨矩陣

定義

技巧

二階伴隨矩陣可以采取主對角線互換 副對角線變號

運算公式

1.

2.

3.

4.

5.

例題

分塊矩陣

定義

將一個矩陣用若干條橫線和豎線分成許多個小矩陣，將每個小矩陣稱為這個矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

劃分方式

行分塊

列分塊

運算

1.加法運算

2.入乘

3.乘法

4.轉置

首先對行列進行轉置，然后每一個塊都要進行轉置

5.分塊對角陣

性質

例題

規律

（1）A,B分別求逆，C變為-C，并且乘以A的逆和B的逆

（2）O在副對角線分塊不變，O在主對角線，OC互換

例題

矩陣的初等變換

初等行變換

初等列變換

矩陣共價

行等價，列等價，等價

例如（打不出等價，只能手寫）

行階梯型矩陣

定義

1.階梯線，線下方全是0

2.每個臺階只有1行

3.階梯線的豎線后是非0行的第一個非0元素

行最簡矩陣

非0行第一個元素都是1

非0元素所在的列其他元素都是0

標準型矩陣

左上角是一個單位矩陣

注：標準型矩陣由m,n,r三個參數決定，r是行階梯矩陣的非零行數

?初等矩陣（也叫做可逆矩陣）

定義

單位矩陣（E）經一次初等變換形成的矩陣

與矩陣乘法的關系

性質

初等變換的逆變換

性質 1

性質2

推論

應用（求逆矩陣）

?例題1

應用2

?例題2

應用3

例題3

例題4

矩陣的秩

定義

在m*n矩陣A中，任意決定α行和β列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

子式個數計算

注意，k階子式為行列式

舉例

選定1，2行和2，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式就是矩陣A的一個2階子式。

二階子式個數共有個

定理2

注意：

并不是所有的D都需要等于0，只需存在1個即可

R(A)=r，若A中有個s階非零子式，則s<=r；若A所有t階子式為0，則r<t

證明定理2

性質

例題1

例題2

例題3

例題4

線性方程組

表達式

一般式

向量方程

向量線性組合的方式

如圖從上往下的順序依次是這三種表達方式

定理

線性方程組解的判斷

例題1

例題2

解法

注意事項

向量組的線性相關性

向量組及其線性組合

?注意

行向量和列向量是兩個不同的向量，通常情況下，行向量用小寫的字母或者希臘字母表示，列向量表示為他們的轉置，如果題目沒有特別說明，則默認為列向量

定義

1、n個有次序的數所組成的向量稱為n維向量，這n個數被稱為該向量的n個分量，第i個數被稱為第i個分量

分量全為實數，則稱為實向量；反之則為復向量

2、多個同階行（列）向量組成的集合稱為向量組；

任意一個矩陣和有限個有序向量組一一對應

3、

4、

例如

推廣

5、若向量A和B能互相線性表示，則這兩個向量等價

6、

7、

例題1

例題2

向量組的線性相關性

定義

性質

1、

2、幾何意義：線性相關的向量共面

3、滿秩向量組線性無關

4、

5、

?例題1

例題2

設A是n*m矩陣，B是m*n矩陣，n<m，E是單位矩陣，且AB=E，求證：B的列向量線性無關

法一

法二

向量組的秩

歸納

（字有點丑哈）

定義

例題1

最大無關組的等價定義

證明

最大無關組的意義

1、掌握了最大無關組，就掌握了向量組全體，特別的，如果A為無限向量組時，可以用有限向量組（最大無關組）來表示

2、凡是對有限向量組有關的理論，都可以通過最大無關組過渡到無限向量組的情況中去

例題2

線性方程組解的結構

解向量的定義

齊次線性方程組解的性質

推論

已知Ax=0的n個解向量，可以通過解向量的排列組合得到更多的解

基礎解系

證明

例題1

例題2

非齊次線性方程組解的性質

例題1

向量空間

定義

注意

例題1

例題2（其中P為過渡矩陣）

例題3

相似矩陣及二次型

施密特正交化法

修正（第一個應該是內積）

由于實在是手繪能力不行，此圖為搬運

例題1

例題2

特征值與特征向量

定義

注意

k重特征值最多有k個線性無關的特征向量

屬于不同特征值的特征向量線性無關

例題1

題型一

題型二

題型三

相似矩陣

定義

性質

?例題1

例題2

例題3

矩陣的相似對角化

定義

條件

例題1

?例題2

正交矩陣

定義

?分析

性質

例題1

例題2

二次型及其標準型

?二次型矩陣定義

?

例題1

二次型中心任務

?

合同矩陣定義

?

性質

定律及歸納

解題步驟

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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