哈希函數(shù)的構造方法

本文闡述了哈希函數(shù)的構造方法有很多，但應注意兩個原則：第一，函數(shù)值應在1至記錄總數(shù)之間；第二，盡可能避免沖突。

設要存放的數(shù)據(jù)元素有n個，存放數(shù)據(jù)元素的內存單元有m個，設計哈希函數(shù)的目標就是要使通過哈希函數(shù)得到的n個數(shù)據(jù)元素的哈希地址盡可能均勻地分布在m個連續(xù)內存單元上，同時使計算過程盡可能簡單以達到盡可能高的時間效率。

引 言
構造哈希函數(shù)的方法很多。如何構造一個“好”的哈希函數(shù)是很強的技術性和實踐性問題，這里的“好”指的是哈希函數(shù)構造比較簡單，并且用此哈希函數(shù)產生的映射所發(fā)生的沖突可能性最小，換句話說一個好的哈希函數(shù)能將給定數(shù)據(jù)集合均勻地映射到給定的地址區(qū)間中。

Hash的原意是“弄亂，切碎”，這里的含義是“雜湊”。基本做法是，根據(jù)集合元素值的分布情況，設計一個哈希函數(shù)h(ki),存儲之素ki時，計算ki的哈希函數(shù)值，元素ki存儲在a(h)中。

如果“幸運”，所設計的哈希函數(shù)很均勻，即任何ki≠kj,都有h(ki)≠h(kj),那么在查找ki時（再計算ki的哈希函數(shù)函數(shù)值h）,就能在a[h]中找到元素ki。

1．直接定址法
直接定址法是以數(shù)據(jù)元素關鍵字k本身或它的線性函數(shù)作為它的哈希地址，即：H（k）=k 或 H（k）=a×k+b ； (其中a,b為常數(shù))

例1，有一個人口統(tǒng)計表，記錄了從1歲到100歲的人口數(shù)目，其中年齡作為關鍵字，哈希函數(shù)取關鍵字本身，如圖(1)：

地址

A1

A2

……

A99

A100

年齡

1

2

……

99

100

人數(shù)

980

800

……

495

107

可以看到，當需要查找某一年齡的人數(shù)時，直接查找相應的項即可。如查找99歲的老人數(shù)，則直接讀出第99項即可。這種哈希函數(shù)簡單，并且對于不同的關鍵字不會產生沖突，但可以看出這是一種較為特殊的哈希函數(shù)，實際生活中，關鍵字的元素很少是連續(xù)的。用該方法產生的哈希表會造成空間大量的浪費，因此這種方法適應性并不強。[2]↑

2．數(shù)字分析法
2．1數(shù)字分析法是取數(shù)據(jù)元素關鍵字中某些取值較均勻的數(shù)字位作為哈希地址的方法。即當關鍵字的位數(shù)很多時，可以通過對關鍵字的各位進行分析，丟掉分布不均勻的位，作為哈希值。它只適合于所有關鍵字值已知的情況。通過分析分布情況把關鍵字取值區(qū)間轉化為一個較小的關鍵字取值區(qū)間。

例2，要構造一個數(shù)據(jù)元素個數(shù)n=80,哈希長度m=100的哈希表。不失一般性，我們這里只給出其中8個關鍵字進行分析，8個關鍵字如下所示：

K1=61317602 K2=61326875 K3=62739628 K4=61343634

K5=62706815 K6=62774638 K7=61381262 K8=61394220

分析上述8個關鍵字可知，關鍵字從左到右的第1、2、3、6位取值比較集中，不宜作為哈希地址，剩余的第4、5、7、8位取值較均勻，可選取其中的兩位作為哈希地址。設選取最后兩位作為哈希地址，則這8個關鍵字的哈希地址分別為：2，75，28，34，15，38，62，20。[1]↑

2設有n個d 位數(shù)，每一位可能有r種不同的符號，這r種不同的符號在各位上出現(xiàn)的頻率不一定相同，可能在某位上分布均勻些，每種符號出現(xiàn)的機會均等；在某位上分布不均勻，只有某幾種符號經常出現(xiàn)。可根據(jù)哈希表的大小，選取其中各種符號分布均勻的若干位作為哈希地址。計算各位數(shù)字中符號分布均勻度rk的公式為：rk=其中，aki表示第i個符號k位上出現(xiàn)的的期望值。計算出rk值越小，

