矩陣的秩是什么？

文章目錄

• 前言
• 一、矩陣秩的定義？
• 二、矩陣乘法的幾何意義
• 三、幾何上理解矩陣的秩
• • 1.矩陣$A$是方陣時
  • 2.矩陣$A$是方陣時（3*3）
  • 3.矩陣$A$非方陣時（3*2）
• 總結
• 參考

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前言

相信大家剛開始學線性代數時，都會接觸到一個重要的概念，矩陣的秩。矩陣的秩的定義很好理解，可是這矩陣秩的背后有啥奧秘呢？通過自己的學習和大家分享下我理解的秩的概念。

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一、矩陣秩的定義？

矩陣秩的數學定義：在 $m\times n$矩陣 $A$ 中，任取 k 行與 k 列（$k\le m；k\le n$），位于這些行列交 叉處的 $k^2$個元素，不改變它們在 $A$中所處的位置次序而得的 $k$ 階行列式，稱為矩陣 $A$的$k$ 階子式。

設在矩陣 $A$ 中有一個不等于 0 的 $r$ 階子式 $D$，且所有$r+1$階子式 （如果存在的話）全等于 0，那么 $D$ 稱為矩陣 $A$ 的最高階非零子式，數$r$稱為矩陣 $A$ 的秩，記作$R(A)$。

二、矩陣乘法的幾何意義

我們先做個準備，理解下矩陣乘法的幾何意義

一句話概括就是，$C=AB$，把$A$看成一個“函數$f(x)$”，將$B$的每一列向量看成$x$，最終將空間某一個位置的$x$移動到空間的另外一個位置（長度可能發生變化）。

三、幾何上理解矩陣的秩

1.矩陣$A$是方陣時

舉個例子假如$A$ =

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

看到這個矩陣我們很容易判斷它時秩為2的矩陣，因為兩行不成比例。根據矩陣的秩的定義也可以判斷。但這不是我們想要的直觀上的理解。什么是幾何上的理解呢？

設$x$是任意的一個取值為實數的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我們知道$Ax$是一個兩行一列的向量，當我們讓$x_1,x_2$取遍一切實數，$Ax$就能鋪滿整個二維平面（想象一下上面的矩陣相乘的幾何意義）。因為
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$，我們可以把$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$看成是一個二維平面的基，確實也可以，因為它們線性無關。

重要：1.矩陣A的秩等于2，不剛好等于最終由矩陣列向量線性組合生成的空間的維數嗎，矩陣A的列向量生成的空間是二維平面，二維平面是2維的空間。2.這里矩陣A的秩等于2也可以理解為，無窮多個向量通過矩陣的作用，都落在二維平面上。

再舉一個例子，假如$B$ =

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$$

看到這個矩陣我們很容易判斷它時秩為1的矩陣，因為兩行成比例。根據矩陣的秩的定義也可以判斷。如何從幾何上的理解呢？

設$x$是任意的一個取值為實數的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我們知道$Ax$是一個兩行一列的向量，當我們讓$x_1,x_2$取遍一切實數，$Ax$就不能鋪滿整個二維平面。因為
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$是兩個共線的向量，由它們生成的空間只能是一條直線，這條直線為$y=x$它不是整個二維平面，我們可以稱呼向量$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$是垃圾向量，因為它對生成整個二維平面沒有一點貢獻。

重要：矩陣A的秩等于 1，不剛好等于矩陣列向量線性組合生成的一維空間的維數嗎，由于矩陣A第二列是垃圾向量，最終只能生成一維的直線。

3.高維矩陣$n?n$也是這樣理解的。

2.矩陣$A$是方陣時（3*3）

舉個例子假如$A$ =

$$?\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 3& 1& 2\end{array}?$$

看到這個矩陣我們很容易判斷它時秩為2的矩陣，因為有兩行成比例。根據矩陣的秩的定義也可以判斷。如何從幾何上的理解呢？

設$x$是任意的一個取值為實數的向量$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?$，我們知道$Ax$是一個三行一列的向量，當我們讓$x_1,x_2,x_3$取遍一切實數，$Ax$就不能生成整個三維空間，只能生成三維空間的一個平面。因為
$$Ax=x_1?\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}?+x_2?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?+x_3?\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}?$$ $?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?$ 與$?\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}?$共線，$?\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}?$對生成三維空間沒有做出任何貢獻。

重要： 1.矩陣A的秩等于 2 ，不剛好等于最終由矩陣列向量線性組合生成的空間的維數嗎，矩陣A的列向量生成的空間是二維平面，二維平面是 2 維的空間。2.當用無窮多個 3 維列向量與矩陣作用時，最終向量全部坍縮在一個二維平面內。我們可以形象稱呼這個矩陣不怎么“健壯”，明明是 3*3 的矩陣，最終只能生成2維平面。

3.矩陣$A$非方陣時（3*2）

舉個例子假如$A$ =

$$?\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}?$$

看到這個矩陣我們很容易判斷它時秩為2的矩陣。根據矩陣的秩的定義也可以判斷。如何從幾何上的理解呢？

設$x$是任意的一個取值為實數的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我們知道$Ax$是一個三行一列的向量，當我們讓$x_1,x_2$取遍一切實數，$Ax$生成三維空間的一個平面。因為
$$Ax=x_1?\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}?+x_2?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?$$

重要：矩陣A的秩等于 2，不剛好等于最終由矩陣列向量線性組合生成的空間的維數嗎，矩陣A的列向量生成的空間是二維平面，二維平面是 2 維的空間。

總結

1.所以，矩陣的秩就是，當用相應的無窮多個向量去與矩陣作用時，最終它們鋪滿空間的維數。 2.在三維幾何空間中，如果鋪滿的是一個二維平面，就說矩陣秩為 2 ，如果填充滿三維空間，就說矩陣秩為 3 。

參考

1.線性代數的幾何意義----任廣千，謝聰等
2.線性代數的本質 — 3Blue1Brown

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵秩的几何意义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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