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编程问答

7.4 倒向随机微分方程-Feynman-Kac公式

發布時間：2023/12/31 编程问答 46 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 7.4 倒向随机微分方程-Feynman-Kac公式小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

7.4 倒向隨機微分方程-Feynman-Kac公式

隨機微分方程與拋物線型或橢圓型的二階偏微分方程之間存在著內在的關系。這是非常自然的，因為從物理學的角度來看，隨機微分方程和這兩種偏微分方程描述了現實世界中一種或另一種“擴散”類型的現象。

這種關系在Ch5（動態規劃）的最優隨機控制的背景下得到廣泛的研究。
本節使用SDEs和BSDEs的解來表示一些二階拋物線和橢圓偏微分方程的解，被稱為費曼-卡茨型公式。

前情提要

通過SDE表示PDE的粘性解
通過BSDE表示PDE的粘性解

4.1 通過SDE表示PDE的粘性解

二階線性拋物PDE

線性拋物PDE-終值問題（Cauchy問題）

線性拋物PDE-終值邊值問題

橢圓PDE

線性的橢圓PDE-邊值問題

非線性的橢圓PDE-終值邊值問題

4.1.1 二階線性拋物PDE

考慮初\邊值問題(1)
${ut+Lu=fin?UTu=0on??U×[0,T]u=gon?U×{t=0}\left\{\begin{aligned} u_{t}+L u=f & \text { in } U_{T} \\ u=0 & \text { on } \partial U \times[0, T] \\ u=g & \text { on } U \times\{t=0\} \end{aligned}\right.$
其中， $U_{T} \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $\rightarrow \mathbb{R}$ 給定, 以及 $\bar{U}_{T} \rightarrow \mathbb{R}$ 未知, $u = u (x, t)$ . $L$ 表示任意時間 $t$ 的二階偏微分算子, 有以下發散形式(2)
$u=-\sum_{i, j=1}^{n}\left(a^{i j}(x, t) u_{x_{i}}\right)_{x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x, t) u_{x_{i}}+c(x, t) u$
或者非發散形式(3)
$u=-\sum_{i, j=1}^{n} a^{i j}(x, t) u_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x, t) u_{x_{i}}+c(x, t) u$
對于給定的系數 $aij,bi,c(i,j=1,…,n)a^{i j}, b^{i}, c(i, j=1, \ldots, n)$ .

線性拋物PDE的定義

考慮以下線性拋物PDE的Cauchy問題(4.1) :

{vt+∑i,j=1naij(t,x)vxixj+∑i=1nbi(t,x)vxi+c(t,x)v+h(t,x)=0(t,x)∈[0,T)×Rn,\left\{\begin{array}{c}v_{t}+\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}(t, x) v_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}(t, x) v_{x_{i}}+c(t, x) v+h(t, x)=0 \\ (t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n},\end{array}\right.

其中

aij,bi,c,h:[0,T]×Rn→Ra_{i j}, b_{i}, c, h:[0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}

和$g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}

。 設

b(t, x)=\left(b_{1}(t, x), \ldots, b_{n}(t, x)\right)^{\top}

。 假 設 對 某

存 在 一 個

\sigma: [0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times m}$使得(4.2)

\equiv\left(a_{i j}(t, x)\right)=\frac{1}{2} \sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top},\forall(t, x) \in[0, T] \times \mathbb{R}^{n}

則(4.1)可以寫為以下形式(4.3):

{vt+12tr?{σ(t,x)σ(t,x)?vxx}+?b(t,x),vx?+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x),\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+c(t, x) v+h(t, x)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n}, \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x),\end{array}\right.

假設條件

需要注意的是，（ $a_{ij}(t,x)$ ）可能會退化。因此，一般來說，（4.3）可能沒有經典的解。然而，我們有以下結果，這是經典的費曼-卡克公式的一個推廣版本。

費曼-卡克公式

注意，在經典的費曼-Kac公式中，方程（4.3）是非退化的，函數h只需要滿足一個較弱的條件(見Karatzas-Shreve)。此外，第五章定理3.3也給出了定理4.1的確定性版本。

隨機微分方程-與偏微分方程的關聯

考慮拋物方程的終值-邊值問題(4.8):

{vt+12tr?{σ(t,x)σ(t,x)?vxx}+?b(t,x),vx?+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣?G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x),\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+c(t, x) v+h(t, x)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x), \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x),\end{array}\right.

其中

\subseteq \mathbb{R}^{n}

是有

C^{1}

邊界

?G\partial G

的有界區域。定義(4.9)

Ψ(t,x)={g(x),(t,x)∈{T}×Gˉψ(t,x),(t,x)∈[0,T)×?G\Psi(t, x)=\left\{\begin{array}{lc}g(x), & (t, x) \in\{T\} \times \bar{G} \\ \psi(t, x), & (t, x) \in[0, T) \times \partial G\end{array}\right.

