一：概述

上節(jié)，我們介紹了三角函數(shù)的角制與弧度制，還有基本屬性。下面我們介紹三角函數(shù)的恒等變換中的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。圖一，還是我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)的思維導(dǎo)圖。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖一

二：恒等變換

三角函數(shù)恒等變換不但在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明三角恒等式中經(jīng)常用到，而且．由于通過三角換元可將某些代數(shù)問題化歸為三角問題；立體幾何中的諸多位置關(guān)系以其交角來刻畫，最后又以三角問題反映出來。由于參數(shù)方程的建立，又可將解析幾何中的曲線問題歸結(jié)為三角問題．因此，三角恒等變換在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中涉及面廣．是常見的解題“工具”。三角函數(shù)恒等變換在整個(gè)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛，在掌握三角函數(shù)恒等變換之前，要在腦中有張“全局圖”，是十分有必要的。圖二為三角函數(shù)恒等變換的思維導(dǎo)圖。

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2.1 基本關(guān)系式

2.1.1三角函數(shù)的平方關(guān)系。

2.1.1.1第一個(gè)是(sina)^2+(cosa)^2 = 1。這個(gè)比較好記，并且推導(dǎo)過程也很容易。我們現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)平方關(guān)系，是怎樣的過程。圖三為直角三角形，斜邊C為單位1。

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖三

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因?yàn)?#xff1a;sinA=a/c, cosA=b/c
又： a^2+b^2=c^2
所以 (sinA)^2+(cosA)^2
???? =(a/c)^2+(b/c)^2
???? =(a^2+b^2)/c^2
???? =c^2/c^2
???? =1。

我們記住勾股定理，就能簡(jiǎn)單快速推導(dǎo)道(sina)^2+(cosa)^2 = 1。

2.1.1.2第二個(gè)是1+(tanA)^2 = (secA)^2。我們還是使用勾股定理，推導(dǎo)此公式。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;secA=c/b, tanA=a/b

又： c^2-a^2=b^2

所以：(secA)^2-(tanA)^2
???? ?????=(c/b)^2-(a/b)^2
???? ?????=(c^2-a^2)/b^2
???? ?????=b^2/b^2
???? ?????=1。

同樣地，我們記住勾股定理，就能簡(jiǎn)單快速推導(dǎo)道1+(tanA)^2 = (secA)^2。

2.1.1.3第三個(gè)是1+(cota)^2 = (csca)^2。其它道理是相通的，還是這個(gè)三角形，還是使用勾股定理，推導(dǎo)此公式。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;cscA=c/a, cotA=b/a

又： c^2-b^2=a^2

所以：(cscA)^2-(cotA)^2
???? ????=(c/a)^2-(b/a)^2
??? ?????=(c^2-b^2)/a^2
??? ?????=a^2/b^2

? ? ? ? ?=1。

2.1.1.4總結(jié)，三角函數(shù)的平方關(guān)系，無非是使用勾股定理推導(dǎo)出來而已。

2.1.2三角函數(shù)的商關(guān)系。

2.1.2.1第一個(gè)是tanA = sinA/cosA。這個(gè)是很容易推導(dǎo)，推導(dǎo)如下。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;sinA = a/c,cosA = b/c;

又：tanA = a/b

所以：sinA/cosA

=( a/c)/( b/c)

=a/b

=tanA

2.1.2.2第二個(gè)是cotA = cosA/sinA。這個(gè)也是很容易推導(dǎo)，推導(dǎo)如下。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;sinA = a/c,cosA = b/c;

又：cotA = b/a

所以：cosA/sinA

=( b/c)/( a/c)

=b/a

=cotA

2.1.3三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系。

2.1.3.1第一個(gè)是sinA*cscA = 1。這個(gè)是很容易推導(dǎo)，推導(dǎo)如下。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;sinA = a/c,cscA = c/a;

所以：sinA*cscA

=( a/c)*( c/a)

=1

2.1.3.2第二個(gè)是cosA*secA = 1。這個(gè)是很容易推導(dǎo)，推導(dǎo)如下。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;cosA = b/c,secA = c/b;

所以：cosA*secA

=( b/c)*( c/b)

=1

2.1.3.3第三個(gè)是tana*cota = 1。這個(gè)是很容易推導(dǎo)，推導(dǎo)如下。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因?yàn)?#xff1a;tanA = a/b,cotA = b/a;

所以：tanA * cotA

=( a/b)*( b/a)