i=1

表明在該位（第k位）各種符號分布越不均勻。

例3，有一組關鍵字，對其各位編碼如下：

9 2 1 4 8

9 1 2 6 9

9 0 5 2 7

9 1 6 3 0

9 1 8 0 5

9 1 5 5 8

9 2 0 4 7

9 0 0 0 1

① ② ③ ④ ⑤

①位僅“9”出現(xiàn)8次r1=(8-8/10)2*1+(0-8/10)2*9=57.60

②位“0，2”各出現(xiàn)2次，“1”出現(xiàn)4次r2=(2-8/10)2*2+(4-8/10)2*1+（0-8/10）2*7=17.60

③位“0，5”各出現(xiàn)2次，“1，2，6，8”各出現(xiàn)1次r3=(2-8/10)2*2+(1-8/10)2*4+（0-8/10）2*4=5.60

④位“0，4”各出現(xiàn)2次，“2，3，5，6”各出現(xiàn)1次

⑤位“7，8”各出現(xiàn)2次，“0，1，5，9”各出現(xiàn)1次

r3 =r4 =r5 =5.60

若哈希表地址范圍有3位數(shù)字，取各關鍵字的③④⑤位作為記錄的哈希地址。也可以把第①②和第⑤位想加，舍去進位，變成一位數(shù)，再與第③④位合起來哈希地址等。顯然數(shù)字分析法僅適用于事先知道表中所有關鍵字每一位數(shù)值的分布情況，它完全依賴于關鍵字集合。如果換一個關鍵字集合，選擇哪幾位重新決定。

3．折疊法
所謂折疊法是將關鍵字分割成位數(shù)相同的幾部分（最后一部分的位數(shù)可以不同），然后取這幾部分的疊加和（舍去進位），這方法稱為折疊法。這種方法適用于關鍵字位數(shù)較多，而且關鍵字中每一位上數(shù)字分布大致均勻的情況。

折疊法中數(shù)位折疊又分為移位疊加和邊界疊加兩種方法，移位疊加是將分割后是每一部分的最低位對齊，然后相加；邊界疊加是從一端向另一端沿分割界來回折疊，然后對齊相加。

例4，當哈希表長為1000時，關鍵字key=110108331119891，允許的地址空間為三位十進制數(shù)，則這兩種疊加情況如圖（2）：

移位疊加 邊界疊加8 9 1 8 9 11 1 9 9 1 13 3 1 3 3 11 0 8 8 0 1+ 1 1 0 + 1 1 0

(1) 5 5 9 (3)0 4 4

圖（2）由折疊法求哈希地址用移位疊加得到的哈希地址是559，而用邊界疊加所得到的哈希地址是44。如果關鍵字不是數(shù)值而是字符串，則可先轉化為數(shù)。轉化的辦法可以用ASCⅡ字符或字符的次序值。[3]↑

4．平方取中法
這是一種常用的哈希函數(shù)構造方法。這個方法是先取關鍵字的平方，然后根據(jù)可使用空間的大小，選取平方數(shù)是中間幾位為哈希地址。

哈希函數(shù) H(key)=“key2的中間幾位”因為這種方法的原理是通過取平方擴大差別，平方值的中間幾位和這個數(shù)的每一位都相關，則對不同的關鍵字得到的哈希函數(shù)值不易產生沖突，由此產生的哈希地址也較為均勻。

例5，若設哈希表長為1000則可取關鍵字平方值的中間三位，如圖（3）所示：

關鍵字

關鍵字的平方

哈希函數(shù)值

1234

1522756

227

2143

4592449

924

4132

17073424

734

3214

10329796

297

圖（3）平方取中哈希函數(shù)示例 [4] ↑

有人曾用“輪盤賭”的統(tǒng)計分析方法對它們進行了模擬分析，結論是平方取中法最接近“隨機化”。

例6，設有一組關鍵字值為ABC，BCD，CDE，DEF其相應的機內碼分別為010203，020304，030405，040506。假設可利用地址空間大小為103，平方后取平方數(shù)的中間三位作為相當記錄的存儲地址。如圖（4）所示：

關鍵字

機內碼

機內碼的平方

哈希地址

ABC

010203

0104101209

101

BCD

020304

0412252416

252

CDE

030405

0924464025

464

DEF

040506

1640736036

736

圖（4）平方取中法關鍵字及其存儲地址[6]↑

下面給出平方取中法的哈希函數(shù)

//平方取中法哈希函數(shù)，結設關鍵字值32位的整數(shù)//哈希函數(shù)將返回key * key的中間10位Int Hash (int key){//計算key的平方Key * = key ;//去掉低11位Key>>=11;// 返回低10位（即key * key的中間10位）Return key %1024;}

