提要

運用頻率響應(yīng)法，進一步討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。結(jié)合伯德圖和奈奎斯特圖，介紹增益裕度、相角裕度和帶寬等的概念，研究頻域內(nèi)的穩(wěn)定性判別方法——奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。討論時間延遲環(huán)節(jié)對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能指標(biāo)的影響（引入了附加的滯后相角，因而有可能導(dǎo)致條件穩(wěn)定系統(tǒng)失穩(wěn)）

收獲

（1）掌握奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)和奈奎斯特圖的作用；

（2）熟悉系統(tǒng)時域性能的頻域表示方法；

（3）理解在反饋控制系統(tǒng)設(shè)計中，考慮時間延遲環(huán)節(jié)的重要性；

（4）能夠使用頻率響應(yīng)法分析反饋控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和性能，包括系統(tǒng)的增益裕度、相角裕度和帶寬等；

（5）理解頻域的性能指標(biāo)，以及用增益裕度和相角裕度表示的系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

一. 基本概念

再次討系統(tǒng)的穩(wěn)定性

分析一個控制系統(tǒng)時，首先看它地穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)穩(wěn)定，還應(yīng)該考察它的相對穩(wěn)定性。

前述關(guān)于穩(wěn)定性的判定：勞斯-赫爾維茨判據(jù)基于特征方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

前述關(guān)于系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的方法：根軌跡

這兩種方法都是基于復(fù)變量

的復(fù)頻域分析方法；而在頻域穩(wěn)定性分析中，則是在實頻域中研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用大方法是頻域響應(yīng)法。

2. 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是研究線性系統(tǒng)（齊次性、疊加性）相對穩(wěn)定的基本方法，它的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中柯西（Cauchy）定理。

3. 圍線映射

在頻域穩(wěn)定性中關(guān)心的是由函數(shù) F(s) 誘導(dǎo)的圍線映射，它是指，利用關(guān)系函數(shù) F(s) ，將一個復(fù)平面上的閉合曲線或軌跡映射轉(zhuǎn)換到另一個平面。例如當(dāng) F(s) = 2s+1 時，函數(shù) F(s) 將 s平面上的閉合曲線映射到了 F(s) 平面上，于是有

即實際上進行的變換是

和

典型的映射函數(shù) F(s) 都是有理函數(shù)。

4. 保角映射

s 平面的圍線映射到 F(s) 平面之后，圍線上的角度保持不變，這種映射稱之為保角映射。

5. 柯西定理/相角原理

如果閉合曲線

以順時針方向為正方向，在 s 平面上包圍了 的 個零點和 個極點，但不經(jīng)過任何一個零點或極點，那么對應(yīng)的映射曲線也以順時針方向為正方向，并且在平面上包圍原點 （ ）周（如果 N 是一個負數(shù)，則表示的是曲線為逆時針圍繞）。

6. 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)表述1

當(dāng)

在 s 右半平面內(nèi)沒有極點（P=0）時 ，閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 平面上的映射像圍線 不包圍（-1，0）點。

7. 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)表述2

閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

平面上的映射像圍線 包圍（-1，0）點的周數(shù)，等于在右半平面內(nèi)極點的個數(shù)（即表現(xiàn)為還是無零點）

8. 基本判定的思路小結(jié)

研究閉環(huán)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，考察閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

，而為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須要求 的零點（為閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點）全部位于s 左半平面，因此為了檢驗 s 平面的右半平面是否存在零點（存在即不穩(wěn)定）。需要使用 s 平面上的圍線映射和柯西定理/相角原理。

則應(yīng)用柯西定理，可以判斷 F(s) 不穩(wěn)定的零點個數(shù)為

（注因為是使用的右半平面進行映射）。常見的當(dāng)P=0時，則系統(tǒng)不穩(wěn)定的特征根的個數(shù) Z 就等于 （稱為奈奎斯特圖或者極坐標(biāo)圖）包圍原點的周數(shù)。