費曼-卡克公式

4.1.2 橢圓PDE

考慮邊值問題
${Lu=fin?Uu=0on??U\left\{\begin{aligned} L u=f & \text { in } U \\ u=0 & \text { on } \partial U \end{aligned}\right.$
其中 $U$ 是 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 的有界開集，以及 $\bar{U} \rightarrow \mathbb{R}$ 未知, $u = u (x)$ . $\rightarrow \mathbb{R}$ 給定, $L$ 表示二階偏微分算子(2)
$u=-\sum_{i, j=1}^{n}\left(a^{i j}(x) u_{x_{i}}\right)_{x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x) u_{x_{i}}+c(x) u$
或者(3)
$u=-\sum_{i, j=1}^{n} a^{i j}(x) u_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x) u_{x_{i}}+c(x) u$
對于給定的系數函數 $aij,bi,c(i,j=1,…,n)a^{i j}, b^{i}, c(i, j=1, \ldots, n)$

橢圓PDE的定義

現在，讓我們說明橢圓偏微分方程的結果。我們將考慮以下邊值問題(4.12)：

{12tr?{σ(x)σ(x)?vxx}+?b(x),vx?+c(x)v+h(x)=0,x∈Gv∣?G=ψ(x)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(x) \sigma(x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(x), v_{x}\right\rangle+c(x) v+h(x)=0, \quad x \in G \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(x)\end{array}\right.

其中，

\subseteq \mathbb{R}^{n}

是有

C^{1}

邊界

?G\partial G

的有界區域。

費曼-卡克公式

考慮以下非線性橢圓PDE(4.18):

{vt+F(t,x,v,vx,vxx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣?G=ψ(t,x)v∣t=T=g(x)\left\{\begin{array}{l}v_{t}+F\left(t, x, v, v_{x}, v_{x x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x) \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x)\end{array}\right.

其中

\subseteq \mathbb{R}^{n}

是有

C^{1}

邊界

?G,F:[0,T]×\partial G, F:[0, T] \times

\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathcal{S}^{n} \rightarrow \mathbb{R}

的有界區域, 并且

ψ\psi

和

g

和之前一致。假設

F

可表示為(4.19):

F(t,x,v,p,P)=inf?u∈U{12tr?{σ(t,x,u)σ(t,x,u)?P}+?b(t,x,u),p?+c(t,x,u)v+h(t,x,u)}(t,x,v,p,P)∈[0,T]×G×R×Rn×Sn\begin{array}{r} F(t, x, v, p, P)=\inf _{u \in U}\left\{\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x, u) \sigma(t, x, u)^{\top} P\right\}\right. \\ \quad+\langle b(t, x, u), p\rangle+c(t, x, u) v+h(t, x, u)\} \\ (t, x, v, p, P) \in[0, T] \times G \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathcal{S}^{n} \end{array}

對于某一函數

σ,b,c\sigma, b, c

, 和

h

以及某度量空間

U

。(4.19)給出了在

(v, p, P)

凸的泛函總類中非常大類的非線性泛函

F

。

假設
費曼-卡克公式

以上情況可以進一步推廣。如果F在 $(v, p, P)$ 中不一定是凹的，在某些情況下，它可以表示為 $(v, p, P)$ 中的某些函數的supinf或infsup。然后方程（4.18）是一些二人零和隨機微分對策對應的上下Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)方程。在這種情況下，我們可以將（4.18)的粘性解表示為這種微分對策的下值函數或上值函數。

然而，我們立即意識到，這些表示會變得越來越復雜。注意，表示（4.21）是復雜空間上復雜函數的初始值，復雜空間通常是一個無限維空間。因此，我們將不會朝著這個方向進一步發展。相反，在下面的小節中，借助BSD方程，我們將推導出某些類非線性偏微分方程的一些更簡單的表示公式。

4.2 通過BSDE表示PDE的粘性解

非線性拋物PDE-終值問題（Cauchy問題）

非線性拋物PDE-終值邊值問題

非線性的橢圓PDE-終值邊值問題

4.2.1 非線性拋物PDE

在本小節中，我們將通過BSDEs來表示一些非線性偏微分方程的解。
我們從以下柯西問題(4.24)開始：

{vt+12tr?{σ(t,x)σ(t,x)?vxx}+?b(t,x),vx?+h(t,x,v,σ(t,x)?vx)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x)\left\{\begin{aligned} v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+h\left(t, x, v, \sigma(t, x)^{\top} v_{x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n}, \\\left.v\right|_{t=T}=g(x) \end{aligned}\right.

注意，上面的方程在

v

和

v_x

中是非線性的，但

v_x

中的非線性是一種特殊形式(如果a是可逆方陣，則為一般)。為使得它的解是由一個BSDE來表示是必要的。

假設
費曼-卡克公式

考慮以下終值邊值問題(4.40):

{vt+12tr?{σ(t,x)σ(t,x)?vxx}+?b(t,x),vx?+h(t,x,v,σ(t,x)?vx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣?G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x)\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+h\left(t, x, v, \sigma(t, x)^{\top} v_{x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x), \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x)\end{array}\right.

其中

\subseteq \mathbb{R}^{n}

是有

C^{1}

邊界

?G\partial G

的有界區域。

費曼-卡克公式

4.2.2 非線性橢圓PDE

我們討論一個更微妙的情況，即區域 $G$ 中的非線性橢圓方程。我們考慮以下問題(4.43)：
${12tr?[σ(x)σ(x)?vxx]+?b(x),vx?+h(x,v,σ(x)?vx)=0,x∈Gv∣?G=ψ(x)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left[\sigma(x) \sigma(x)^{\top} v_{x x}\right]+\left\langle b(x), v_{x}\right\rangle+h\left(x, v, \sigma(x)^{\top} v_{x}\right)=0, x \in G \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(x)\end{array}\right.$

假設
費曼-卡克公式

總結

以上是生活随笔為你收集整理的7.4 倒向随机微分方程-Feynman-Kac公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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