矩陣相關(guān)定義性質(zhì)全總結(jié)

0.前言

矩陣是線性代數(shù)中的核心內(nèi)容，所以我寫這篇文章對(duì)矩陣（研究生以下階段）進(jìn)行一個(gè)完整的敘述。雖然是主要說矩陣，但是我也會(huì)將行列式、向量、線性方程組三個(gè)方面也包含在內(nèi)，不過是概述的形式，具體的敘述會(huì)另外展開寫。能夠見到的大多數(shù)文章還是以對(duì)矩陣的介紹為主，我想可能很多人最需要的是了解矩陣的有哪些細(xì)分（比如矩陣相似、矩陣合同），以及這些細(xì)分的充要、必要、充分條件，還有這些細(xì)分的性質(zhì)。所以我會(huì)在整體介紹完之后，進(jìn)行一個(gè)細(xì)分的總結(jié)。
本文適合考研或在學(xué)線代者復(fù)習(xí)線性代數(shù)。
本文是總結(jié)，一些費(fèi)時(shí)而又用處不大的圖不會(huì)展示，見諒。

1.行列式、向量、線性方程組

將這三者寫在最前面，我不會(huì)咋此進(jìn)行展開，但是會(huì)另寫文章敘述。
行列式、向量、線性方程組、特征值和特征向量
其中行列式是矩陣計(jì)算的基礎(chǔ)，內(nèi)容不難，但是涉及一些計(jì)算技巧。向量是構(gòu)成線性方程組的重要部分，而我們都知道，矩陣最開始就是為了表示線性方程組的。

2.概念

定義：m×n矩陣為m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的表格，當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階方陣或者n階矩陣。

零矩陣：矩陣所有元素都為0。

同型矩陣：A矩陣為m×n矩陣，B矩陣為s×t矩陣，如果m=s,n=t，A和B即為同型矩陣。

A和B相等：兩個(gè)同型矩陣對(duì)應(yīng)的元素都相等

|A|（detA）:n階方陣A構(gòu)成的行列式。

#只有方陣才有行列式
#矩陣A是表格，而行列式|A|是數(shù)

3.運(yùn)算

加法：兩個(gè)同型矩陣可以相加

數(shù)乘：k為數(shù)，數(shù)乘時(shí)是將k與矩陣中每一個(gè)元素進(jìn)行乘積

乘法：設(shè)A是一個(gè)m×s矩陣，B是一個(gè)s×t矩陣（A的列數(shù)=B的行數(shù)），則A、B可乘，且乘積AB是一個(gè)m×t矩陣，記為C。其中C的第i行、第j列元素Cij是A的第i行s個(gè)元素和B的第j列s個(gè)對(duì)應(yīng)元素兩兩乘積之和。（每個(gè)新元素等于原來兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)行元素逐個(gè)乘上對(duì)應(yīng)列元素，再加和）

轉(zhuǎn)置：將m×n型矩陣A=[a_ij]_m×n的行列互換的到的n×m矩陣[a_ji]_n×m，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。

矩陣多項(xiàng)式：設(shè)A是n階矩陣，f(x)=a_mx^m+……+a₁x+a₀是x的多項(xiàng)式，則稱 a_mA^m+a_m-1A^m-1+……+a₁A+a₀E為矩陣多項(xiàng)式，記為f(A)

#性質(zhì)：
Ⅰ.加法

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

A+O=A (其中O是元素全為0的同型矩陣)

A+(-A)=O

Ⅱ.數(shù)乘

k(mA)=(km)A=m(kA)