5.減去法
減去法是數(shù)據(jù)的鍵值減去一個特定的數(shù)值以求得數(shù)據(jù)存儲的位置。

例7，公司有一百個員工，而員工的編號介于1001到1100，減去法就是員工編號減去1000后即為數(shù)據(jù)的位置。編號1001員工的數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)中的第一筆。編號1002員工的數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)中的第二筆…依次類推。從而獲得有關員工的所有信息，因為編號1000以前并沒有數(shù)據(jù)，所有員工編號都從1001開始編號。

6.基數(shù)轉換法
將十進制數(shù)X看作其他進制，比如十三進制，再按照十三進制數(shù)轉換成十進制數(shù)，提取其中若干為作為X的哈希值。一般取大于原來基數(shù)的數(shù)作為轉換的基數(shù)，并且兩個基數(shù)應該是互素的。

例8，Hash(80127429)=(80127429)13=8*137+0*136+1*135+2*134+7*133+4*132+2*131+9=(502432641)10如果取中間三位作為哈希值，得Hash（80127429）=432

為了獲得良好的哈希函數(shù)，可以將幾種方法聯(lián)合起來使用，比如先變基，再折疊或平方取中等等，只要散列均勻，就可以隨意拼湊。[5] ↑

7.除留余數(shù)法
取關鍵字被某個不大于哈希表表長m的數(shù)p除后所得余數(shù)為哈希地址，即設定哈希函數(shù)為 Hash(key)=key mod p (p≤m)，其中，除數(shù)p稱作模。

除留余數(shù)法不僅可以對關鍵字直接取模，也可以在折疊、平方取中等運算后取模。對于除留余數(shù)法求哈希地址，關鍵在于模p的選擇。使得數(shù)據(jù)元素集合中每一個關鍵字通過該哈希函數(shù)映射到內存單元的任意地址上的概率相等，從而盡可能減少發(fā)生哈希沖突的可能性。

理論研究表明，除留余數(shù)法的模p取不大于表長且最接近表長m素數(shù)時效果最好，且p最好取1.1n～1.7n之間的一個素數(shù)（n為存在的數(shù)據(jù)元素個數(shù)）。例如：當n=7時，p最好取11、13等素數(shù)。 又例圖(5)：

表長m

8

16

32

64

128

256

512

1000

模p

7

13

31

61

127

251

503

997

由于除留余數(shù)法的地址計算方法簡單，而且在許多情況下效果較好。[2]↑

例9，公司有236個員工，而員工編號介于1000到9999，除留余數(shù)法就是員工編號除以數(shù)據(jù)個數(shù)236后，去余數(shù)即為數(shù)據(jù)的位置。編號5428員工的數(shù)據(jù)（編號5428除以236取余數(shù)得0）放數(shù)據(jù)中的第一筆，編號3512員工數(shù)據(jù)（編號3512除以236取余數(shù)得8）放數(shù)據(jù)中的第九筆…依次類推。

8．隨機乘數(shù)法
亦稱為“乘余取整法”。隨機乘數(shù)法使用一個隨機實數(shù)f,0≤f<1,乘積f*k的分數(shù)部分在0～1之間，用這個分數(shù)部分的值與n（哈希表的長度）相乘，乘積的整數(shù)部分就是對應的哈希值，顯然這個哈希值落在0～n-1之間。其表達公式為：Hash(k)=「n*(f*k%1)」其中“f*k%1”表示f*k 的小數(shù)部分，即f*k%1=f*k-「f*k」[5] ↑

例10，對下列關鍵字值集合采用隨機乘數(shù)法計算哈希值，隨機數(shù)f=0.103149002 哈希表長度n=100得圖(6)：

k

f*k

n*((f*k)的小數(shù)部分)

Hash(k)

319426

32948.47311

47.78411

47

718309

74092.85648

86.50448

86

629443

64926.41727

42.14427

42

919697

84865.82769

83.59669

83

此方法的優(yōu)點是對n的選擇不很關鍵。通常若地址空間為p位就是選n=2p.Knuth對常數(shù)f的取法做了仔細的研究，他認為f取任何值都可以，但某些值效果更好。如f=（-1）/2=0.6180329…比較理想。[8] ↑

9．字符串數(shù)值哈希法
在很都情況下關鍵字是字符串，因此這樣對字符串設計Hash函數(shù)是一個需要討論的問題。下列函數(shù)是取字符串前10個字符來設計的哈希函數(shù)

Int Hash _ char (char *X)

{

int I ,sum

i=0;

while (i 10 && X[i])

