BSM formula 的推導（解隨機微分方程）

一：前期推導（SDE）

二：引入期權與分布

這里引入期權的概念，在到期日，認購期權方可以選擇是否行權，也就是是否選擇交割標的。交割標的和現金交割的價值是一樣的，都是到期日標的價格和行權價之間的區別。以看漲期權為例，如果標的價格高于行權價，那么認購方肯定選擇交割，收益是S-K，但如果標的價格低于行權價，則不選擇交割，收益是0。由于公平交易，到期日的收益和期權的價格是一樣的，那么看漲期權到期日的價格可以表示為：

在不解方程的情況下，期權的定價模型可以理解成未來payoff的期望值（基于給定的信息）：

嚴謹一點，這里S有T的下標，表示到期日的價格，并且期望值是對過去已知信息計算的期望。在Black-Scholes定價模型中，給不給定過去的信息不重要（唯一重要的就是S，還有就是已知的σ和μ），因為S背后的過程是Martingale（未來的期望值實際上就等于現在的payoff）（c背后的過程也是Martingale，這個不重要，重要的是定價）。

如果要得出定價模型，就必須要知道分布（以及可不可積（一般都是可積的，因為期權價格都是有限的，這才符合經濟規律））。而價格服從對數正態分布，具體如下：

問題是，為什么價格必須服從這個分布？可以理解序列的方差隨著時間增大而增大。但這個分布的"無風險利潤"非常反直覺，無風險利潤不是r嗎？為什么多出來一個方差項？

這是由于對數正態分布的原因：

方差項是琴生不等式的調整項。

上述對數正態分布的概率分布函數是：

因此：

可以拆成兩部分來計算，一部分是I1，就是xdF(x)（標的期望）部分。另一部分是I2，也就是KdF(x)（行權價期望）部分。第二部分比較簡單，使用代入法：

即可得出：

Φ是正態累積分布函數。第一部分的話，使用的代入公式是：

這是由于積分里面多了個x，剛好和分母的x消掉：

但使用代入法時多出來一個x。

如果使用u帶入，則這個x是無法消除的。但使用v的話，一通操作下來，將會變成：

這么下來，x剛好抵消掉，得：

因此：

即得到Black Scholes Merton期權定價模型。

總結

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