● ● 高 教 視 野 龍榕一庫錈法 摩理履冀麈廁 ◎馮建強 孫詩一 (揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225000) 【摘要】微分方程的數值模擬在工程應用 中有很重要的 意義．而在諸多的數值方法中，龍格一庫塔法是使用最廣 泛 、最有效 的數值 方法之一．龍格一 庫塔 法的理論 基礎是 泰 勒級數方法，龍格一庫塔法吸收 了泰勒公式方法中的高精 度同時摒棄了泰勒級數方法中求高階導數的弊端，利用復 合 函數 的思想合 理而 巧妙地 回避 了求 高 階導數 這 一難 點， 使數值格式顯得非常對稱和緊湊．四階龍格一庫塔法是求 解微分方程的非常有用的工具，盡管其計算公式非常簡單， 但該數值格式的基本原理卻是非常深刻的． 首先，本文利用數學分析、數值分析的知識理解歐拉方 法及泰勒級數 方法 的局 限性 ，從 而理論 分析 導 出龍格一 庫 塔 四階格 式(四階格 式的完整 導 出是任何 一本 參考 書上 所 沒有的)．然后，探討 了四階龍格一庫塔法在捷聯慣性導航 中的應用．最后，對四階龍格一庫塔法的收斂性與穩定性進 行 了討論． 【關鍵詞】四階龍格一庫塔法；收斂性；穩定性；微 分 方程 【基金項目】該課題由揚州大學教改項 目YZUJX2016— 4A和揚州大學2016科創項 目資助． 一 、 概 述 對于一個復雜的函數，要用泰勒展開式求它的各階導 數總是令人望而止步的，龍格一庫塔法利用了泰勒級數法 的思想 ，但避免了對原來的函數進行解析求導的過程 ．所 以，本質上龍格一庫塔法是建立在泰勒級數方法基礎上的， 它摒棄了泰勒級數方法求導數的弊端，利用復合函數的思 想實 現求 導． 對于二階、三階的龍格一庫塔法的推導，一些數值方法 的參考書都給出了具體的推導過程．但對于四階龍格一庫 塔法的推導，參考書上并沒有指明，本文主要研究四階龍格一 庫塔法的推導以及四階龍格一庫塔法的具體應用實例． 二、四 階龍格一庫塔法 的理論推導 r 一 ．tJ、 設解初值問題{dt一八 ’的計算公式形如： 【 n(0)=Ⅱ。 kl 4-C2k2 4- 。3 uj+hb2lk1)， hb3Ikl+ uj+ hb4l l+ k3 4-C4k4)， ^632k2)， hb42 2+hb43k3)． 在 a2=b2l，a3=b31+bm a4=b4l+b42+b43的條件下 選擇常數 Cl，c2，c3，c4，a2，a3，a4，b2l，b3l，b b4l，b42，b43使上 列的數值方法的截斷誤差的階為 0(h )． 為此設 u(t)是方程 ：At,It)經過點( ， )的準確 解，將 u(t)在此點展開成冪級數 ： u( t)= ( )+hu ( )+ u”(0)+六^ u (々)+ “H ( )+O(h )． ● · · ● 司‘計算得到 H (t)=廠’11,”(t)= + ， t、={ j }{ {{ fjLu． “¨’(t)=／．Ⅲ+ +2[( + )，+ + ．， ]+ { f J {t { j、+ ’{ 、{t’{ {u l ’ j { f、 l ： f．舡 0 f + t 0j 0 s{0 ’{ u’ lt 1． 將 Ⅱ (t)，M”(t)，u (t)，u¨ (t)代入到 u(t )可得 u(tj+1)=u(tj)+hf+÷^ ( + )+六礦 + 0’ l +l{u 去 m } + l1jl l 0j+{ t 4-／J3． 對于原式 中 k。，k ，k，，k 在 (￡ ，uj)點 的冪 級數展開 式 ， 并注意應用公式和 已經寫 出的 k．的表達式 ，可 以導 出 k。=f， 后

總結

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