第 卷第 期年 月 上 海 力 學 攤 分步迭代加權(quán)殘值法 電普平產(chǎn) 二二 ‘ ‘ 潘紀浩廣東工學院 華東化工學院 提 要 本文提出一種分步迭代的加權(quán)殘值方法 , 并從理論上證明了分步迭代的最小二乘法用于求解線性間題時的收斂 性 。 文中應用所提出的方法計算了方形固支板的位移 , 方形桿的扭轉(zhuǎn)剛度及柔性圓板的大撓度位移和應力。 結(jié)果 表明 了文中的方法可逐步提高計算精度。 一 己 性夢 、 腸 月馬 加權(quán)殘值法廣泛地應用于工程計算中, 特別是在力學中應用這種方法進行計算的實例更為常見 。 在計算時為提高計算精度 , 一方面要針對具體的物理背景適當?shù)剡x擇試 函數(shù) , 另一面要適當?shù)匮由煸?函數(shù) , 增加試 函數(shù)的項數(shù) 。 但后者將增加計算量 , 特別是對 于 非 線 性問題 , 計算量增加很快 , 一般只通過 計算機而得到半數(shù)值半解析的結(jié)果 文 中的迭代法可減少總的計算量而 得到近似的解析結(jié)果 , 并且可直接 利用現(xiàn)有的近似計算結(jié)果 , 適當選擇試函數(shù)繼續(xù)迭代 , 以達到更高精度的要求 , 為工程計算 和設 計提供 了方便 。 二 、 方法介紹 設微分方程為 在區(qū)域。上 相應的邊界條件為 。 , 在邊界 。。 七 , , ?, 其中 、 。分別是 區(qū)域。上 和 邊界 。, 上的微分算子 , 、 , 分別為。和 。。上給定的函數(shù) , 并 且 。的邊界為 。。 。。。 。 現(xiàn)在應用分步迭代加權(quán)殘值法求微分方程 在邊界條件 下的近似 解 。 為 討 論方便 , 設 、 為無量綱方程 。 第一步 , 取試 函數(shù) ’ 習 中 并作權(quán) 函數(shù) ‘ ’ 、 二 ‘ , , 一 , , 由 本文收到 日期 年 月 日 第 卷 分步迭 代加權(quán)殘值法 〔以 ‘ , 一 〕 ‘ ’ 習 丁 〔瑞 一 ‘ 一 。勺 , 二 月‘ 確定 , ? , , 第二步 , 取試 函數(shù) 龍 “ ’ 習 , , , 。 中 作權(quán) 函數(shù) 蓄’ 、 老 , , , ?, , 由 。 〔‘ · 戶 , 一 , 〕 貝 乞 性 丁 。。 〔·‘一 ’ , 一 〕‘ 一 。 確定 , ’ , 以上所取的函數(shù) 小 , 可 以得 到近似解 “ ’ 。 小 , 中 , ? 卜是相對 完備的坐標 函數(shù)族 。 迭代步驟 進 行 次就 由于權(quán) 函數(shù)的選擇不同 , 就相應有最小二乘法 、 伽遼金法 、 矩量法 、祝點法等等。同時每次迭 代可取不 同類型的權(quán)函數(shù) , 例如第一步迭代取權(quán)函數(shù) 、 二 · , , 一 。 。二 里 ‘ 杯 , , 而 第二步迭代可取權(quán)函數(shù) 兮 ’ 。 一 , 聾紹一 ‘ 一 即第一步用最小二乘 法 , 第二步用配 點法 。 當所選擇的試函數(shù)滿足 邊界條件時 , 、 式 中的邊界上的積分項為零 。 以下我們從理論上論證分步迭代 的最小二乘法用于線性問題時的收斂性 。 為此先導 出川函數(shù)表示 的準確解和近 似解 。 設 ‘ 。 。 在 內(nèi) 、少、戶。 。 在 。上 , 在 內(nèi)在 。上 , , , 二 卜 、 , 聲 ‘、了幾弓、 其中 為 內(nèi)的 函數(shù)時, , 邊界 盤 , 上的 二 函數(shù) 筍 令 。和 分別為滿足 和 式的解 稱為 函數(shù) , 則 由迭 加原理可得 、邊界值問題的準確解 。 置 。 。 , 。 完全類似地可得到 由最小二乘法得到的近 似解為 八 內(nèi) 一 〔 。 。。 ‘王 魚 , ‘日 。 尸 , 其中 , 。 二 少 一 , , , 一 。 , , ?, 。 利用 不 等 式并 注意到對任意實數(shù) 、 有 “ “ 》 , 則有 。 。 , 、、 廠 · 棍 。 一 ’ 、

總結(jié)

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