=1

2.1.4三角函數(shù)的基本關(guān)系式的總結(jié)。所謂的平方關(guān)系，就是本質(zhì)是勾股定理在三角函數(shù)里的另外表現(xiàn)。三角函數(shù)的商關(guān)系，無非就是直角三角形各個(gè)邊的比例關(guān)系。三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系，也是同樣道理。我們也可以用圖四的關(guān)系圖，更加直觀理解他們的關(guān)系。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖四

2.2 誘導(dǎo)公式

2.2.1所有公式的存在，都是為了更容易地去解決復(fù)雜的問題。現(xiàn)在跟大家介紹三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的作用：就是為了將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

sin390°= sin（360°+ 30°）= sin30°=1/2.

tan225°= tan（180°+ 45°）= tan45°=1.

cos150°= cos（90°+ 60°）= sin60°=√3/2.

前人總結(jié)出一句，“奇變偶不變,符號(hào)看象限”，可以簡(jiǎn)單方便地使用誘導(dǎo)公式。這八個(gè)字，又是怎么理解呢?

誘導(dǎo)角：有0°,90°,180°,270°,360°五個(gè),“奇變偶不變”就是針對(duì)這五個(gè)誘導(dǎo)角來說的。

90°和270°是90°的1倍和3倍,因此屬“奇”；0°,180°,360°是90°的0倍,2倍和4倍,因此屬“偶”。90°±α,270°±α,都要“變”；0°±α,180°±α,360°±α,都“不變”。變什么?怎么變?變的是函數(shù)名稱,方法是正余互變：正弦變余弦,余弦變正弦；正切變余切,余切變正切；正割變余割,余割變正割。

符號(hào)看象限：在使用誘導(dǎo)公式時(shí),千萬記住：無論誘導(dǎo)角后面的α有多大,都要把它看作“銳角”,并由此決定用哪個(gè)象限的符號(hào).如sin(90°+ 500°)=cos500°,誘導(dǎo)角是90°,因此sin變cos。把500°看作銳角,那么90°+500°就要看作是第二象限的角 ,sin為正,故變成cos后仍取正號(hào)。再如tan(180°- 425°)=-tan425°,這是因?yàn)檎T導(dǎo)角是180°,屬“偶不變”,425°要看成銳角,那么180°-425°就是第二象限的角（-360-65）,在第二象象限內(nèi)tan為負(fù),故變化后前面要加負(fù)號(hào)。

明白了上面的規(guī)矩和道理,誘導(dǎo)角就可任意選擇.比如你舉的例子：sin(17π/2-α)=cosα

這是因?yàn)?7(π/2)是90°的17倍,屬“奇”,sin要變cos,17π/2-α就看成90°-α屬第一象限,第一象限的sin為正,故cos前面取正號(hào)。sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sinα,這是因?yàn)?8(π/2)是90°的偶數(shù)倍,屬“不變”,因此仍是sin,符號(hào)則取sin在第二象限的符號(hào)。

目前，還有比較穩(wěn)妥還是把過大的角的三角函數(shù)先用360°±α 變?yōu)樾∮?60°的三角函數(shù),然后再用誘導(dǎo)公式變?yōu)殇J角三角函數(shù)較好.如你的例子：

sin(17π/2-α)=sin(8π+π/2-α)=sin(π/2-α)=cosα;

sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sin(8π+π-α)=sin(π-α)=sinα.

這里的誘導(dǎo)角都是8π,是2π的4倍,函數(shù)名稱不變,符號(hào)都取第一象限的符號(hào),因?yàn)棣?2-α和

π-α都要看成銳角。

下面是誘導(dǎo)公式的具體公式。

公式一:設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式二:設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

sin(π+α)=－sinα

cos(π+α)=－cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

sin(－α)=－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

cot(－α)=－cotα

公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

sin(π－α)=sinα

cos(π－α)=－cosα

tan(π－α)=－tanα

cot(π－α)=－cotα

公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

sin(2π－α)=－sinα

cos(2π－α)=cosα

tan(2π－α)=－tanα

cot(2π－α)=－cotα

公式六:π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2－α)=cosα

cos(π/2+α)=－sinα

cos(π/2－α)=sinα

tan(π/2+α)=－cotα

tan(π/2－α)=cotα

cot(π/2+α)=－tanα

cot(π/2－α)=tanα

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三角函数的思维导图(中)-1的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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