Sum +=X[i++];

sum%=N; //N是記錄的條數(shù)

}

這種函數(shù)把字符串的前10個字符的ASCⅡ值之和對N取摸作為Hash地址，只要N較小，Hash地址將較均勻分布[0，N]區(qū)間內，因此這個函數(shù)還是可用的。對于N很大的情形，可使用下列函數(shù)

int ELFhash (char *key )

{

Unsigned long h=0,g;

whie (*key)

{

h=(h<<4)+ *key;

key++;

g=h & 0 xF0000000L;

if (g) h^=g>>24;

h & =～g;

}

h=h % N

return （h）;

}

這個函數(shù)稱為ELFHash(Exextable and Linking Format ,ELF,可執(zhí)行鏈接格式)函數(shù)。它把一個字符串的絕對長度作為輸入，并通過一種方式把字符的十進制值結合起來，對長字符串和短字符串都有效，這種方式產生的位置不可能不均勻分布。[7] ↑

10.旋轉法
旋轉法是將數(shù)據(jù)的鍵值中進行旋轉。旋轉法通常并不直接使用在哈希函數(shù)上，而是搭配其他哈希函數(shù)使用。

例11，某學校同一個系的新生（小于100人）的學號前5位數(shù)是相同的，只有最后2位數(shù)不同，我們將最后一位數(shù)，旋轉放置到第一位，其余的往右移。

新生學號

旋轉過程

旋轉后的新鍵值

5062101

5062101

1506210

5062102

5062102

2506210

5062103

5062103

3506210

5062104

5062104

4506210

5062105

5062105

5506210

如圖(7)

運用這種方法可以只輸入一個數(shù)值從而快速地查到有關學生的信息。[9] ↑

11.偽隨機數(shù)法
偽隨機數(shù)法是將利用數(shù)據(jù)的鍵值經過隨機數(shù)法的運算后的結果作為數(shù)據(jù)存儲的位置。其公式如下（a和c為質數(shù)）：

Y=（a * Key + c）mod 數(shù)組的大小

例12，某公司的某女員工的編號是321547，現(xiàn)該公司共有107個女職工，我們取a=13,c=5則

Y=(13*321547+5)%107

=(4180111+5)%107

=54

則取54當作該員工數(shù)據(jù)存儲的位置。[10] ↑

小 結

有許多種不同的哈希函數(shù)設計方法，這里主要討論幾種常用的不同類型關鍵字的希函數(shù)設計方法：直接定址法、數(shù)字分析法、折疊法、平方取中法、減去法、基數(shù)轉換法、除留余數(shù)法、隨機乘數(shù)法、字符串數(shù)值哈希法、偽隨機數(shù)法、旋轉法。

盡管哈希函數(shù)的構造方法有很多，但不同的方法適用于不同的情況。如：當鍵字是字符串時可以用字符串數(shù)值哈希法構造哈希函數(shù)；當關鍵字是整數(shù)類型時就可以用除留余數(shù)法、直接定址法和數(shù)字分析法等設計哈希函數(shù)；而關鍵字是小數(shù)類型常用偽隨機數(shù)法來構造哈希函數(shù)等。

參 考 文 獻

[1]朱戰(zhàn)立編著.數(shù)據(jù)結構（C++語言描述） 北京：高等教育出版社，2004

[2]陳明編著.實用數(shù)據(jù)結構基礎 北京：清華大學出版社，2002

[3]嚴蔚敏等編著.數(shù)據(jù)結構及應用算法教程 北京：清華大學出版社，2000

[4]殷人昆等編著.數(shù)據(jù)結構：面向對象方法與C++描述 北京：清華大學出版社，1999

[5]熊岳山等編著.數(shù)據(jù)結構：C++語言描述， 長沙：國防科技大學出版社，2002.2

[6]蘇光奎等編著. 數(shù)據(jù)結構導學。 北京：清華大學出版社，2002

[7]陳松喬等編著.算法與數(shù)據(jù)結構（C與C++描述） 北京：北方交通大學出版社 2002.8

[8]卓滋德克著.陳曙暉譯 數(shù)據(jù)結構與算法——C++ 北京：清華大學出版社， 2003

[9]王慶瑞編著.數(shù)據(jù)結構教程（C++語言描述） 北京：高等教育出版社，2002.8

[10]黃國瑜等編著.數(shù)據(jù)結構（Java語言版） 北京：清華大學出版社，2002

轉自http://wenku.baidu.com/view/61b121c06137ee06eff918c1.htm

總結

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