而又考慮到

，其中開環(huán)傳遞函數(shù) 本身就是具有因式乘積的形式，如果是使用 進行映射，還需要重新進行因式分解得到零點和極點，故為了避免麻煩，可以直接使用函數(shù) 進行映射，變換之后的圍繞的點由原點變?yōu)?#xff08;-1，0）點 。

---

二. 基本知識回顧

相對穩(wěn)定性

在 s 平面上，使用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用每個或者每對閉環(huán)特征根的相對調(diào)節(jié)時間（或衰減因子、或?qū)嵅拷^對值）來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性；系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越短，相對穩(wěn)定性就越好；

使用頻率響應(yīng)法時，奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)所提供的信息既能用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，也能用于定義和評價系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。即在奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)中，關(guān)注的焦點是開環(huán)傳遞函數(shù)（

）極坐標(biāo)圖中的（-1，0）點，或者伯德圖上的 0 dB 線和 線。因此可以用 極坐標(biāo)圖與這個臨界穩(wěn)定特征點的接近程度，來衡量閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

指標(biāo)一：增益裕度：

當(dāng)

的相角為 時（此時有虛部 ）， 幅值的倒數(shù)，常用對數(shù)形式表示。

揭示的內(nèi)涵是：在系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定之前，系統(tǒng)增益容許的放大倍數(shù)。系統(tǒng)到達臨界穩(wěn)定時，奈奎斯特圖將在相角為

時，與實軸相較于 點

指標(biāo)一：相角裕度：

定義：為了使極坐標(biāo)曲線的單位幅值點（

）通過 L(jw) 平面上的（-1，0）點，極坐標(biāo)曲線 L(jw) 繞原點旋轉(zhuǎn)所需要的旋轉(zhuǎn)相角；

揭示的內(nèi)涵是：在系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定之前，L(jw) 的單位幅值點所允許的相移量。系統(tǒng)到達臨界穩(wěn)定時，奈奎斯特圖將在相角為

時，與實軸相交與 -1+j0 點

2. 相對穩(wěn)定性的表示

與極坐標(biāo)曲線相比較，更愿意使用開環(huán)伯德圖，并且利用伯德圖也可以方便地得到增益裕度和相角裕度

在伯德圖上，根據(jù)幅頻特性曲線與 0 dB增益線的交點，就可以在相頻特性曲線的對應(yīng)頻率點上，估計得到系統(tǒng)的相位裕度；觀察相頻特性曲線與

相角線的交點，就可以在幅頻特性曲線的對應(yīng)點上，估計得到系統(tǒng)的增益裕度。

盡管增益裕度和相角裕度同樣是系統(tǒng)的性能指標(biāo)，但我們通常更多的使用相角裕度。

3. 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)判定的區(qū)別

當(dāng)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（系統(tǒng)的零點全部在左半平面）時，可以簡單地直接考察奈奎斯特圖（極坐標(biāo)曲線）來判定系統(tǒng)的翁定性指標(biāo)；可以用計算機程序直接估算增益裕度和相角裕度。

而當(dāng)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)時，就必須謹(jǐn)慎小心一些，只有考察完整的奈奎斯特圖，才能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性指標(biāo)

4. 看度說話

通過伯德圖，當(dāng)幅值增益為 0 dB 時，對應(yīng)的相角為

，因此系統(tǒng)的相角裕度為 ，而當(dāng)相角為 時，對應(yīng)的幅值增益為 ,于是系統(tǒng)的增益裕度為 15 dB。

5. 頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)的聯(lián)系

對于一個二階系統(tǒng)，建立欠阻尼系統(tǒng)的相角裕度與阻尼系數(shù)

之間的關(guān)系為

另一頻域指標(biāo)，閉環(huán)頻率響應(yīng)的最大幅值

，二階系統(tǒng)的諧振峰值和阻尼系數(shù)的關(guān)系 ，希望能夠由開環(huán)頻率響應(yīng)得到閉環(huán)頻率響應(yīng)。

