Rayleigh-Ritz法和Galerkin法
網友1：
???????有限元法本身是基于積分變分方法的，Rayleigh-Ritz是直接變分，間接變分法也叫加權余量法。根據權函數選擇，加權余量法還有好幾種方法。Galerkin屬于其中一種
網友2：
???????1) 形式上說, 有限元分析(Finite Element Analysis)屬于一類泛函分析方法. 有限元最早屬于應用力學(Applied Mechanics)的研究范疇.
???????2) 后來由于大型計算機和矩陣計算方法的出現和流行, 有限元分析被納入到計算力學(Computational Mechanics)的范疇. 其涉及的研究對象為力學(靜/動力學)分支如: 固體, 流體, 熱動力, 聲學, 電磁等等.
???????3) 根據力學發展, Rayleigh-Ritz方法和Galerkin方法以及矩陣計算的出現均對有限元分析有奠基性的貢獻. 所以, 有限元分析在不同研究領域會有不同引導方法. 舉一些的例子(不全面):固體力學中有限元方法可以由Rayleigh-Ritz的單元化形狀函數條件下得到.流體力學中的部分問題可以由Rayleigh-Ritz的單元化形狀函數條件下得到. 對于不存在能量泛函的情況,無法使用Rayleigh-Ritz推到有限元方法. 因此只能用Galerkin法推導.熱力學中, 很多問題沒有能量泛函, 無法使用Rayleigh-Ritz推導有限元方法. 因此也只能用Galerkin法推導.
???????4) 簡述Rayleigh-Ritz方法和Galerkin方法的主要步驟:Rayleigh-Ritz方法首先將微分方程問題轉化為泛函分析問題. 這需要建立該微分方程問題的在泛函是存在的前提下 (e.g. 在固體力學中, 該泛函為系統總能量 Total Energy). 在存在泛函表達后, 額外引入一組線性獨立的函數組將求解變量場用獨立函數組線性表示. 最后一步, 帶入線性表示形式進入泛函得到近似泛函表示然后要求近似泛函取極值條件. 最后一步等價于尋找合適的線性展開系數, 使得近似泛函取極值 (e.g. 系統能量極小).Galerkin方法首先將微分方程問題轉化為含有求解變量積分方程形式. 之后額外引入一組試探函數(通常線性獨立)將求解變量場用試探函數表示. 然后將試探函數表示的求解變量代入積分方程形式得到含有余量(殘差)的積分形式. 最后一步, 要求積分形式的余量取最小值得到相應試探函數表示系數. 最后一步等價于尋找合適的試探函數展開系數, 使得余量函數取最小值.
???????5) Rayleigh-Ritz法和Galerkin法的主要區別存在于二者的力學(物理)含義, 適用范圍等.
???????Rayleigh-Ritz法中的泛函(若存在)通常有著明確的力學含義, 例如系統總能量或純勢能等等. Galerkin法的余量函數代表著近似問題與原問題的接近程度, 不一定有明確的力學含義. 在某些問題中, Galerkin法余量函數和Rayleigh-Ritz泛函相同, 此時兩種方法具有相同的力學含義. 不太嚴格的的說, Rayleigh-Ritz法(由歷史發展)更傾向于力學理論的風格, Galerkin法更偏向于微分方程的近似理論. 然而, 在問題求解的適用范圍上Galerkin法更普遍. 所以, 現如今的計算力學或有限元分析的教材, 部分已經不提及Rayleigh-Ritz法而直接使用Galerkin法去講解有限元分析基礎. 當然, 在動力學, 彈性力學, 流體力學, 聲學及熱動力學等偏力學理論教材中, 仍然會按步驟介紹Rayleigh-Ritz法作為應用力學及計算力學的重要泛函方法之一.
???????6) 從歷史上來說, Rayleigh-Ritz法要比Galerkin法出現更早一些, 相對影響也更深一些.
網友3：
???????變分法是研究泛函及其極值的求解方法的。對于泛函存在的情況，有限元是建立在變分法的基礎上的。瑞利_李茲方法是一種求解泛函極值的近似方法。對于泛函不存在的情況，一般利用迦遼金方法推導得到有限元方法。
https://www.zhihu.com/question/26691632
http://blog.sina.com.cn/s/blog_66de7bad010114ya.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的Rayleigh-Ritz法和Galerkin法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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