(k+m)A=kA+mA

k(A+B)=kA+kB

1A=A

0A=O

Ⅲ.乘法

(AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA（注意順序不可以顛倒）

Ⅳ.轉(zhuǎn)置

(A+B)^T=A^T+B^T

(kA)^T=kA^T

(AB)^T=B^TA^T

(A^T)^T=A

#注意：

AB≠BA

A≠O，B≠O，但有可能AB=O

AB=AC，A≠O不能推出B=C

(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²

(A+E)²=A²+2A+E

(A+E)(A-E)=A²-E²

AB=O 可推出B的列向量是AX=0的解

4.伴隨矩陣

A^*由矩陣A的行列式|A|的所有代數(shù)余子式構(gòu)成，列對(duì)應(yīng)行。
AA^* = A^*A=|A|E
(A^*) ^-1=(A^-1)^*=（1/A）A(|A|≠0)
(KA)*=k^n-1A^*
(A^*)^T=(A^T)^*
|A^*|=|A|^n-1
(A^*)^*=|A|^n-2A(n>=2)
A^-1=(1/|A|)*A^*
(AB)^*=B^*A^*

對(duì)于伴隨矩陣的秩：

5.可逆矩陣

A、B為n階矩陣，且AB=BA=E，當(dāng)A為可逆矩陣或非奇異矩陣，
B是A的逆矩陣，A^-1=B
5.1定理：

A可逆，則A的逆矩陣唯一

A可逆<=>|A|≠0（A滿秩）

設(shè)A和B是n階矩陣，且AB=E,則BA=E,A^-1=B

5.2n階矩陣A可逆的充分必要條件：

存在n階矩陣B，使AB=E（BA=E）.

|A|≠0，或者A滿秩，或者A的列（行）向量線性無關(guān)

齊次方程組Ax=0只有零解

任意b,非齊次線性方程組Ax=b總有唯一解

矩陣A的特征值全不為0

能表示成一些初等矩陣的乘積：P_N…P₂P₁A=E

5.3運(yùn)算性質(zhì)：

k≠0，(kA)^-1=(1/k)A^-1

如果A,B可逆，則(AB)^-1=B^-1A^-1，特別地(A²)^-1=(A^-1)²

A^T可逆，則（A^T)^-1=(A^-1)^T

(A^-1)^-1=A

|A^-1|=1/|A|

#即使A,B和A+B都可逆，一般的(A+B)^-1≠A^-1+B^-1
5.4求逆矩陣的方法

公式法：|A|≠0，則A^-1=（1/|A|）A^*

初等變化：(A|E)---->(E|A^-1)

用定義求B：使AB=E或BA=E，則A可逆，且A^-1=B

分塊矩陣：對(duì)角線直接求逆矩陣，副對(duì)角線求逆矩陣之外還好交換位置。

6.初等矩陣

6.1.1初等變換：設(shè)A是m×n矩陣，進(jìn)行初等倍乘、互換、倍加行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換。

倍乘：用某個(gè)非零常數(shù)k(k≠0)乘A的某行（列）的每個(gè)元素。

互換：互換A的某兩行（列）的位置。

倍加行（列）：將A的某行（列）元素的k 倍加到另一行（列）。

6.1.2初等矩陣：單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。如：

E(2(k)):對(duì)第二行倍乘

E(1,2):第一、二行（或一、二列）互換

E(13(k)):第一行的k倍加到第三行，或者第三列的k倍加到第一列

6.1.3等價(jià)矩陣：矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)（可能有多個(gè)矩陣與A等價(jià)，其中等價(jià)的最簡矩陣被稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型）

6.2性質(zhì)：

初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍然是初等矩陣

初等矩陣均是可逆矩陣（|A|≠0，滿秩），且其逆矩陣仍是初等矩陣。

用初等矩陣P左乘（右乘）A，其結(jié)果PA(AP)相當(dāng)于對(duì)A作相應(yīng)的初等行（列）變換。

6.3行階梯矩陣，行最簡矩陣
6.3.1行階梯矩陣：

如果矩陣有零行（即這一行元素全是0），則零行在最底部

每個(gè)非零元素的主元（即該行的最左邊的第一個(gè)非零元），它們的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大。
6.3.2行最簡矩陣：

是行階梯矩陣

非零行的主元都是1

主元所在的列的其他元素都是0

7.分塊矩陣

后補(bǔ)