怎么做呢？

在單位負反饋的情況下，利用閉環(huán)頻率響應(yīng)的等幅值圓，可以在幅相圖中確定

和 等關(guān)鍵的性能指標(biāo)。閉環(huán)頻率響應(yīng)的等幅值圓又稱為等M圓。如果不是單位負反饋，需要將閉環(huán)傳遞函數(shù)形式化為單位負反饋的形式 ，即通過單位負反饋的開環(huán)頻率特性函數(shù)來進行判斷。

判定方法為：

得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)，如果只需要確定

,還可以直接在極坐標(biāo)上完成這個任務(wù)。實際上，如果開環(huán)頻率響應(yīng)極坐標(biāo)圖 與等M圓相切，則該M就是閉環(huán)諧振峰值 ,對應(yīng)的頻率 就是系統(tǒng)的諧振頻率。

等M圓和等N圓適用于在極坐標(biāo)平面上分析和設(shè)計控制系統(tǒng)，由于更容易得到系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖或?qū)?shù)幅相圖，我們更愿意將等M圓和等N圓轉(zhuǎn)換為對數(shù)幅值的形式，這稱為尼克爾斯圖。

6. 系統(tǒng)帶寬

閉環(huán)控制系統(tǒng)的帶寬是度量系統(tǒng)的信號復(fù)現(xiàn)能力的最好參數(shù)。定義是對低頻段增益為 0dB的系統(tǒng)，其帶寬定義為幅值增益下降至-3 dB 時對應(yīng)的頻率。在通常情況下，它與階躍響應(yīng)速度成正比，與調(diào)節(jié)時間成反比。因此，在保證系統(tǒng)合理構(gòu)成的前提下，我們總是希望系統(tǒng)具有較大的帶寬。

7. 時延系統(tǒng)的穩(wěn)定性

時延環(huán)節(jié)會影響反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性，幸運的是，可以用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)來確定延時環(huán)節(jié)對反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。它的傳遞函數(shù)表示為

，沒有引入新的零點或極點，故不會改變原有系統(tǒng)的幅頻特性曲線，而只會導(dǎo)致一個附加的相移。它的相移為

取舍：由于實際的反饋系統(tǒng)難免含有時延環(huán)節(jié)，因此為了確保系統(tǒng)穩(wěn)定，必須減小系統(tǒng)增益，但是減小增益將會增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。因此在增強實驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時，付出了增大穩(wěn)態(tài)誤差的代價。

8. 帕德近似

帕德近似，指定一個給定階次的待定有理函數(shù)來近似

對比麥克勞林級數(shù)

和

對比系數(shù)可以得到

令

,得到

---

三. matlab指令計算

使用的函數(shù)有nyquist，nichols，pade，ngrid，margin

使用nyquist繪制奈奎斯特曲線

前向通道的傳遞函數(shù)為

的單位負反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的奈奎斯特圖% The nyquist function with manual scaling using the% axis function. The transfer function is%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5 ];sys=tf(num,den);nyquist(sys);

2. 使用margin函數(shù)繪制伯德圖，并標(biāo)注增益裕度和相角裕度

% The margin function. The transfer function is%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5];sys=tf(num,den);margin(sys);

3. 結(jié)合1.2，繪制奈奎斯特曲線并標(biāo)注增益裕度和相角裕度

% The Nyquist plot of%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%% with gain and phase margin calculation.%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5 ]; sys=tf(num,den);%[mag,phase,w]=bode(sys);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w);%nyquist(sys);title(['Gm = ',num2str(Gm),' Pm = ',num2str(Pm)])

4. 使用nichols來繪制尼克爾斯圖

ngrid可以在尼克爾圖中繪制網(wǎng)格坐標(biāo)

% The Nichols chart of%% 1 % G(s) = ------------------------- .% 0.2 s^3 + 1.2 s^2 + s %%num=[1]; den=[0.2 1.2 1 0 ];sys=tf(num,den);w=logspace(-1,1,400);nichols(sys,w);ngrid

5. 使用伯德圖來設(shè)計控制系統(tǒng)

