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高数中的高斯公式

發布時間：2023/12/31 编程问答 49 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了高数中的高斯公式小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

根據《高等數學》第七版同濟大學下冊書中第十一章，曲線積分與曲面積分第六節高斯公式，通量與散度中的定義：
設空間閉區域 $Ω\Omega$ 是由分片光滑的閉曲面 $∑\sum$ 所圍成，若函數 $P(x,y,z)P\left(x, y, z\right)$ ， $Q(x,y,z)Q\left(x, y, z\right)$ ， $R(x,y,z)R\left(x, y, z\right)$ 在 $Ω\Omega$ 上具有一階連續偏導數，則有
$?Ω(?P?x+?Q?y+?R?z)=∮∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy(1)\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}}\right) = \oint_{\sum}P\mathrmze8trgl8bvbqy\mathrmze8trgl8bvbqz + Q\mathrmze8trgl8bvbqx\mathrmze8trgl8bvbqz + R\mathrmze8trgl8bvbqx\mathrmze8trgl8bvbqy \tag{1}$
該公式的數學證明過程很復雜，這里不做過多說明，而且這個公式看起來也十分復雜，如何去形象的理解它就成了比較重要的事情。我們可以看到這個公式的左側是一個體積積分，右側是一個面積積分，也就是說，高斯公式實際上是將體積積分與面積積分聯系起來的一個公式。下面我們來賦予式中各項相應的物理意義。嘗試從流體力學的角度來理解這一公式。
我們假設曲面 $∑\sum$ 包裹著一部分流體。
$P$ ：沿著yz平面的閉曲面內的包裹流體的流速。
$Q$ ：沿著xz平面的閉曲面內的包裹流體的流速。
$R$ ：沿著xy平面的閉曲面內的包裹流體的流速。
如果考慮上單位時間，那么等式 $(1)\left(1\right)$ 的右側我們可以理解為，是閉曲面 $∑\sum$ 所圍成的整個立體封閉式體積空間內向外的流量。
進一步我們討論等式的左側，我們可以看到，等式的左側表達式中的積分核可以寫為：
$?P?x+?Q?y+?R?z=(??x,??y,??z)?(P,Q,R)=?(P,Q,R)\frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}}=\left(\frac{\partial{}}{\partial{x}},\frac{\partial{}}{\partial{y}}, \frac{\partial{}}{\partial{z}}\right)\cdot\left(P, Q,R\right)=\nabla \left(P, Q,R\right)$
我們可以看到，左側的積分核部分實際上是一個關于 $(P,Q,R)\left(P, Q,R\right)$ 的散度運算。根據散度表示的意義：對一個無限小的微團，內部通過微團的邊界向外界釋放、流出的流量。

如果我們想象此時曲面 $∑\sum$ 圍成的立體空間是一個水池，那么該高斯公式表示的是—通過進水口流進水池的水，等于通過水池邊界漏出去的水。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高数中的高斯公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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