8.方陣的行列式

|A^T|=|A|

|kA|=kⁿ|A|

|AB|=|A||B|(特別的|A²|=|A|²)

|A^*|=|A|^n-1

|A^-1|=|A|^-1

對(duì)角矩陣正對(duì)角：|A||B|,副對(duì)角:|A^-1|=|A|^-1

9.矩陣的秩

9.1.1k階子式：在m×n矩陣A中，任取k行與k列（k<=m,k<=n），位于這些行與列的交叉點(diǎn)上的k²個(gè)元素按其在原來矩陣A中的次序可構(gòu)成一個(gè)k階行列式，稱其為矩陣A的一個(gè)k階子式。
9.2矩陣的秩：設(shè)A為m×n矩陣，若A中存在r階子式不等于0，r階以上子式均等于0，則稱矩陣A的秩為r，記為r(A).零矩陣的秩規(guī)定為0.
性質(zhì)：

r(A)=0 <=> A=O

A≠O <=>r(A)>=1

A是n階矩陣，r(A)=n <=>|A|≠0 <=>A可逆，r(A)<n <=>|A|≠0 <=>A不可逆

若A是m×n矩陣，則r(A)<=min(m,n)

經(jīng)過初等變換矩陣的秩不變。

設(shè)A是m×n矩陣，將A以行及列分塊，得則有r(A)=A的行秩=A的列值

公式：

r(A)=r(A^T)；r(AA^T)=r(A)

當(dāng)k≠0時(shí)，r(kA)=r(A)；r(A+B)<=r(A)+r(B)

r(AB)<=min(r(A),r(B)),max(r(A),r(B))<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

若A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)

若A時(shí)m×n矩陣，B是n×s矩陣，AB=O,r(A)+r(B)<=n

10.正交矩陣

定義：設(shè)A為n階矩陣，若AA^T=A^TA=E，則稱A為正交矩陣。
性質(zhì)：

A^T=A^-1

A的行（列）向量都是單位向量且兩兩正交

|A|=±1

11.相似矩陣

11.1定義：

設(shè)A,B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或A相似于B，記為A∽B

若A∽λ，其中λ為對(duì)角陣，則稱A可相似對(duì)角化，λ是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。

11.2性質(zhì)：

A∽A

若A∽B => B∽A

若A∽B,B∽C =>A∽C

n階方陣 A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。（可得若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值λ₁、λ₂……λ_n，則A可相似對(duì)角化，且對(duì)角矩陣元素一一對(duì)應(yīng)特征值。）

n階矩陣 A可相似對(duì)角化的充分必要條件是A的每個(gè)特征值中，線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù)。

11.3相似的必要條件：

特征多項(xiàng)式相同：|λE-A|=|λE-B|

r(A)=r(B)

A,B有相同的特征值

|A|=|B|=特征值之積

A的跡=B的跡=特征值之和

A²∽B²(Aⁿ∽Bⁿ)

A+KE∽B+KE

如果A可逆，A^-1∽B^-1

12.實(shí)對(duì)稱矩陣

12.1定義：除了主對(duì)角線，兩側(cè)相對(duì)應(yīng)的數(shù)相同的矩陣
12.2性質(zhì)：

實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化

實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在正交陣Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ=λ

13.矩陣合同

13.1定義：設(shè)A,B是兩個(gè)n階方陣，若存在可逆陣C，使得C^TAC=B，則稱A合同于B，記成A
13.2性質(zhì)：

反身性

對(duì)稱性

傳遞性

r(A)=r(B)

正負(fù)慣性指數(shù)相等

14.相似、合同、等價(jià)區(qū)分

可得：

相似矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為相似矩陣，滿足 PQ=E 的等價(jià)矩陣是相似矩陣。

合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為合同矩陣，滿足 p_A=p_B,q_A=q_B的等價(jià)矩陣是合同矩陣。

相似矩陣未必合同，合同矩陣未必相似。

正交相似矩陣必合同，正交合同矩陣必相似。

實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，實(shí)對(duì)稱矩陣合同未必相似。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵相关定义性质全总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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