考慮一個液壓 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

首先使用帕德近似，系統(tǒng)時延為T=1，近似的階數(shù)取n=2，然后繪制增益裕度和相角裕度。

初始值K=31.5

% The Bode plot of the liquid level control system with% gain and phase margin. The gain K must be input at the% command level before executing this m-file. Automatic% labeling of the plot with gain and phase margin.%% Liquid Control System Analysis%[np,dp]=pade(1,2);sysp=tf(np,dp);num=K; d1=[1 1]; d2=[30 1]; d3=[1/9 1/3 1];den=conv(d1,conv(d2,d3));sysg=tf(num,den);sys=series(sysp,sysg);%margin(sys);

當(dāng)K換成16時，驗證系統(tǒng)的相角裕度滿足了設(shè)計要求使相位裕度達到

6. 遙控偵探車的控制系統(tǒng)設(shè)計

考慮一個開環(huán)傳遞函數(shù)為

，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 該系統(tǒng)的設(shè)計目標(biāo)是使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量。

則首先考慮單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差

再用頻域方法考慮階躍響應(yīng)的超調(diào)量，若要求超調(diào)量小于50%，則近似地應(yīng)該有

,于是可以得到 ,可以根據(jù)二階系統(tǒng)中的公式

,可以知道

使用matlab計算閉環(huán)系統(tǒng)的伯德圖

% Remotely controlled vehicle closed-loop system% Bode plot for K=4.44, 10, and 20.%w=logspace(0,1,200); K=[20,10,4.44];%for i=1:3numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);syss=series(sysgc,sysg); sys=feedback(syss,[1]);[mag,phase,w]=bode(sys,w);mag_save(i,:)=mag(:,1,:);end%loglog(w,mag_save(1,:),w,mag_save(2,:),w,mag_save(3,:))xlabel('Frequency (rad/sec)'), ylabel('Magnitude'), grid on

使用matlab計算K=4.44，10，20的情況下的階躍響應(yīng)。

% Remotely controlled vehicle closed-loop system% step response for K=4.44, 10, and 20.%t=[0:0.01:10]; K=[20,10,4.44];%for i=1:3numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);syss=series(sysgc,sysg);sys=feedback(syss,[1]);y(:,i)=step(sys,t);end%plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)),gridxlabel('Time (sec)'), ylabel('y(t)')

可以根據(jù)階躍響應(yīng)的超調(diào)量來確定增益K=20，K=10，K=4.44，也可以根據(jù)尼克爾斯圖來完成系統(tǒng)的設(shè)計

% Remotely controlled vehicle system Nichols chart % for K=4.44, 10, and 20.%numgc=[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);sys=series(sysgc,sysg);%w=logspace(-1,1,200);%K=[20, 10, 4.44];hold off, clffor i=1:3nichols(K(i)*sys,w), ngridhold on end legend('K=20','K=10','K=4.44')

最后確定將增益的設(shè)計值選定為K=10，再繪制奈奎斯特圖確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，最終得到的增益裕度為G.M.=49.56 dB ,相角裕度為 P.M. =

% Remotely controlled vehicle system Nyquist chart % for K= 10 with automatic labeling of gain and% phase margin.%numgc=10*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);%sys=series(sysgc,sysg);%[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys);%nyquist(sys);title(['Gm = ',num2str(Gm),' Pm = ',num2str(Pm)])

7. 循序漸進實例

考慮一個PD控制器

，前向通道：

電機線圈

支撐臂

簧片與磁頭

閉環(huán)控制系統(tǒng)為單位負反饋。

取K=400，則通過繪制伯德圖，求增益裕度和相角裕度，以及階躍響應(yīng)。

K=400;nc=K*[1 1]; dc=[0 1]; sysc=tf(nc,dc);nm=[5]; dm=[0.001 1]; sysm=tf(nm,dm);na=[0.05]; da=[0.05 1 0]; sysa=tf(na,da);ng=[1]; dg=[1/18850^2 2*0.3/18850 1]; sysg=tf(ng,dg);syso=series(sysc,series(sysm,series(sysa,sysg)))figure(1)margin(syso)

通過繪制伯德圖可以得到系統(tǒng)的增益裕度為22.9 dB，相角裕度為

，

從階躍響應(yīng)曲線可以知道，調(diào)節(jié)時間為

總結(jié)

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