1.前言

小波變換主要包括連續小波變換和離散小波變換。本篇博客主要想弄清楚連續小波變換、離散小波變換、高維小波連續變換的意義。

2.連續小波變換

2.1 連續小波變換的定義

將任意L2（R）空間中的函數f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數f(t)的連續小波變換（CWT）。其表達式為：

其中應當滿足：

從定義可以看出：小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種變換，為小波變換系數。也可見其與傅立葉變換的區別。

我們注意到：

若小波滿足容許條件，則連續小波變換存在著逆變換：

容許條件：

逆變換公式：

這里需要做兩條重要的說明：

（1）必須滿足“容許條件”，反變換才存在。
（2）在實際應用中，對基本小波的要求往往不局限于滿足容許條件，對還要施加所謂“正則性條件”，使 ? ? 在頻域上表現出較好的局域性能。為了在頻域上有較好的局域性，要求 隨a的減小而迅速減小，所以這就要求的前n階原點距為0，且n值越高越好。

2.2 小波變換的性質

線性、時移共變性、時標定理、微分運算、能領守恒、冗余度

2.3 連續小波變換的步驟

（1）選擇小波函數及其尺度a值。
（2）從信號的起始位置開始，將小波函數和信號進行比較，即計算小波系數。
（3）沿時間軸移動小波函數，即改變參數b，在新的位置計算小波系數，直至信號的終點。
（4）改變尺度a值，重復（2）、（3）步。

設計的原則：

a為尺度；△為采樣間隔；Fc為小波的中心頻率； Fa為偽頻率。

3.離散小波變換

3.1 為啥我們要搞出一個離散小波變換？

對于連續小波而言，尺度a、時間t和與時間有關的偏移量τ都是連續的。如果利用計算機計算，就必須對它們進行離散化處理，得到離散小波變換。

3.2?尺度和位移的離散化方法

為了減小小波變換系數的冗余度，我們將小波基函數：

的a、τ限定在一些離散的點上取值。

（1）尺度的離散化。

目前通行的做法是對尺度進行冪數級離散化。即令a取：

則小波函數為：

（2）位移離散化。

通常對τ進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸， τ滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時，沿τ軸的響應采樣間隔是2j τ0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對應的頻率減小一半。此時采樣率可降低一半而不導致引起信息的丟失。

離散小波變換的定義為：

一般，取a0=2，則a=2j，τ=2jkτ0，則采樣間隔為τ=2jτ0

當a=2j時，τ的采樣間隔是 2jτ0 ，此時，變為：

一般，將τ0歸一化，即τ0=1，于是有：

此時，對應的WTf為：

離散化過程中的兩個問題：

一、離散小波能否完全表征函數f(t)的全部信息。
二、是否任何函數f(t)都可以表示為加權和。即

如果可以，系數如何求？

3.3?小波的框架理論

框架的定義:在希爾伯特空間H中有一族函數 ，如果存在0<A<B<∞，對所有的f∈H，有：

稱是H中的一個框架

若A=B，則稱為緊致框架，此時：

如果A=B=1，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
此時，是正交框架，若，則是規范正交基。

3.4?小波框架的定義

如果當基本小波函數ψ（t）經伸縮和位移引出的函數族:

具有如下性質：

我們稱都成了一個框架，上式為小波框架條件。
其頻域表示為：

的對偶函數也構成一個框架。 ? ? ? ? ? ? ??

3.5?小波框架的性質

（1）滿足框架條件的，其基本小波必定滿足容許性條件。
（2）離散小波變換具有非收縮時移共變性。
（3）離散小波框架存在冗余性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的小波的秘密3_连续、离散小波变换定义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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